产量不确定性与供应链网络的战略形成

我们假设供应商的价格相当低，因此在最好的情况下，每个供应商都可能与wj有联系≤五（1）- cu= - u -σ+cu。此外，为了确保上述表达式中的上界为非负（因为价格wjc不能为负），我们假设链接成本c也有界0<c≤ v（1）=u( - u) - σ.Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》8提交给运筹学的文章；手稿编号#最后，我们将对系统的大小做出另一个假设。假设2（大型供应链）。我们将假设一个供应链很大，因为n个零售商和m个供应商的数量都非常大（但不确定）。假设2将使我们能够清楚地看到供应分配参数以及成本对形成的价格和网络的影响，而不是这些因素与代理稀缺性的影响混合在一起的影响。4.2. 纳什均衡分析下面的算法1贪婪地构建了一个均衡，这在下面的引理2中得到了证明。算法1：贪婪构造纯策略纳什均衡。以下，K=K（g*) = |S+（g*)|是g中的活跃供应商数量*, v（K）=u( - uK）- σ.输入：, u，σ，c，w，wmOutput：g*1： g级*← , 我← 12： 对于j∈ h1，wjdo3订购的mi百分比：如果v（K（g*) + 1) - uwj- c<0然后4:Break 5:g*← g级*+ （i，j）6:i← i+17：对于j∈ S+（g*) do8：while（v（K）- uwj）/（d（j，g*) + 1) - c≥ 0 do9:g*← g级*+ （i，j）10:i← i+111：返回g*引理2（贪婪均衡构造）。

对于具有固定批发价格w和大量零售商n的供应链网络形成博弈，算法1总是终止并输出博弈的纯策略纳什均衡。引理2的证明：算法1由两部分组成，对应于两个for循环：在第一部分中，它激活尽可能多的供应商，从不同的零售商创建链接；在第二部分中，所有这些活跃的供应商都会收到额外的链接，直到链接停止。Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》提交给运筹学；手稿编号#9让我们首先注意，算法总是以O（nm）步结束。第一个forloop执行次数不超过m次。while循环（第8-10行）最多执行n次，因为在每次迭代中，所选供应商j可能链接到某个零售商i，并且最终链接到j会变得太昂贵（因为v（K）是严格单调递减的）。请注意，由于假设供应商数量n非常大，我们保证永远不会出现与供应商链接的空置零售商。因此，第二个for循环（第7-10行）最多执行nm次。因此，该算法最多以nm步数终止。现在，我们需要证明输出g*是纳什均衡。单位：g*, 只有以下类型的单边偏差是可能的：（a）零售商添加新链接。（b） 一个拥有链接的零售商会放弃它。（c） 拥有链接的零售商会删除该链接并添加新链接。类型（a）的偏差是不可能的（不会导致更高的预期收益），因为两个循环都认为创建额外链接不能产生非负的边际收益。

类型（b）的偏离也是不可能的，因为每个零售商最多只能放弃一个链接，并且由于第一个for循环中的if语句，该链接具有非负的边际收益。最后，类型（c）的偏差也是不可能的，因为在放弃单一链接后，零售商最多可以重新链接到同一供应商，因为所有其他活跃和空缺的供应商都是“饱和”的，因为与他们的链接提供了负的边际收益，而空缺供应商是由于第一个for循环，由于第二个for循环，活跃的供应商也是如此。因此，g*是一个纯策略纳什均衡的博弈。以下内容立即生效。定理1（平衡存在）。对于w固定且零售商数量足够多的供应链网络形成博弈，存在纯策略纳什均衡。算法1和伴随的引理2也为我们提供了关于任何均衡状态下活跃供应商的信息。定理2（均衡时的活跃供应商）。在具有固定批发价格w和大量零售商n的供应链网络形成博弈中，让K*是由算法2构建的纯策略纳什均衡中的活跃供应商数量。然后，在任何纯策略纳什均衡g中*在那场游戏中，活跃的维克托·阿梅尔金和拉凯什·沃赫拉的数量：产量不确定性和供应链网络的形成10篇提交给运筹学的文章；手稿编号#供应商为K*如果v（K*) - u周*- c>0，或K*或（K）*- 1） 否则，如前所述，价格按升序排列。定理2的证明：首先，注意，在任何平衡点g上，活跃供应商的数量K*不能大于K*.

如果g是这种情况，那么链接到最便宜的K的边际收益*g中的活跃供应商不超过链接到最便宜K的供应商*g中的活跃供应商*, 由于算法1的第（3-4）行和v（K）s在K-连接中严格单调递减到剩余的（K- K*) 供应商可能会有负的边际效益。其次，在任何均衡状态下，活跃供应商的数量K也不能低于*当v（K*) - u周*- c>0且低于（K*- 1） 否则，如果是这样的话*供应商会一直空缺，并且会有一家零售商没有链接（因为n足够大，这样的零售商总是存在），愿意链接到这些仍然空缺的最便宜的供应商之一（由于算法1的第一个循环）。因此，任何均衡状态下的活跃供应商数量应为K*或（K）*- 1). 现在，我们用固定w来刻画博弈的纯策略纳什均衡。定理3（纳什均衡网络表征[证明]）。在具有固定w的供应链网络形成博弈中≤ · · · ≤ wm，以及足够多的零售商和供应商，一个纯战略纳什均衡将有K个活跃供应商，他们的协议是d（j）=jv（K）- uwjckw其中K的值在定理2.5中给出。与战略供应商的价格和网络形成我们现在允许供应商战略性地选择价格，然后，零售商将形成链接作为回应。和以前一样，我们将对这两阶段博弈的纯策略纳什均衡感兴趣。5.1. 价格与网络形成博弈对于给定的价格向量w，存在多个均衡网络。

这至少是正确的，因为对于给定的价格向量w，链接几乎可以在零售商之间任意分布，因为均衡的主要特征是维克多·阿梅尔金和拉凯什·沃拉的数量：产量不确定性和供应链网络的形成提交给运筹学的文章；手稿编号#11图2是一个违反直觉的平衡网络的例子。笔记电源参数为u=2，σ=1， = 18; 链接成本为c=1/2；供应商价格为（w、w、w……）=(12, 13, 13, . . . ). 在这种平衡中，K=2个活跃供应商，而第二和第三供应商“饱和”，d（2）=d（3）=b（v（K）- uw）/cc=2，与第一个供应商链接的边际效益为负：是-7/2 ifa空置零售商链接到它；确实如此-3/2如果活动零售商将其链接（i，2）或（i，3）之一更改为（i，1）。活跃供应商和每个供应商的学位。事实上，具有定价的网络形成博弈可能具有反直觉的均衡，在这种均衡中，昂贵的供应商是活跃的，而最便宜的供应商没有联系，如图2所示。我们用以下选择标准来消除这些平衡。定义4（平衡选择）。对于向量w∈ Rm+，让我们将ξ（w）定义为定理3中描述的纯策略纳什均衡的子集，其中活动供应商的价格最低*∈ ξ（w）→ j∈ S（g*):wj公司≥ 最大值`∈S+（g*)w `。假设，从供应商的角度来看，ξ（w）中的所有平衡都是等概率的。我们现在确定供应商的报酬。定义5（供应商的报酬）。

供应商j的支付函数是uj（w）=aj（w）Sjwj，（4）其中，如果供应商战略性地选择价格w，aj（w）=P[d（j，g*) > 0 |克*∈ ξ（w）]是供应商j在均衡网络g中活跃的可能性*∈ ξ（w）随后由零售商根据价格w=（wj，w）形成-j） 供应商公布；或者，如果中央规划师决定价格w，aj（w）=δ{d（j，g）>0}，其中g是中央规划师选择的网络，δ{·}是克罗内克三角洲。Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》12篇文章提交给运筹学；手稿编号#供应商j的付款是在假设供应商以wjas价格出售其全部供应的SJ的前提下计算的，前提是供应商在零售商形成的网络中至少有一个链接。后者可能发生，也可能不发生，这取决于零售商到达Under的均衡，或者中央规划师选择的网络。引理3（供应商的预期报酬）。E[uj（w）]=aj（w）uwj，（5），其中aj（w）是供应商j在平衡网络中活跃的可能性，如定义5所示。引理3的证明：从定义5的方程式（4）可以看出。定义6（供应链形成博弈）。供应链网络形成博弈是一个两阶段博弈，在第一阶段，供应商宣布价格w，最大化其预期收益（5）；在第二阶段，根据定义2，零售商以固定价格w玩网络形成游戏。纯策略纳什均衡价格向量*是一种价格向量，不受单边价格偏差的影响。w.r.t.预期收益（5）。两阶段博弈的纯策略纳什均衡为任意对（w*, g级*), 其中g*∈ ξ（w*),和ξ（w*) 定义4.5.2对其进行了描述。中央规划师我们定义了两阶段供应链形成博弈的社会福利。定义7（社会福利）。

给定定义6，两阶段供应链形成博弈具有以下社会福利elf are（g，w）=Xi∈Dui（g，w）+Xj∈Suj（g，w）+ZT（S）( - x） dx公司-Xk公司∈S+（g）Sk( - T（S）），（6），其中T（S）=T（S，…，Sm）=Pk∈S+（g）是所有活跃供应商的总供应量。在（6）中，前两个总和分别对应零售商和供应商的福利，后两个总和描述消费者剩余。后者反映了消费者因能够以市场价格购买一个单位的产品（供应）而享有的利益( - T（S）），而不是以最高价格, 对应于市场价格上方反向需求曲线下的面积。Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》提交给运筹学；手稿编号#13Lemma 4（预期社会福利）。

两阶段供应链形成博弈中的预期社会福利如下所示[W elf are]=uK -uK- Kσ- c | g |，（7）其中K=K（g）=S+（g）|是活跃供应商的数量，| g |是联系的数量。引理4的证明：根据（6），预期社会福利由三个部分组成。第一部分是零售商的总支出：EhXi∈Dui（g，w）i=Xi∈DXj公司∈N（一）v（K）- uwjd（j）- c=Xj公司∈S+（g）v（K）- uwj- cd（j）= Kv（K）- uXj∈S+（g）wj- c | g |，其中第一个等式来自（2），最后一个等式有效，因为对所有活跃供应商执行双重求和，并且每个供应商都被计入j的每个邻居的双重和，即d（j）次。第二个组成部分是供应商的总报酬：EhXj∈Suj（g，w）i=uXj∈S+（g）aj（w）wj=uXj∈S+（g）wj，直接来自方程式（5），其中最后一个等式有效，因为我们求和的每个供应商j都是活动的，所以其活动的可能性aj（w）为1。第三部分是预期消费者盈余：EhZT( - x） dx公司-Xk公司∈S+（g）Sk( - T（S））i=（T（S）=Xk∈S+（g）Sk）=E[(T（s）-（T（S）））- (T（S）- （T（S））]=EhT（S）T（S）i=Eh（Xj∈S+（g）Sj）（Xk∈S+（g）Sk）i=（Xj，k∈S+（g）u+Xj∈S+（g）σ）=K（uK+σ）。将上述预期社会福利的所有三个组成部分汇总，我们得到[W elf are]=Xj∈S+（g）v（K）- uwj- cd（j）+uwj+Ku+σ=Xj公司∈S+（g）u( - uK）- σ- cd（j）+（Ku+σ）=Xj公司∈S+（g）u( -uK）-σ- cd（j）= uK( -uK）-σK- c | g |。Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》第14篇，提交给运筹学；手稿编号：#定理4（中央计划者最优）。在一个足够大的供应链中，中央计划员的最佳选择是一个网络，其中每个kopt=ju-σu-cuk=bycactive供应商只有一个链接，这些链接以任意方式分布在零售商之间。

相应的预期社会福利isE=(u - σ/2 - c）- （u{y}）2u。（8） 定理4的证明：从引理4，我们知道e[W elf are]=uK -uK- Kσ- c | g |=h（K，| g |）。首先，我们注意到，对于中央规划师来说，学位大于1的供应商是没有意义的，因为将学位提高到1以上不会影响K，只会恶化关联惩罚条款-c | g |。因此，在最优解决方案中，每个供应商只有一个链接，导致链接总数与活跃供应商的数量相匹配，即| g |=K（假设供应链足够大，n≥ K） 。因此，中央计划者的解决方案如下：h（K）=uK -uK- Kσ- cK公司→ 最大，h（K）=-uK+u - σ/2 - c=>Kopt=ju-σu-cuk=byc=y- {y} ，h（Kopt）=(u - σ/2 - c）- （u{y}）2u。再次，我们假设供应链足够大，h在Koptt而不是在边界值n或m处达到其最大值。Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》提交给运筹学；手稿编号#155.3。纳什均衡分析我们首先分析供应商的行为，即他们在两阶段博弈的均衡状态下设定的价格。定理5（均衡价格）。在大型两阶段供应链形成博弈中，在纯策略纳什均衡下，w*= 定理5的证明：如前所述，我们假设价格按w排序≤ w≤. . .

wm。供应商的行为由其预期的Payoff（5）E[uj（w）]=aj（w）wju驱动，其中u是常数，wjis是供应商j选择的价格，aj（w）是供应商j积极参与零售商可能形成的网络均衡的可能性，以响应宣布的价格w=（wj，w-j） 。首先，让我们证明，在均衡状态下，所有供应商设定相同的价格，即w*= 常数1。根据定理2，我们知道均衡网络中的活跃供应商数量为K*或（K）*- 1） ，其中k*= 最小{K∈ Z+| v（K+1）- u周+1- c<0}，它只能是K*如果v（K*) - u周*- c<0（与精确为零相反）。如果后一种说法确实是否定的，那么价格就是有用的*+1.WM不能严格大于wK*在均衡状态下（因为，如果他们是，则不会与相应的供应商联系，使其预期收益为0），价格为w，工作时间：*-1不得离开工作场所*（因为相应的供应商将以均衡的方式联系在一起，他们可以将价格提高到（周）*-) 不影响他们积极性的可能性Aj（w）=1）。如果v（K*) - u周*- c=0，即如果供应商K*’s的激活不会影响零售商预期的支付，其推理与前一案例类似，价格w，工作时间：*-1应该是相同的将价格保持在工时以下是没有意义的*-1，作为最便宜的（K*- 1） 供应商将联系到（假设工作之间存在差距*-1和工作*). 在《维克多·阿梅尔金和拉凯什·沃赫拉：产量不确定性和供应链网络的形成》上，提交给运筹学的16篇文章；手稿编号#同一时间，周*, 工作时间：*+1.WM也应相同，因为设定的价格大于wK*将使aj（w）=0。现在的问题是，aj（w）=1和较小的价格w，oraj（w）是否更好∈ （0，1）和更高的价格*.