基于CAPM和市场规模的股票市场模型

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英文标题：
《A Stock Market Model Based on CAPM and Market Size》
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作者：
Andrey Sarantsev, Blessing Ofori-Atta, Brandon Flores
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We introduce a new system of stochastic differential equations which models dependence of market beta and unsystematic risk upon size, measured by market capitalization. We fit our model using size deciles data from Kenneth French\'s data library. This model is somewhat similar to generalized volatility-stabilized models in (Pal, 2011; Pickova, 2013). The novelty of our work is twofold. First, we take into account the difference between price and total returns (in other words, between market size and wealth processes). Second, we work with actual market data. We study the long-term properties of this system of equations, and reproduce observed linearity of the capital distribution curve. Our model has two modifications: for price returns and for equity premium. Somewhat surprisingly, they exhibit the same fit, with very similar coefficients. In the Appendix, we analyze size-based real-world index funds.
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中文摘要：
我们引入了一个新的随机微分方程系统，该系统模拟了市场贝塔和非系统风险对规模的依赖性，以市值衡量。我们使用肯尼思·弗伦奇（KennethFrench）数据库中的大小十分位数数据来拟合我们的模型。该模型在某种程度上类似于（Pal，2011；Pickova，2013）中的广义波动率稳定模型。我们工作的新颖性是双重的。首先，我们考虑了价格和总回报之间的差异（换句话说，市场规模和财富过程之间的差异）。其次，我们使用实际的市场数据。我们研究了这一方程组的长期性质，并再现了观察到的资本分布曲线的线性。我们的模型有两个修改：价格回报和股权溢价。令人惊讶的是，它们表现出相同的拟合，系数非常相似。在附录中，我们分析了基于规模的真实指数基金。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> A_Stock_Market_Model_Based_on_CAPM_and_Market_Size.pdf (534.33 KB)

2022-6-24 10:19:42 上传

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关键词：CAPM 市场规模 股票市场 cap APM

一个基于CAPM和市场规模的股票市场模型。Drey SARANTSEV，福佑OFORI-ATTA，BRANDON FLORESAbstract。我们引入了一个新的随机微分方程系统，该系统模拟了市场贝塔和非系统风险对规模的依赖性，以市值衡量。我们使用Kenneth French数据库中的大小十分位数数据来拟合模型。该模型与中的广义波动率稳定模型有些相似（Pal，2011；Pickova，2013）。我们工作的新颖性是双重的。首先，我们考虑了价格和总回报之间的差异（换句话说，市场规模和财富过程之间的差异）。其次，我们使用实际的市场数据。我们研究了这一方程组的长期性质，并再现了观察到的资本分布曲线的线性。在附录中，我们分析了基于规模的真实指数基金。1、引言1.1。规模效应和资本资产定价模型。股票的规模是由其市值或市值来衡量的：当前股票价格乘以股票数量。对于股票投资组合，其市值定义为组成股票市值的加权和，权重等于投资组合权重。规模是股票或投资组合的一个非常重要的基本特征。据观察，小型股比大型股具有更高的回报，但风险更高。一种解释是，小公司正处于动态增长阶段，与大型成熟公司相比，它们具有更高的增长潜力，但小公司更容易倒闭和破产。一些研究人员声称，即使在对风险进行调整后，小盘股的回报率也高于大盘股。这种调整可以在资本资产定价模型（CAPM）的框架内进行。

以timet期间总回报（包括股息，未经通货膨胀调整）Q（t）的股票组合为例。这里，我们在离散时间设置中操作。将其与短期国库券R（t）的无风险回报率进行比较。投资者因冒险投资股票而非安全的国库券，理应获得额外的回报。我们通过减去P（t）=Q（t）来计算股权溢价P（t）- R（t）。接下来，我们计算amarket投资组合的股票溢价P（t），作为基准。这类基准的一个例子是标准普尔500指数（Standard&Poor（S&P）500），这是一个广泛用于大型美国股票的基准。进行线性回归：（1）P（t）=α+βP（t）+ε（t）。参数β表示市场敞口，即投资组合因基准波动而面临的风险程度。参数α表示超额回报，即在这个市场回报的基础上，一个人可以从这个投资组合中赚多少钱。它们通常被称为希腊语：beta和alpha。剩余ε（t）被称为非系统风险，可以通过分散来消除。根据CAPM，α=0，唯一值得回报的风险是系统风险（由于市场敞口），因为其他风险可以分散。关键词和短语。JEL分类：C58、G17。资本资产定价模型；随机微分方程；资本分配曲线；随机稳定性；市场权重。2 ANDREY SARANTSEV，福佑OFORI-ATTA，BRANDON Florest经典文章中提出了CAPM【25】。随后的研究怀疑CAPM与实际市场数据的一致性。特别是，[4]发现，小盘股的投资组合产生正α。也就是说，即使在调整了市场敞口后，小盘股的回报率也高于大盘股（小盘股的回报率大于1）。随后的经典文章[7]证实了这一点。

关于尺寸效应的进一步研究可在[24]和[26]以及其中的参考文献中找到。另见[8]中对CAPM的批判。1.2. 我们的模型。我们研究了α、β、σ（ε（t）的标准偏差）对大小的依赖性，通过市值S（t）或更准确地说，通过与S（t）的相对大小来衡量：（2）C（t）=lnS（t）S（t）。我们希望找到C的函数α、β、σ，以便对于标准白噪声项SZ（t），E[Z（t）]=0，E[Z（t）]=1：（3）P（t）=α（C（t））+β（C（t））P（t）+σ（C（t））Z（t）。这使我们能够量化α和β（以及σ-非系统风险的标准偏差）如何准确地依赖于相对大小度量。然后，我们考虑等式（3）的一个版本，其中权益溢价被价格回报所取代，即价格变化（或相当于市值变化）带来的回报。也就是说，我们将P（t）和P（t）替换为ln（S（t+1）/S（t））和ln（S（t+1）/S（t）），暂时忽略无风险利率和股息。这给出了：（4）lnS（t+1）S（t）=α（C（t））+β（C（t））lnS（t+1）S（t）+σ（C（t））Z（t），其中C（t）来自（2）。该等式（4）仅包括基准S（t）和投资组合S（t）的市值。这个时间序列方程或其连续时间版本，一个随机微分方程，允许我们将S（t）和S（t）与股息和无风险回报分开建模。在此基础上，我们添加方程式（3）。令人惊讶的是，市场数据为我们提供了（3）和（4）中几乎相同的函数α、β、σ，但系数不同。此外，（3）和（4）中的白噪声项几乎完全相关（超过99%）。这并非出于任何理论考虑，似乎只是一个简单分析的好运气。我们还将（3）和（4）调整为连续时间：股权溢价P（t）变为ln V（t），其中V（t）是为无风险回报调整的财富过程。

更精确地说，V（t）=U（t）/U*（t） 式中，U（t）是在股票投资组合中投资U（0）=1并再投资股息所累积的财富，而U*是一种类似于投资保险单的财富过程。然后（3）的形式为（5）d ln V（t）=α（C（t））dt+β（C（t））d ln V（t）+σ（C（t））dW（t），其中以调整后的财富过程为基准，W是布朗运动：带W（t）的面积值连续过程- W（s）~ N（0，t- s） 独立于W（u），0≤u≤ s、 对于所有0≤ 这种布朗运动可以看作是一种缩小的随机行走，步幅很小但很频繁。为简单起见，我们假设lnv（t）也是正漂移的布朗运动（它捕捉到长期股票回报率大于无风险回报率的趋势）。虽然股本溢价有很重的尾部，因此不能很好地用高斯分布来描述，但布朗运动提供了一种简单的反向逼近。类似地，方程（4）变成（6）d ln S（t）=α（C（t））dt+β（C（t））d ln S（t）+σ（C（t））dW（t），这是一个基于CAPM和市场规模3的股票市场模型，其中C（t）来自（2）。通过以上备注，我们可以假设（5）和（6）中的驱动布朗运动W是相同的。1.3. 取决于尺寸度量。市场敞口β、超额收益α和非系统风险σ的标准差对相对规模的依赖性是什么？我们的统计分析没有得出结论性的结果。zun的白噪声测试失败了。因此，我们不能声称模型（3）、（4）通过了拟合优度检验。α，β，σ最合理的猜测似乎是：α（c），β（c），σ（c）=（α+c，1+β+c，σ+c，c≥ c类+-α-|c | 1/2，1+β-c、 σ-|c | 1/2，c≤ -c-.（7） 这里，α±、β±、σ±、c±是正常数。我们的数据分析不允许我们在零附近提出这些函数。

这是因为我们的数据中观察到的C（t）并没有非常接近于零。1.4. 随机投资组合理论。连续时间版本很有用，因为我们可以使用随机演算并将这些模型浸入随机投资组合理论（SPT）。这是一个不依赖于特定模型的股市建模框架。这意味着小盘股将被高估，并将继续进行再平衡。这意味着，投资小型股票的比例要高于其市值所规定的比例。这方面的一个例子是采用等权投资组合。SPT的核心结果是：在温和的条件下，多样性（没有股票主宰整个市场）和充分的内在波动性，这类投资组合的表现优于市场投资组合，市场投资组合按市值比例投资每只股票；参见【1】、【10】、【11】。这一理论具有坚实的理论基础，与实测数据相一致。参考文献请参见本书[9]和最近的一项调查[12]。SPT基于与上述相同的观察结果：小型股比大型股具有更高的回报和风险。尽管我们在上文中提到，SPT是独立于模型的，但有一些SPT模型试图捕捉这一观察结果：竞争布朗粒子，其中市值的对数演变为布朗运动，漂移和扩散系数取决于它们相对于其他粒子的当前排名，[2]、[3]、[13]；它们的跳跃泛化，或对名称和等级的依赖（所谓的二阶模型）：见文章【3】、【5】、【21】；波动率稳定模型，其中ln S（t）由随机微分方程（SDE）建模，波动率与S（t）成反比，【18】及其推广，【20】。

随着股票数量趋于一致，竞争布朗粒子和波动稳定模型的限制行为在[6]、[22]、[23]中进行了研究。在本文中，我们认识到价格和总回报之间的差异，并将其分别建模为（3）和（4）离散时间或（5）和（6）连续时间。SPT是为基于SDE的连续时间离散模型开发的，比为离散时间开发的要多，见【19】。因此，在（5）和（6）中切换到连续时间是合理的。随机投资组合理论以超额增长和功能生成投资组合的形式处理多元化收益。SPT中的标准假设是没有股息；也就是说，价格和总回报是相同的。但这不再是事实。要分别对价格回报（驱动市值过程）和总回报（驱动财富过程）进行建模，需要扩展SPT，特别是功能生成投资组合的概念。这是留给未来研究的。4 ANDREY SARANTSEV，《阿塔的祝福》，BRANDON FLORES1.5。数据分析。我们从KennethFrench的数据库在线（data Libraryonline）获取了真实的美国市场数据：由Sizedciles组成的等权重投资组合的市值、价格和总回报（股票根据其规模分为前10%、后10%等）。该库包含从芝加哥大学证券价格研究中心（CRSP）1926年7月至2020年6月（84年）原始数据处理的数据，每月数据。我们研究了n个投资组合的模型和带有市值S的基准，Sn，相对尺寸测量值C，Cn和财富过程V，越南。相应的布朗运动W，（6）和（5）中的Wn（回想一下，这两个方程具有相同的布朗运动）被假定为i.i.d。

为了简单起见（尽管我们的分析表明这与实际数据不一致）。考虑市场权重：ui（t）=Si（t）S（t）+…+Sn（t），i=0，n、 代表第i只股票在整个市场中的比例。小型股票的市场权重较小。市场权重向量u=（u，…，un）是当时维单纯形4n上的马尔可夫过程。如果该市场权重向量收敛到唯一的平稳分布，则为t→ ∞ 在总变化范数中（见第4节的定义），我们称系统为稳定的。在本文中，我们陈述并证明了我们的市场模型在α，β，σ的特定条件下是稳定的。我们还研究了碰撞：Si（t）=Sj（t）是否发生（当小型股票增长并超过大型股票时）。最后，每次从上到下排列权重：u（0）（t）≥ . . . ≥ u（n）（t）。资本分布曲线是在双对数标度上排名权重与排名的曲线图：ln k，lnu（k）（t）, k=0，n、 对于实际市场数据，此曲线图是线性的，端点除外。CRSP股票宇宙8天的资本分布曲线见【9，图5.1】，选择为80年中的最后几天（12月31日），即1929年12月31日；1939年12月31日。1999年12月31日。引人注目的是，这8条曲线几乎完全重合。换句话说，这条曲线在时间上是稳定的。前面提到的竞争布朗粒子和波动率稳定模型再现了这一特征，分别参见[6]和[18]。在本文中，我们通过理论分析和仿真为我们的模型建立了这个属性。1.6. 我们的贡献。我们在SPT中提出了一个新模型，该模型与CAPM一致，并捕捉了规模效应。该模型与长期市场数据一致（尽管不完全一致），并捕捉其重要特征。

我们研究其性质：长期稳定性、粒子碰撞、市场权重和资本分布曲线。1.7. 文章的组织结构。在第2节中，我们详细描述了我们的数据并对其进行了分析。这为连续时间建模提供了动力。在第3节中，我们介绍了SDE的系统，如（6）和（5），并证明了解的存在性和唯一性。我们还讨论了SPT的适用性，因为现在规模和财富过程是不同的。在第4节中，我们展示了某些条件下的稳定性，并查看了它们与第2节中的数据分析的比较。在第5节中，我们复制了线性资本分布曲线。最后，第6节是结论和对未来研究的建议。附录包含一些基于规模的现有交易所交易基金的数据分析。代码和数据可以在GitHub上找到：asarantsev/CAPM-SPT。基于CAPM和市场规模5（A）βk（n）的股票市场模型- 1 vs Ck（n）（b）（βk（n）- 1） /Ck（n）vsCk（n）图1。β-βk（n）与Ck（n），对于前十分位基准1.8。确认。我们感谢里诺内华达大学数学和统计系的热情和支持，以及促进师生（本科生和研究生）之间的研究合作。我们感谢裁判员的有益评论和积极回应。2、数据分析2.1。数据描述。如引言所述，我们的主要数据源是芝加哥大学的CRSP数据库，该数据库取自KennethFrench的在线数据库。我们从该库中获取1926年7月至2020年6月期间以每十分位股票组成的同等权重投资组合的价格和月度总回报。我们只分析前8位十分位数，对应于大盘股、中盘股和小盘股。两个底部十分位是我们排除在外的微型股。

十位数是根据每年6月底的市场容量确定的。一年后，这些十分位数重新组合。数据库也有每个月底每十分位数的平均市场资本。无风险月收益率计算为R（t）=ln（1+R（t）/12，其中R（t）是短期国库券的月度数据，摘自美联储经济数据（FRED）网站：1934年1月-2020年6月TB3MS系列和1926年7月-1933年12月（已停产）系列ESM1329USM193NNBR。股票和投资组合回报可以用两种方法计算：算术A和几何G，它们的关系如下：G=ln（1+A）。算术回报经常被引用，以便于在计算投资组合回报时实用，例如在我们用作数据源的数据库中。投资组合的算术回报等于成分股算术回报的加权平均数，但在这里，我们根据上述公式将算术回报转换为算术回报。在我们的研究中，当组合复合利率时，几何收益率优于算术收益率的优势显而易见。例如，20%和30%算术返回组合为56%，而几何返回组合为50%。我们的时间单位等于一个月，总T=12·（2020- 1926）=1128个月，t=0对应于1926年6月，t=t对应于2020年6月。6 ANDREY SARANTSEV，福佑Ouri-ATTA，BRANDON Flores对于十分位k（其中k=1表示最高十分位，k=8表示最低十分位），其月底的平均市场上限t用Sk（t）表示，价格回报为Qk（t），平均回报率（总回报率，包括股息减去无风险回报率）为Pk（t）。2.2. 价格回报的贝塔分析。将T=1128个月分为N=47个两年期，K=24个月期。对于每个周期n=1，N和每个十分位数k=1。