粗糙波动的时间不一致性

在概率测度P下，我们将E[·]和E[·| Ft]分别表示为期望和条件期望，这是一般控制u下弱解的一部分。如Viens和Zhang（2019），我们使用F=FXu，W.2.2示例：Volterra-Heston模型考虑二维s标准布朗运动W，（W，W）。（2.1）的一个重要示例是经典Heston m odel El Eu ch和Rosenbaum（2019）的粗略版本：νt=ν+Γ（H+）Zt（t-r） H-1/2κ(φ - νr）dr+Γ（H+）Zt（t-r） H类-1/2σ√νrdBr，（2.3），其中Γ（·）是伽马函数，H是赫斯特参数。dBr=ρdW1r+p1- ρdW2randν、κ、φ和σ是正常数。股票价格与波动性之间的相关系数ρ也保持不变。当H=1/2时，模型简化为Basak和Chabakauri（2010）采用的经典Heston模型；Dai等人（2020年）。（2.3）的波动轨迹几乎肯定具有更高的规律性- ε、 对于所有ε>0，如El Euch和R osenbaum（2019）所示。因此，（2.3）被称为粗糙Heston模型，Hurst参数H是波动率粗糙度的指数。H越小，波动性越剧烈。El E uch和Rosenbaum（2019年，第5.2节）的H值为0.1，表明粗糙的Heston模型为波动率偏差提供了显著的结果，包括极短到期的情况。因此，它捕获了ATM倾斜爆炸所隐含的短期风险。Abi Jaber et al.（2019）中的Volterra-Heston模型扩展了r ough-Heston模型（2.3），如下所示：νt=ν+κZtK（t- r） （φ- νr）dr+ZtK（t- r） σ√νrdBr，（2.4），其中K（·）是核函数。通过设置K（t）=tH-1/2Γ（H+1/2），即分数核，（2.4）恢复（2.3）。根据Abi Jaber等人（2019），我们对核函数施加以下假设。假设2.2。核K是严格正且完全单调的。

存在τ∈ （0，2）使得Rhk（t）dt=O（hτ）和Rt（K（t+h）-K（t））dt=O（hτ），每t<∞.如Abi Jaber等人（2019年）；Basak和Chabakauri（2010年）；Dai等人（2020），风险资产（股票）价格STI假设如下：dSt=St（Υt+θνt）dt+St√νtdW1t，S>0，（2.5），确定性有界无风险率Υt>0，常数θ6=0。风险的市场价格或风险概率由θ给出√νt.这种风险溢价规范在文献中广泛使用，如Basak和Chabakauri（2010年，第2.2节）和Dai等人（2020年）；B–Auerlean和Desmettre（2020年）。风险收益率Υt>0是市场上可用的无风险资产的回报。事实上，如备注3.6所示，一般赫斯顿规范（Liu，2007；Basak and Chabakaur i，2010；Dai等人，2020）也是可处理的。我们采用（2.5）简化表示。我们引用了Abi Jaber等人（2019）的以下结果，这保证了Volterra-Heston模型的存在性和弱唯一性。定理2.3（Abi Jaber等人（2019年，定理7.1））。在假设2.2下，随机Volterra方程（2.4）-（2.5）具有唯一的定律R≥0×R≥任意初始条件（S，ν）的0值连续弱解∈ R≥0×R≥0、备注2.4。（2.4）-（2.5）的路径唯一性通常仍然是一个悬而未决的问题。我们提到Abi Jaber和El Euch（2019，命题B.3）是与内核K相关的结果∈C（[0，T]，R）和Mytnik和Salisbury（2015年，命题8.1），用于某些光滑的果仁。然而，（2.4）-（2.5）的强唯一性对于奇异核是开放的。对于弱解，布朗运动可以根据需要自由构造。在续集中，我们将一个解（S，ν，W，W）固定到（2.4）-（2.5），因为其他解具有相同的规律。

此外，对于Volterra-Heston模型，边界点0可能是可触及的，并且边界点0的属性是开放的。将股票中的财富金额乘以√νtand表示为投资策略u。让Mutbe成为财富过程。然后，相互满足=ΥtMut+θ√νtutdt+utdW1t，Mu>0。（2.6）很明显，（2.6）和（2.4）中的（Mu，ν）是Volterra过程（2.1）的特例。我们以统一的方式处理（2.1）中的一般时间不一致性问题，而应用程序侧重于（2.6）和（2.4）。2.3时间不一致偏好下的均衡对于时间不一致问题，我们必须考虑从时间t开始的状态过程∈ [0，T）.对于s≥ t、 一般状态过程（2.1）可分解如下：Xus=x+Ztu（s；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dr+Ztσ（s；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dWr+Zstu（s；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dr+Zstσ（s；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dWr。继Viens和Z hang（2019年）之后，我们定义了美国x+Ztu（s；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dr+Ztσ（s；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dWr，t≤ s≤ T、 （2.7）T 7→ Θt，usis 0的半鞅≤ t型≤ s、 使用Θt，us，我们将路径ω连接为ωs=（XutΘt，u）s，Xus{0≤s<t}+Θt，us{t≤s≤T}。（2.8）虽然ω在[0，T]上定义，但它适用于Ft。ω是P-a.s.连续的。对Θt，usis的解释如下：Θt，us=EhXus-Zstu（s；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))博士Fti，（2.9），与修改后的正向过程相关（Keller-Restel等人，2018）。它代表了未来进程分布的当前视图。特别是，如果我们考虑Volterra-Heston模型（2.4），那么Θts=ν+κZtK（s- r） （φ- νr）dr+ZtK（s）- r） σ√νrdBr，（2.10），对应于Θt，uin（2.7）的方差部分。由于u没有出现在varianceprocess中，因此我们将其从表示法中排除，这将成为Θt。

我们进一步表示方差过程的串联路径ω，如下所示：ωνs=（νtΘt）s，νs{0≤s<t}+Θts{t≤s≤T}。（2.11）对于Θtsin（2.10），Viens和Z hang（2019年，方程式（5.11））表明，Θtscan be represented by the forward variance curve E[νs | Ft]。因此，Θt可以与金融产品CT（如差异掉期）大致复制。在时间t，对于实现的路径ω，我们有以下内容：Xt，ω，us=ωs+Zstu（s；r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))dr+Zstσ（s；r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))dWr，t≤ s≤ T、 Xt，ω，us=ωs，0≤ s<t，（2.12），其中符号Xusis替换为Xt，ω，Ust，以突出其对t和路径ω的依赖性。对于t≤ s≤ T，ΘT，usis然后解释如下：ΘT，us=ωs=x+Ztu（s；r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))dr+Ztσ（s；r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))dWr。（2.13）对于给定的反馈策略u，设uu（t；r，ω），u（t；r，ωr∧·, u（r，ωr∧·)), σu（t；r，ω），σ（t；r，ωr∧·, u（r，ωr∧·)). （2.14）由于我们可以用相同的奇点来考虑uu和σu，因此我们只会遇到两种情况。如果limr→tuu（t；r，·）=∞ 和limr→tσu（t；r，·）=∞, 这被称为单数情况；否则，如果limr→tuu（t；r，·）<∞ 和limr→tσu（t；r，·）<∞, 这被称为常规病例Viens和Zhang（2019）。我们介绍了奖励函数如下：J（t，ω；u），EhZTtC（t，ωt，r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))dr+F（t，ωt，Xt，ω，uT∧·)Fti+G（t，ωt，E[Xt，ω，uT | Ft]，（2.15），其中Xt，ω，uis由（2.12）给出。功能（2.15）将嵌套MV标准（3.4）作为特例。由于缺乏流动资产，SVIE（2.1）的时间不一致（Viens和Zhang，2019）。然而，我们关注目标函数J的时间不一致性问题，这源于其对当前时间t、当前状态ωt和非线性函数G的依赖性。因此，函数（2.15）不满足Bellman最优性原则。

在当前时间t最大化（2.15）的策略在未来某个时间可能不再是最优的。Werefer读者阅读Basak和Chabakau ri（2010）；赵等（2014）；比约克等人（2014、2017）；Daiet等人（2020年），了解（2.15）的动机和示例。从概念上讲，非马尔可夫属性意味着仅仅记录当前状态是不够的。需要Ftis提供更多信息。对于Volterra过程，级联路径ω是有效的。此外，通过将奖励J写成ω=Xu的函数tΘt，u大于Xut∧·只是，J在mildconditions下保留了一些很好的正则性属性，例如连续性。为了进一步澄清，尽管uis是Xut的一个功能∧·, 由于所涉及的随机积分，在一致收敛条件下，依赖关系是完全不连续的。读者可参考Viens和Zhang（2019，备注3.2）了解具体示例。Viens和Zhang（2019）发现，可以通过包含Θt，u来恢复FLOW属性，从而得出Functionat^o公式。第3节使用特定的例子更具体地阐明了基本原理。设m是多项式增长率的一般正值，其可能从直线到直线e变化。由上确界范数| |ω| | T，sup0≤t型≤在附录A中定义的T |ωT |，我们在| |·| | T.假设2.5下引入ω的连续性。F和G的性质：（1）。对于任何固定的s和y，F是ω的多项式增长。即| F（s，y，ω）|≤ C[1+| |ω| | mT]，（2.16）对于某些常数C，m>0。(2). 对于任何固定的s和y，G（s，y，z）在z上是连续可微的。类似地，对于给定的反馈策略u，letCu（t，ω，s，y），C（s，y，t，ωt∧·, u（t，ωt∧·)). （2.17）定义2.6。u被认为是一个可接受的策略，用u表示∈ U、 如果（1）。假设2.1成立。(2).

（a） 如果uuan和σuar是正则的，那么对于固定的t∈ [0，T]，假设uu（T；r，ω）和σu（T；r，ω）在r中是右连续的∈ [0，t]和ω中的连续∈ Ohm. tuu（t；r，·）和tσu（t；r，·）e xi st代表t∈ [r，T]。对于Д=uu，σu，tuu，tσu，|Д（t；r，ω）|≤ C[1+| |ω| | mT]，（2.18）对于某些常数C，m>0。（b） 如果uuan和σuar为单数，则对于固定t∈ [0，T]，假设uu（T；r，ω）和σu（T；r，ω）在r中是右连续的∈ [0，t）和ω中的连续∈ Ohm. 对于Д=uu，σu，假设tИ（t；r，·）e xi sts用于t∈ （r，T），并且存在0<H<1/2，使得对于任何0≤ r<t≤ T，|Д（T；r，ω）|≤ C[1+| |ω| | mT]（t- r） H-1/2, (2.19)|tД（t；r，ω）|≤ C[1+| |ω| | mT]（t- r） H-3/2，（2.20）对于某些常数C，m>0。(3). 对于任何固定的s和y，CUI在（t，ω）中是连续的。多项式在ω中均匀增长的Cuis，即| Cu（t，ω，s，y）|≤ C[1+| |ω| | mT]，（2.21）对于某些常数C，m>0。(4). 对于任何固定的s和y，Ehsupt≤r≤TC（s，y，r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))+F（s，y，Xt，ω，uT∧·)Fti（2.22）+G（s，y，E[Xt，ω，uT | Ft]）≤ C[1+| |ω| | mT]，对于一些常数C，m>0，这些常数与t无关。作为在t时是最优的策略，在t之后可能不再是最优的，代理会主动偏离它。Strotz（1955）；Ekeland和Pirvu（2008年）；Bj¨ork等人（2017）认为，任何理性的代理人都应该只选择她不会偏离的策略。非正式地说，意识到时间不一致的代理人可以在不同的未来时间将自己视为不同的代理人。时间t处的代理通过选择控制函数u（t，·），在时间t处精确控制状态。候选容许均衡策略^u应具有以下性质：如果对于每个r>t，代理在r时选择^u（r，·），则代理在t时选择^u（t，·）是最理想的。这种均衡策略是通过归纳法向后制定的。

因此，导出的^u不会偏离。上述非正式论点在离散时间内效果良好；但在连续时间内，控制Lebesgue测度为零的时间集对状态过程没有影响。T hus，允许代理在时间T作用于一个非常小的间隔[T，T+h），然后将h发送到零。形式上，让u（r，ωr∧·) 是一个也可接受的确定性映射。与Bj¨ork等人（2014、2017）在同一条道路上扰动^u；Dai等人（2020年）；He和Jiang（2019）得出以下结论：uh（r，ωr∧·) =u（r，ωr∧·), t型≤ r<t+h，^u（r，ωr∧·), t+h≤ r≤ T、 （2.23）如果我们用uhas Xuh表示SVIE（2.1）的解，则反馈ack策略如下：uh（r，Xuhr∧·) =u（r，Xuhr∧·), t型≤ r<t+h，^u（r，Xuhr∧·), t+h≤ r≤ T、 （2.24）反馈（闭环）公式的一个关键特征是，通过Xuh，扰动g^u对[T，T+h]隐含影响[T+h，T]上的策略。这与开环策略不同，【t+h，t】上的值保持不变（Hu等人，2012年）。粗略地说，候选平衡^u应满足以下性质：如果[t+h，t]处的所有试剂都同意使用^u，那么在时间t处的试剂最好采用^u。从数学上讲，我们有以下定义。定义2.7。考虑任意t的候选平衡定律^u∈ [0，T）和u∈ U、 其中U在定义2.6中定义，uhas在（2.23）中定义，^U是一种（弱）均衡策略↓0J（t，ω；^u）- J（t，ω；uh）h≥ 0，（2.25）对于任何ω∈∧（^u，t）。在定义2.7中，我们考虑支持概念的路径依赖对应项。∧（^u，t）是X^u路径的支持tΘt，^u在F上的条件。支撑是ω的集合∈ Ohm 使得ω的任何邻域在X^u分布下都有正测度tΘt，^u.度量由范数| |·| | t导出。

粗略地说，支持包含路径的所有可能情况。我们参考He和Jiang（2019）了解考虑支持而非整个空间的理由Ohm.备注2.8。与He和Jiang（2019）相似，支持的定义不同于文献中的标准定义。我们向读者提供了H e和Jiang（2019，定义2）下的脚注，以了解更多详细信息。在SVIE（2.1）下刻画支撑∧（^u，t）仍然是一个悬而未决的问题。我们知道的相关工作包括Kalinin（2019）。然而，在我们考虑的例子中，支持是明确的，并且相对容易获得。备注2.9。正如比约克等人（2017，备注3.5）所述，（2.25）下的^u可能只是一个稳定点。最近的工作也考虑了以下条件下的平衡：J（t，ω；uh）≤ J（t，ω；^u），（2.26），其中Uh在某些集合中选择。He和Jiang（2019）阐明了三个概念，即强平衡、正则平衡和弱平衡。Huang和Zhou（2018）考虑了一个随机控制问题，即某些马尔可夫链的生成器可以控制，其定义如（2.26）中所述。然而，应首先考虑弱平衡，因为其他类型的平衡策略处于可能限制性太强的条件下。为了强调概率也是弱解的一部分，将均衡控制下的期望和条件期望分别表示为^E[·]和^E[·| Ft]。Eh[·]和[·| Ft]处于扰动控制uhin（2.23）下。因此，在定义2.7中，J（t，ω；^u）在^E[·| Ft]之下，J（t，ω；uh）在Eh[·| Ft]之下。2.4扩展路径相关HJB方程以下符号很有用。定义FU（t，ω，s，y），EhF（s，y，Xt，ω，uT∧·)Fti，（2.27）gu（t，ω），EXt，ω，uT英尺, （2.28）cr，u（t，ω，s，y），EhC（s，y，r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))Fti。

（2.29）当u=^u时，表示f（t，ω，s，y），^EhF（s，y，Xt，ω，uT∧·)Fti，（2.30）g（t，ω），^EXt，ω，^uT英尺, （2.31）cr（t，ω，s，y），^EhC（s，y，r，Xt，ω，^ur∧·,^u（r，Xt，ω，^ur∧·))Fti。（2.32）我们的惯例是，最后两个参数（s，y）保留为国家依赖。当没有路径依赖时，这些辅助功能被简化为Bj¨ork et al.（2017）中的对应功能。首先，我们推导了一个递归关系，它将Bj¨ork和Murgoci（2014，Lemma3.3）扩展到适用于我们问题的非马尔可夫情况。为此，我们研究了时间t+h的问题。表示路径ωt+hs=ωs，0≤ s<t，Xt，ω，us，t≤ s<t+h，Θt+h，us，t+h≤ s≤ T、 （2.33）式中，ΘT+h，us=x+Zt+hu（s；r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))dr+Zt+hσ（s；r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))dWr。注意，ωt+his适用于Ft+hb，而不是Ft。为了使符号紧凑，我们写下以下内容：ωt+hs=（Xt，ω，ut+hΘt+h，u）s，Xt，ω，us{0≤s<t+h}+Θt+h，us{t+h≤s≤T}。（2.34）Θt+h，仅在【t+h，t】上定义。Xt，ω，us6=ωsfor s∈ （t，t+h）和Θt+h，us6=ωsfor s∈ [t+h，t]。引理2.10。对于一般容许反馈策略u，奖励函数J满足以下递归：J（t，ω；u）=EJ（t+h，ωt+h；u）英尺-nZTt+hEcr，u（t+h，ωt+h，t+h，ωt+ht+h）英尺dr（2.35）-中兴通讯cr，u（t+h，ωt+h，t，ωt）英尺dro公司-Efu（t+h，ωt+h，t+h，ωt+ht+h）英尺- Efu（t+h，ωt+h，t，ωt）英尺-EG（t+h，ωt+ht+h，gu（t+h，ωt+h））英尺- Gt、 ωt，Egu（t+h，ωt+h）英尺.引理2.10的证明仅适用于条件期望的tower性质，而不依赖于泛函It^o公式。然而，验证定理确实需要Viens和Zhang（2019，定理3.10和定理3.17）中的函数It^o公式，引用为第2.11条。

定理2.11中的导数和空间C1,2+（λ）和C1,2+，α（λ）在inViens和Zhang（2019）中定义，附录A.定理2.11（Viens和Zhang（2019，定理3.10和定理3.17））中也对其进行了简要审查。假设定义2.6的（1）（2）成立。让f∈ C1,2+（λ）对于正则情况或f∈ 具有β，α+H的奇点情形的C1,2+，α（λ）-> 对于奇点情况，常数H在定义2.6（2）中定义。然后，df（t，XutΘt，u）=tf（t，XutΘt，u）dt+hωf（t，XutΘt，u），ut，uidt+hωωf（t，XutΘt，u），（σt，u，σt，u）idt+hωf（t，XutΘt，u），σt，uidWt，P- a、 s.，（2.36）其中，对于Д=u，σ，符号Дt，us，Дu（s；t，·）强调了对s的依赖性∈ [t，t]。对于单数情况，与ω相关的导数定义如下：hωf（t，ω），Дt，ui，limδ↓0小时ωf（t，ω），Дδ，t，ui，Д=u，σ，（2.37）hωωf（t，ω），（σt，u，σt，u）i，limδ↓0小时ωωf（t，ω），∑δ，t，u，σδ，t，u）i，（2.38），其中Дδ，t，us，Дu（s∨（t+δ）；t、 ·）对于0<δ≤ T-t、 是截断函数。它还强调了对s的依赖∈ [t，t]。定义值函数如下：V（t，ω）=J（t，ω；^u）。（2.39）对于满足假设2.14的一般容许控制u和函数f（t，ω），后面给出，表示运算符Auf如下：（Auf）（t，ω），tf（t，ω）+hωf（t，ω），ut，ui+hωωf（t，ω），（σt，u，σt，u）i，（2.40），其中我们省略了ut，uan和σt，u中的参数。对于常规情况，（2.40）中的导数在（A.1），（A.2）和（A.5）中定义，而（2.37）和（2.38）中的导数用于单数情况。运算符仅适用于括号内的变量。例如，（Auf）（t，ω，t，ωt）操作ont，ω，t，ωt，而（Auf，y）（t，ω）只操作t，ω。定义2.12。扩展的PHJB方程系统定义如下：（1）。