产量不确定性与供应链网络的战略形成

供应商链接到的可能性aj（w）*, . . . , m反映了其中一家供应商被选为K的频率*’活跃供应商，与m成反比。回顾我们关于m足够大的假设，我们可以得出aj（w）∈ （0，1）可以任意变小，使aj（（w，w-1） ）w=w>aj（（周*, w-K*))工作时间：*, 因此，推动价格发挥作用*, . . . , 因此，供应商有动机在均衡状态下设定相同的价格。最后，我们注意到，如果w=const·1，那么每个供应商都有动机将其价格降低极小的数量，成为最便宜的供应商，并增加其从任意小aj（w）活跃的可能性∈ （0，1）（作为在价格表上竞争的供应商数量，以及可以任意大的m）到aj（w）=1。因此，所有价格都朝着其下限（在本例中为0）移动。根据定理5，在均衡状态下，供应商以零利润进行交易。这一见解使我们能够重新审视之前关于网络均衡状态下活跃供应商数量及其程度的陈述，我们在下面的定理中就是这样做的。定理6（两阶段博弈中的纳什均衡）。在大型两阶段供应链形成博弈（见定义6）中，在任何纯策略纳什均衡（g*, w*) 在这个游戏中，w*= 0，且活动供应商的数量为K=K*, withK公司*=ju-σu-cuk=bzc，或k=k*或K=（K*- 1） 如果v（K*) = c、 每个活跃供应商都有d（j）=bv（K）/cc，更具体地说，如果K=K*, 然后d（j）=b1+u{z}/cc；如果K=K*- 1，则d（j）=b1+u（1+{z}）/cc；其中K=K*- 只有在v（K）时才可能为1*) = c、 Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》提交给运筹学；手稿编号：。

#17定理6的证明：将定理2应用于案例w*= 0，我们立即获取*= 最小{K∈ Z+| v（K+1）- c<0}，其中v（K）=u( - uK）- σ、 soK公司*=ju-σu-cuk=bzc。此外，根据定理3，我们得到了d（j）=bv（K）/cc。如果K=K*: d（j）=bv（K*)/cc=bv（bzc）/cc=b1+u{z}/cc。如果K=K*- 1： d（j）=bv（K*- 1） /cc=bv（bzc- 1） /cc=b1+u（1+{z}）/cc。在平衡效率分析中，我们只考虑当v（K*) > 因此，在每个均衡中，活跃供应商的数量正好是K*. v（K）情况的分析*) = c和K=K*或K=K*- 1非常相似，没有带来额外的见解。定理7（均衡福利）。在大型两阶段供应链形成博弈（见定义6）中，其纯战略纳什均衡（如定理6所示）具有以下预期社会福利=(u - c- u{z}- σ)(u - c- u{z}+2c{u{z}/c}）2u，其中z=u-σu-cu。定理7的证明：从定理6，我们得到了数字K的表达式*以及它们在平衡g下的d（j）度*:K*=ju-σu-cuk=bzc=z- {z} ，d（j）=b1+u{z}/cc，其中j∈ S+（g*). 由于每个供应商都有相同的度，那么链接的总数是| g |=Kd（j）=Kb1+u{z}/cc。将上述三个表达式替换为表达式（7）E[W elf are]=uK -uK- Kσ- 对于预期社会福利，我们得到了定理陈述中的表达式。Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》18篇文章提交给运筹学；第#6号手稿。异质供应差异下的价格形成在本节中，我们允许供应商之间的供应差异有所不同。为简单起见，我们将考虑与相同供应商的情况有一个小偏差，允许第一个供应商严格地更可靠。

在这种情况下，供应商的价格形成行为在以下定理中有特征。定理8（具有异质供应方差的均衡价格）。在具有大量战略零售商和供应商的两阶段供应链形成博弈中，如果随机供应具有相同的均值E【Sj】=u和不相同的变量Var【S】=σ<σ=Var【S】=···=Var【Sm】，且供应商执行均衡选择，忽略“高价值”供应商不关联的均衡*∈ ξ（w）→ j∈ S（g*):σj+uwj≥ 最大值`∈S+（g*){σ`+uw`}。然后，在纯策略纳什均衡下，w*=σ- σu- ε、 w*= · · · = w*m=0，其中ε是接近0的正实值。定理8的证明：在引理1之后，我们计算了零售商在固定w asE[ui（g，w）]=Xj下的预期收益∈N（一）vj（K）- uwjd（j）- c, vj（K）=u( - uK）- σj，K=K（g）=S+（g）|。算法1贪婪地构造了一个具有最大K数的纯策略纳什均衡网络*均衡状态下活跃供应商的最大数量仍然适用于这种情况，但该算法现在选择了按（σj+uwj）升序订购的供应商，而不是在相同供应商的情况下按wjin订购的供应商。随着这一变化，定理1的一个类比说明了均衡的存在，定理2的一个类比说明了均衡时活跃供应商的数量。与定理3类似，我们确定供应商j在非平衡状态下的阶数为d（j）=b（vj（K）- uwj）/立方厘米。最后，价格形成与定理5的证明中描述的情况类似，但存在一个定性差异。虽然价格趋向于0，但Firstvictor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》一文提交给运筹学；手稿编号：。

#19供应差异σ较低的供应商-比其他供应差异σ较高的供应商具有优势。对于供应商1和任何其他供应商（例如，2），从与之相关的零售商的角度来看是等效的，必须是σ+uw=σ+uwor，等效地，w- w=（σ- σ)/u. 因此，当wisdriven为0时，第一个供应商可以将其价格设置为w*小于（σ）的任何值- σ） /u，从而保证自身处于“最佳价值”供应商的地位，该供应商始终与所考虑的均衡ξ（w）相联系，使其预期收益E【uj（w）】=aj（w）uw*= uw*≈ σ- σ.相反，如果第一个供应商决定将其价格设定为严格大于（σ-σ） /u，则零售商永远不会将其链接，从而使其预期收益为0。如果将其价格精确设置为（σ- σ） /u，那么，从零售商的角度来看，它将等同于所有其他供应商，其数量（m- 1） 可以任意大，因此，第一个供应商与aj（w）关联的可能性将是任意小的，这将是该供应商的预期收益。定理8规定，供应商有提高其可靠性的动机，因为后者允许他们以正边际利润进行交易，而不是当所有供应商都相同时以零边际利润进行交易；边际利润的价值由供应差异决定。在陈述了均衡价格的结果之后，我们现在将描述供应商供应差异的改善如何影响社会福利，忽略定理8中获得的第一个（改善的）供应商价格表达式中的最小ε。定理9。

在定理8的条件下，当一个供应商的供应方差σ<σ=···=σm时，总预期社会福利变化为asE[W elf are]=E[W elf areident]+（σ- σ） 式中，E[W elfareident]是具有相同供应商的供应链的社会福利，如定理7所示。特别是，1。供应商的福利增加了E[u（w*)] = σ- σ;2、零售商福利不变；消费者福利下降（σ- σ).Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》20篇文章提交给运筹学；手稿编号#定理9的证明：首先，请注意，当第一个供应商改善其供应差异时，这不会影响数字K*或每个供应商在均衡状态下的d（j）度。的确，K*是否明确询问*= 最小{K∈ Z+| vK+1（K+1）- u周+1- c<0}。K不能为0，因为相反的情况会违反假设1，即在没有链接的情况下，每个供应商的“价值”都是非负的。

然而，这意味着表达式k*=ju-σu-cuk=BZC代表k*即使第一个供应商改变其供应差异，定理6仍然有效。此外，在平衡mV（K）下-uw*= u(-uK）-σ-uw*= u(-uK）-σ-uσ- σu= u(-uK）-σj=vj（K）-uw*j、 式中，j>1，因此之前导出的平衡时供应商度的表达式md（j）=b（vj（K）- uwj）/cc仍然有效，根据它，所有供应商在均衡时仍然具有相同的等级。根据上述两个观察结果，我们现在可以按照定理4计算预期社会福利，并分析当第一个供应商改善其供应差异时，其不同组成部分会发生什么情况。零售商福利，定义为asEhXi∈Dui（g，w）i=Xi∈DXj公司∈N（一）vj（K）- uwjd（j）- c显然不会因σ的变化而改变，因为vj（K）- uwj=常数，d（j）=平衡时所有供应商的常数。供应商福利HXJ∈Suj（g，w）i=uXj∈S+（g）w*j=uw*= uσ- σu= σ- σ包括大多数设定零价格的供应商的零福利，以及正福利σ-第一个供应商的σ，而相同供应商的σ通常为0。Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》提交给运筹学；手稿编号：。

#21最后，消费者剩余将发生变化( - x） dx公司-Xk公司∈S+（g）Sk( - T（S））i=Eh（Xj∈S+（g）Sj）（Xk∈S+（g）Sk）i=（Xj，k∈S+（g）u+Xj∈S+（g）σj）=（Ku+（K- 1） σ+σ）=（Ku+Kσ+σ- σ） =K（Ku+σ）-σ- σ=E[消费者识别]-σ- σ、 式中，E【ConsumerW ElfareIdentit】是相同供应商情况下的预期消费者剩余，在引理4的证明中计算。如果我们收集上述供应商、零售商和消费者福利的变化，我们将得出以下结论：作为上述三个组成部分之和的总预期社会福利增加了（σ- σ） /2，消费者支付该金额，而供应商的收入是这一金额的两倍。根据定理9，供应商可靠性的提高有利于相应的供应商，而零售商没有受到影响，消费者面临可靠性提高成本。7、异质供应预期下的价格形成在上一节中，我们确定供应商有动机提高其可靠性以获得正边际收益，自然的问题是关于提高预期供应的类似陈述是否也有效。让我们考虑一个与前一节类似的简单环境，但让第一个供应商有一个严格更好的预期供应u=u+δ，（δ>0），u=u=···=um=u，而所有供应商都是相同的w.r.t.供应方差σ。定理10（具有异质供应平均数的网络均衡）。

在具有固定w的足够大的供应链网络形成博弈中，供应商具有相同的供应方差Var【Sj】=σ，但第一个供应商具有严格更好的平均供应量E【S】=u+δ>u=E【S】=E【S】=··=E【Sm】，让我们计算B（K）=ns S | | S |=K；j∈ s： vj（s）- ujwj- c≥ 0;s6=s：| s |=| s |→Xj公司∈s( -X个`∈su`- wj）uj≤Xj公司∈s( -X个`∈su`- wj）ujoVictor Amelkin和Rakesh Vohra：产量不确定性和供应链网络的形成22提交给运筹学的文章；手稿编号#为最佳供应商的基数-K子集集，vj（s）=( -P`∈su`）uj- σ.然后，存在该博弈的纯策略纳什均衡；以及o均衡网络中活跃供应商数量最多的isK*最大值=最小值{K |K+>K:B（K+）=}.定理10的证明：最大数K的定义*maxof active suppliers atan均衡以及贪婪地构建这样数量的active suppliers均衡遵循算法1和引理2的思路——首先，激活尽可能多的供应商，然后，使用空需求节点为每个链接创建尽可能多的链接到每个active supplier。然而，有一点不同。在这里，我们不能再按照价格对供应商进行排名，而且，也没有对供应商进行静态排名。因此，我们定义了∈ B（K）规模为K的最佳供应商，并选择其中一家对应于最大K的供应商*通过将尽可能多的链接连接到所选供应商来获得平衡的最大值。注意，K*maxis的定义很明确，因为vj（s）的活跃供应商数量单调减少，而总供应商数量m非常大，并且在某些情况下，条件vj（s）- ujwj- c≥ 0将不适用于系统中的任何供应商。平衡的存在紧随其后，如定理1中相同供应商的情况。

定理11（具有异质供应平均数的均衡价格）。在具有大量战略零售商和供应商的两阶段供应链形成博弈中，如果随机供应具有相同的方差Var[Sj]=σ，且不相同的方差u=u+δ>u=E[S]=···=E[Sm]，供应商执行均衡选择，忽略“高价值”供应商与之无关的均衡*∈ ξ（w）→ j∈ S（g*):-X个`∈S+（g*)u`-wj公司uj≥ maxj公司+∈S+（g*)n -X个`∈S+（g*)u`- wj公司+uj+o。如果最大值为K*定理10中定义的均衡条件下，活跃供应商的最大数量大于1，然后在纯策略纳什均衡条件下，供应商价格为*= δ - uK*最大u+δ- 1.- ε、 w*= · · · = w*m=0，其中ε>0接近0。如果K*最大值=1，然后（w*, . . . , w*m）∈ [0;  - u - （σ+c）/u]m-1、Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》提交给运筹学；手稿编号#23定理11的证明：从定理5的证明中推论出相同的供应商2，3，m倾向于设定相同的价格，他们愿意提高其在网络均衡中被关联的可能性aj（w），从（0，1）中的有效最小值提高到1，从而将价格推到0。在这种情况下，如果我们假设某个特定数量的活跃供应商处于均衡状态，如果第一个供应商设定其价格wto bew=δ - uKu+δ- 1.,这将导致j>1：( -P`∈S+（g*)u`- wj）uj=( -P`∈S+（g*)u`- w） u，也就是说，从零售商的角度来看，第一个供应商与其他供应商无法区分。如果供应商使用这样的价格，那么它将与许多供应商竞争，这些供应商的数量与数量（m）一起缩放- 1） 对于其他供应商，使其与任意小值关联的可能性为a（w）（因为链的大小m非常大）。

此外，由于所有其他供应商都设定了相同的价格，供应商1将无法与所有供应商或任何供应商区分开来。因此，为了将其关联的可能性a（w）从任意小的值提高到1，第一个供应商需要确保，无论平衡状态下活跃供应商的数量K是多少，该供应商的“价值”都严格高于所有其他供应商。因此，该供应商的价格接近其与其他供应商无法区分的价格，与左派中数量最多的活跃供应商保持平衡*→ δ - uK*最大u+δ- 1.- 然而，如果K*max=1，那么，虽然第一个供应商按照上述方式保守地设定其价格并获得链接，但所有其他供应商将没有与其价格相关的链接，因此，（w*, . . . , w*m）∈ [0;  - u -σ+cu]m-1，其中供应商价格的上限来自假设1。Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》24篇，提交给运筹学；手稿编号#确定了供应商如何在均衡状态下设定价格，我们可以描述社会福利如何随着第一个供应商提高其能力而变化。接下来，我们将忽略角落案例K*max=定理11中的1，对应于大量非信息平衡。定理12。