股票收益率分布椭圆模型的新性质检验

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英文标题：
《Testing new property of elliptical model for stock returns distribution》
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作者：
Petr Koldanov
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Wide class of elliptically contoured distributions is a popular model of stock returns distribution. However the important question of adequacy of the model is open. There are some results which reject and approve such model. Such results are obtained by testing some properties of elliptical model for each pair of stocks from some markets. New property of equality of $\\tau$ Kendall correlation coefficient and probability of sign coincidence for any pair of random variables with elliptically contoured distribution is proved in the paper. Distribution free statistical tests for testing this property for any pair of stocks are constructed. Holm multiple hypotheses testing procedure based on the individual tests is constructed and applied for stock markets data for the concrete year. New procedure of testing the elliptical model for stock returns distribution for all years of observation for some period is proposed. The procedure is applied for the stock markets data of China, USA, Great Britain and Germany for the period from 2003 to 2014. It is shown that for USA, Great Britain and Germany stock markets the hypothesis of elliptical model of stock returns distribution could be accepted but for Chinese stock market is rejected for some cases.
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中文摘要：
广义椭圆等高线分布是一种流行的股票收益率分布模型。然而，模型的充分性这一重要问题仍然存在。有一些结果拒绝和批准这种模式。这些结果是通过测试某些市场中每对股票的椭圆模型的一些性质得到的。本文证明了具有椭圆等高分布的任意一对随机变量的$\\ tau$Kendall相关系数相等和符号重合概率相等的新性质。构造了检验任何一对股票的这一性质的无分布统计检验。构建了基于个体检验的Holm多假设检验程序，并将其应用于具体年份的股市数据。本文提出了一种新的检验股票收益率分布的椭圆模型的方法。该程序适用于中国、美国、英国和德国2003年至2014年的股票市场数据。结果表明，对于美国、英国和德国的股票市场，可以接受股票收益率分布的椭圆模型假设，但对于中国的股票市场，在某些情况下却被拒绝。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
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关键词：股票收益率 股票收益 收益率 distribution Applications

测试ELLIPTICALMODEL的新特性，以实现股票收益分布。Petr Koldanov 2019年7月25日摘要一类椭圆等高线分布是一种流行的股票收益率分布模型。然而，模型的充分性这一重要问题尚未解决。有一些结果拒绝并批准了此类模型。这些结果是通过测试一些市场中每对股票的ellipticalmodel的一些性质得到的。本文证明了具有椭圆等高线分布的任意一对随机变量的τKendall相关系数相等和符号重合概率相等的新性质。构造了用于测试任何一对股票这一性质的无分布统计检验。构建了基于个体测试的Holm多假设测试程序，并将其应用于具体年份的股票市场数据。本文提出了一种新的检验股票收益率分布的椭圆模型的方法。该程序适用于中国、美国、英国和德国2003年至2014年的股票市场数据。结果表明，美国、英国和德国股市可以接受股票收益率分布的椭圆模型假设，但中国股市在某些情况下被拒绝。关键词：股票收益率分布、椭圆模型、τ-肯德尔相关、符号重合概率、无分布检验、多决策统计过程、拒绝图。1介绍近十年来，多变量股票收益率分布模型越来越受到人们的关注。投资组合构建和风险管理尤其需要这种模型。股票收益率分布的流行模型是一类广泛的椭圆等高线分布（见[安德森（2003）]，[古普塔（2013）]）。

【Chicheportiche&Bouchaud（2012年）】研究了椭圆模型与美国和日本股市数据的一致性，其中表明股票回报的联合分布不是椭圆的。这样的结果是通过比较任何一对股票之间的成对依赖度量得到的。同时，作者指出，应用的方法论不是统计的。在【Koldanov（2016）】中，提出了检验股票收益率分布对称性的统计方法。构造了检验任意一对股票收益率分布对称性的无分布检验。这些单独的测试使用了著名的Holm程序【Holm（1979）】，用于测试美国和英国市场股票回报联合分布的对称性。引入了拒绝图的概念，指出删除图中的枢纽（高度垂直）可以接受股票收益率分布的对称性假设。目前的工作继续了【Koldanov（2016）】中开始的研究。本文证明了椭圆等高分布的新性质，即任意一对随机变量的τKendall相关系数的相等性和符号重合概率（measureQ（[Kruskal（1958）]）的性质。该性质用于检验股票收益率分布的椭圆模型。单个假设的无分布检验检验hi，j：τi，j=Qi，jagainstki，j：τi，j6=Qi，jfor any i，j=1，p（其中p是市场中的股票数量）被构造。结合使用Holm程序的这些单独测试来测试椭圆模型与股票收益率分布的一致性。拒绝图的概念【Koldanov（2016）】用于描述Holm程序的结果。

得到的结果表明，椭圆模型的拒绝与中国股市的少量股票对有关。去掉这些股票，股票收益率分布的椭圆模型就不成立了。构建了检验某一时期股票收益率分布椭圆模型的新方法。该程序基于不同年份Holm程序结果的组合。新程序适用于中国、美国、英国和德国2003年至2014年的股市数据。结果表明，对于美国、英国和德国的股票市场，股票收益率分布的椭圆模型假设是可以接受的。相反，本文发现，对于中国股票市场，在某些情况下，股票收益率分布的椭圆模型假设被拒绝。论文组织如下：第2节介绍了主要符号和定义，并证明了椭圆等高线分布的τ-肯德尔相关系数和测度Q（【Kruskal（1958）】）相等定理。在第3节中，构建了单独的测试。第4节描述了Holm程序。第5节介绍了新的程序，并描述了获得的实验结果。第6节讨论了获得的结果。椭圆等高线分布的2对度量二十、 。Xp系统是连续的随机向量。随机变量之间存在若干相关系数（或成对的依赖性度量），如皮尔逊相关、斯皮尔曼相关、肯德尔相关、费希纳相关、克鲁萨尔相关。其中一些在【Kruskal（1958）】中进行了调查。

Kruscal相关性基于以下度量。定义1随机变量之间依赖性的度量Q xind Xj（【Kruskal（1958）】是Qi，j=P[（Xi- 医学（Xi））（Xj- med（Xj））>0]，其中med（Xi）是随机变量Xii的分布FXi（x）的中间值。e、 P（Xi>med（Xi））=P（Xi<med（Xi））=或FXi（med（Xi））=。还表明，τ-肯德尔相关系数τi，jis基于以下度量：定义2LetXiXj公司是具有累积分布函数FXiXj（x，y）和let的随机向量Xi（t）Xj（t）,Xi（t+1）Xj（t+1）是向量的独立副本XiXj公司.Kendall测度τi，由等式τi定义的随机变量之间的jof依赖性，j=P[（Xi（t））- Xi（t- 1） ）（Xj（t）- Xj（t- 1） ）>0]证明了如果随机向量X=（X，X，…，Xp）具有已知u的多变量非线性分布N（u，λ），那么对于所有i，j=τi，j=1，pi 6=j（1）让我们证明（1）对于椭圆等高线分布ECD（u，λ，g）和任何函数g都成立。如果密度的形式为：f（X；u，λ）=∧，则随机向量X=（X，X，…，Xp）具有椭圆等高线分布cd（u，λ，g）|-g{（x- u)Λ-1（x- u）}（2），其中∧是正定义矩阵，函数g（x）≥ 0和Z∞-∞. . .Z∞-∞g（yy）dy。dyp=1一类椭圆等高线分布尤其包含多变量非线性分布和多变量学生分布。已知e（Xi）=ui，i=1，2，p如果存在。定理1如果随机向量X具有已知u的椭圆等高分布ECD（u，λ，g），则对于任何g，都有Qi，j=τi，j，i、 j=1，p、 i 6=j。证明向量X具有椭圆等高分布ECD（u，λ，g），然后med（Xi）=ui，即。

矢量U=X-med（X）具有椭圆等高线分布ECD（0，λ，g）。向量X（t），X（t-1） 独立（定义2）且具有椭圆等高线分布ECD（u，λ，g），然后通过引理1从【Lindskog（2003）】向量=X（t）-X（t-1） 具有椭圆等高线分布ECD（0，λ，g），其中z∞-∞. . .Z∞-∞g（yy）dy。dyp=1在【Kalyagin（2017）】中，引理2表明，如果X具有椭圆等高分布ECD（0，λ，g），则P（Xi>0，Xj>0）=+2π弧λij√λiiλjj（其中λij是矩阵∧的元素），不依赖于g。因此P（UiUj>0）=P（ViVj>0）或Qi，j=τi，jforg、 证明了定理1。定理1具有以下推论1如果向量u已知且存在i，j=1，pi 6=j，使得Qi，j6=τi，j当向量X没有椭圆等高线分布时。在实际操作中，假设已知向量u是不现实的。为了处理未知u，让我们证明以下定理2LetX（1）X（1）。Xp（1）,X（2）X（2）。Xp（2）, . . . ,X（n）X（n）。Xp（n）是来自向量X的独立同分布观测的样本=二十、 。Xp系统具有椭圆等高线分布ECD（u，λ，g）。LetXi=nnXt=1Xi（t），然后对于n≥ 2一个搭扣（（Xi（t））-Xi）>0，（Xj（t）-Xj）>0）=+2π弧sinλijpλiiλjj，i、 j=1，pt=1，根据[Lindskog（2003）]中的引理1，如果向量Zhas椭圆中心分布ECD（u，λ，g）和向量Zhas椭圆等高线分布ECD（u，λ，g），那么向量aZ+bZhas椭圆等高线分布ECD（au+bu，λ，g）。在不丧失一般性的情况下，考虑t=1的情况。

一个hasX（1）- X=n- 1nX（1）-[Lindskog（2003）]引理1中的nnXt=2X（t）向量nnXt=2X（t）具有椭圆等高线分布ECD（n- 1nu，λ，g？）因为向量X（1）和npnt=2X（t）是独立的，所以向量X（1）- X轴椭圆等高线分布ECD（0，λ，g°）来自【Kalyagin（2017）】的引理2，一个搭扣（（Xi（t））-Xi）>0，（Xj（t）-Xj）>0）=+2π弧sinλijpλiiλjj，t=1，ni、 j=1，p、 证明了定理2。从定理2可以看出，如果向量X具有椭圆等高分布ECD（u，λ，g），那么p（（Xi（t））-Xi）>0，（Xj（t）-Xj）>0）=P（Xi（t）-ui）>0，（Xj（t）-uj）>0）=Qi，j根据定理2和推论1，如果存在i，j=1，…，则有以下推论2，pi 6=j，因此Qi，j6=τi，j当向量X具有非椭圆等高分布时。3个人假设的检验来自推论2。为了研究与椭圆模型的一致性，有必要检验等式Qi，j=τi，j对于任何i，j=1，pi 6=j。该问题可表述为同时测试以下假设的问题：i，j：Qi，j=τi，jagainst ki，j：Qi，j6=τi，j（3）。在本节中，无分布测试用于测试单个假设（3）。在不丧失一般性的情况下，让我们考虑情况i=1，j=2。允许x（1）x（1）,x（2）x（2）, . . . ,x（n+m）x（n+m）是来自随机向量的样本XX号.对于检验假设h1，2:Q1，2=τ1,2against k1，2:Q1，26=τ1,2let usconsider the statistics^τ1,2=[n]Xi=1S{x（2i）- x（2i- 1） ）（x（2i）- x（2i- 1） }（4）和^Q1,2=n+mXi=n+1S（（x（i））- x） ×（x（i）- x） ）（5）其中（x）=1，x>00，x≤ 0xk=mn+mXi=n+1xk（i），k=1，2静态^τ1,2具有二项分布b（r，τ1,2），其中r=n, 统计量^Q1,2具有二项分布b（m，Q1,2）。此外，统计数据^τ1,2，^Q1,2因其基于不同的观察结果而不同。

因此，P（^τ1,2=k，^Q1,2=l）=Ckrτk1,2（1- τ1,2）r-kClmQl1,2（1- Q1,2）m-l==CkrClmexpnk ln（τ1,21-τ1,2）+l ln（Q1,21-Q1,2）o（1- τ1,2）r（1- Q1,2）M当测试h1,2的一致最强大无偏（UMPU）测试（见【Lehmann（2005）】，第126页）：Q1,2=τ1,2against k1,2：Q1,26=τ1,2的形式为：Д1,2（x）=0，c（l+k）≤ k≤ c（l+k）1，k<c（l+k）或k>c（l+k）（6），其中c（l+k），c（l+k）定义自：PQ1,2=τ1,2（k<c（l+k）或k>c（l+k）/^τ1,2+^Q1,2=l+k）=α（7），为简单起见，让我们考虑测试Д1,2（x），其中常数c（l+k），c（l+k）由方程确定：PQ1,2=τ1,2（k<c（l+k）/τ1,2+τQ1,2=l+k）=αPQ1,2=τ1,2（k>c（l+k）/τ1,2+τQ1,2=l+k）=α（8）SincePQ1,2=τ1,2（τ1,2=k/τ1,2+τQ1,2=l+k）=ckmckrl+lr+mt当c（l+k）是满足以下条件的最大整数：c（l+k）Xi=0圈l+k-imCk+lr+m≤α（9）c（l+k）是满足以下条件的最小整数：rXi=c（l+k）CirCl+k-imCk+lr+m≤α（10）试验（6）的p值定义为q1,2=2 min（kXi=0CirCl+k-imCk+lr+m，rXi=kCirCl+k-imCk+lr+m）（11）4 Holm程序在大型股票市场的情况下，股票对的数量巨大，有必要考虑所谓的多重性现象（【Bretz（2011）】）。为了用椭圆模型研究股票收益率分布的一致性，使用了多假设检验方法（见【Lehmann（2005）】，第9章）。多重比较程序调整了从实验中得出的统计推断的多重性，从而能够做出更好的决策。在我们的方法中，多重测试的显著性水平由至少一种类型错误的概率给出，称为家庭错误率（FWER）。采用（11）中的p值测试单个假设（3）的测试（6）组合在同时测试程序中。

为了控制至少一次错误拒绝真实个体假设的概率（3），使用了众所周知的Holm程序【Holm（1979）】。在我们的例子中，Holm程序最多包含M=Cpsteps。在任何步骤中，一个假设hi、jis被拒绝或所有其他假设都被接受。Holm程序由以下算法定义：o步骤1：Ifmini，j=1，。。。，pqi，j≥αm当所有假设hi，j，i，j=1，2，接受p，否则，如果最小，j=1，。。。，pqi，j=qi，j假设hi，jis被拒绝，进入步骤2。o步骤K：设I={（I，j），（I，j），…，（iK-1，jK-1） }是以前被拒绝的假设的指标集。Ifmin（i，j）/∈Iqi，j≥αM- K+1然后接受假设hi，j，（i，j）/∈ 一、 否则，如果最小值（I，j）/∈Iqi，j=qiK，JK然后拒绝假设hiK，JK并进入步骤（K+1）。o步骤M：设I={（I，j），…，（iM-1，jM-1） }是以前被拒绝的假设的索引集。Let（iM、jM）/∈ 一、 IfqiM，jM≥ α然后接受假设hiM，jM，否则拒绝假设hiM，jM（拒绝所有假设）。5椭圆模型试验。实验结果本节介绍了我们的实验结果。首先，我们给出了中国股票市场的结果，结果表明，对于2006年、2010年和2011年，股票收益率的椭圆模型的假设可能会被拒绝，仅适用于少数股票。然后，我们考虑了不同国家的股票市场在某一时期的情况，并提出了检验股票收益率在整个时期分布的椭圆模型假设的程序。在我们的实验结果中，我们考虑了2003年至2014年期间中国、美国、英国和德国的股票市场。5.1中国股市椭圆模型的检验。为获得中国股市的实验结果，选择了2006年中国股市交易量最大的100只股票。

FWER=0.05的Holm程序；2003年至2014年期间，每年对选定的股票进行0.5和单独测试（6），p值为（11）。为了描述Holm程序的结果，使用了【Koldanov（2016）】中引入的拒绝图概念。当且仅当单个假设hi，j:Qi，j=τi，j被Holm多重检验程序拒绝时，拒绝图的节点与该边缘相邻，则在拒绝图中添加边缘（i，j）。在所有呈现的结果中，选择了n=m=125的值。根据上半年的观察结果，τKendall测度（定义2）是根据下半年的观察结果估计的，Q Kruscallmeasure（定义1）是估计的。获得的结果如图1（2006年）和图2（2010年）所示。图中仅显示了与拒收图中某些边缘相关的顶点。请注意，与【Koldanov（2016）】中构建的拒收图相比，在这种情况下，没有集线器。同时，被拒绝的假设数量非常少，远远少于【Koldanov（2016）】。这些图表中的股票报价人列表如下：图1:2006年中国市场拒绝图。FWER=0.5。n=m=图2：2010年中国市场的拒收图。FWER=0.5。