粗糙波动的时间不一致性

函数V satisfiessupu∈Un（AuV）（t，ω）+C（t，ωt，t，ωt∧·, u（t，ωt∧·)) -ZTt（Aucr）（t，ω，t，ωt）dr+ZTt（Auct，ωt，r）（t，ω）dr- （Auf）（t，ω，t，ωt）+（Auft，ωt）（t，ω）-Au（G g） （t，ω）+yG（t，ωt，g（t，ω））（Aug）（t，ω）o=0，0≤ t型≤ T、 V（T，ω）=F（T，ωT，ω）+G（T，ωT，ωT）。（2.41）Le t^u是达到最高境界的战略。(2). 对于每个固定的s和y，fs，y（t，ω）定义如下：（A^ufs，y）（t，ω）=0，0≤ t型≤ T、 fs，y（T，ω）=F（s，y，ω）。(2.42)(3). 函数g满足（A^ug）（t，ω）=0，0≤ t型≤ T、 g（T，ω）=ωT.（2.43）（4）。对于由（A^ucs，y，r）（t，ω）=0，0定义的每个固定s，r和y，cs，y，ris≤ t型≤ r、 （2.44）cs，y，r（r，ω）=C（s，y，r，ωr∧·,^u（r，ωr∧·)).(5). 这些符号具有以下含义：f（t，ω，s，y）=fs，y（t，ω），cr（t，ω，s，y）=cs，y，r（t，ω），（G g） （t，ω）=g（t，ωt，g（t，ω）），yG（t，ωt，y）=Gy（t，ωt，y）。(6). 概率解释如下：fs，y（t，ω）=^EF（s，y，Xt，ω，^uT∧·)英尺, g（t，ω）=^EXt，ω，^uT英尺,cs，y，r（t，ω）=^EhC（s，y，r，Xt，ω，^ur∧·,^u（r，Xt，ω，^ur∧·))Fti，0≤ t型≤ r、 ω的上述等式（2.41）-（2.44）∈∧（^u，t），t∈ [0，T]。备注2.13。（2.41）-（2.44）中的空间区域表示为∧（^u，t），t∈ [0，T]，这与定义2.7一致。例如，对于inBj¨ork等人（2014年）提出的具有国家依赖性风险规避的MVP，假设财富隐含为正。这意味着Bj¨ork等人（2014，定义2）中的系统适用于区域M>0，而不是M∈ R、 我们必须强调对ω和ωt的依赖性∧·在（2.41）-（2.44）中。虽然函数sv、cr、cs、y、r、f、fs、y和g通常依赖于整个路径ω，但策略u仅依赖于ωt∧·, 到时间t.C的路径（t，ωt，t，ωt∧·, u（t，ωt∧·)) 也仅取决于ωt∧·. 这源于（2.8）中路径的定义以及u和C仅依赖于Xu而不依赖于Θt这一事实。

如果没有路径依赖，则（2.41）-（2.44）中的系统将减少到Bj¨orket al.（2017）中的系统。我们对定义2.12中出现在扩展PHJB系统中的泛函施加正则性条件（假设2.14）。这一条件验证了所有衍生工具都得到了很好的定义，尽管它不是最温和的条件。实际上，我们要求泛函上有空间导数Ohm 而不仅仅是在∧（^u，t）上。假设2.14。对于常规情况，（1）。五、 f、G g、 g级∈ C1,2+（λ）；(2). 对于任何固定的s和y、fs、y∈ C1,2+（λ）；(3). 对于任何固定的r∈ [0，T]，cr∈ C1,2+（[0，r]×Ohm); 和（4）。对于任何固定的s、y和r∈ [0，T]，cs，y，r∈ C1,2+（[0，r]×Ohm).对于单数情况，让α∈ (0, 1).(1). 五、 f、G g、 g级∈ C1,2+，α（λ）。(2). 对于任何固定的s和y、fs、y∈ C1,2+，α（λ）；(3). 对于任何固定的r∈ [0，T]，cr∈ C1,2+，α（[0，r]×Ohm); 和（4）。对于任何固定的s、y和任何固定的r∈ [0，T]，cs，y，r∈ C1,2+，α（[0，r]×Ohm).此外，β，α+H-> 0，其中，对于特殊情况，常数H在定义2.6（2）中定义。我们经常遇到要求为真鞅的随机积分。引理2.15对于相关的调整非常有用。为了便于记法，我们表示hωf，σt，ui·W，R·thωf（r，XurΘr，u），σr，uidwr供以后使用。引理2.15。假设u是可容许的。设f为一般泛函，f∈ C1,2+（λ）表示正则情况或f∈ C1,2+，α（λ），对于奇异情况，β，α+H- 1/2 > 0. 然后，EhZTth类ωf（r，XurΘr，u），σr，ui博士Fti<∞, （2.45），这意味着hωf，σt，ui·W是真鞅。我们现在可以提供验证定理，这是本文的主要结果之一。这与Bj¨ork等人（2017，定理5.2）的精神相同，但引用了引理2.10和2.15以及Viens和Zhang（2019）中的函数I t^o公式。

证明包括两个步骤。首先，我们表明定义2.12（6）中的解释认为V（t，ω）=J（t，ω；^u）。应用泛函It^o公式和L emma 2.15证明了定义2.12（6）中三个函数的鞅性质。V（t，ω）=J（t，ω；^u）在第2.12条规定的条件下以类似的方式进行验证。其次，我们证明了^u确实是定义2.7下的均衡策略。引理2.10中与uh的递归关系给出了j（t，ω；uh）的一种表示。带有Uh的PHJB方程（2.41）暗示了一个与V（t，ω）相关的不等式，根据第一步，该不等式等于J（t，ω；^u）。根据需要，将这两个面d进行比较，得出（2.25）。在包括Θt在内的整个证明中，Ure覆盖了流性质，克服了非马尔可夫和非半鞅困难。定理2.16（验证定理）。假设定义2.12（2.41）-（2.44）中的扩展PHJB系统允许满足假设2.14的解决方案（V、f、g、fs、y、cr、cs、y、r）。如果^Ureizes the supremum in（2.41）for V and^u is acceptable，则^u是定义2.7意义上的平衡定律，V是相应的V值函数。3例在本节中，我们研究了波动率粗糙度的影响。我们将一般框架应用于一些特定的决策情况，并给出了显式或半封闭形式的解决方案。其中包括具有恒定风险规避的TC-MVP（Basak和Chabakauri，2010年）、TC-MVPfor log returns（Dai等人，2020年）和具有线性受控Volterra过程的MV目标。我们将具有恒定风险规避的TC-MVP称为常量MV案例，将logreturns的TC-MVP称为log MV案例。我们关注Volterra-Heston模型，这是VIE（2.1）的一种特殊形式。预解的概念经常被使用。

[0]上的内核R，∞) 称为K ifK的预解式或第二类预解式* R（t）=R* K（t）=K（t）- R（t）， t型≥ 0，（3.1）其中* 表示卷积运算：K* R（t）=ZtK（t- s） R（s）ds， t>0。（3.2）如果可能，通过右连续性将积分扩展到t=0。Gripenberg等人（1990年）发现了这些定义的进一步性质；Abi Jaber等人（2019年）。表1中提供了内核的示例。设Rλ为λK的预解式，使得λK* Rλ=Rλ* （λK）=λK- Rλ。（3.3）如果λ=0，Rλ/λ=K，Rλ=0。常数分数（幂律）指数alk（t）c ctα-1Γ（α）ce-βtR（t）ce-ctctα-1Eα，α(-ctα）ce-βte-表1：核K及其分解式R.Eα，β（z）=P的示例∞n=0znΓ（αn+β）是MittagLe-fronger函数。S ee El Euch和Rosenbaum（2019年，附录ix A.1）的财产。常数c 6=0。与方差不同，财富过程（2.6）没有卷积特征。粗略地说，一定的马尔可夫性质因此得以保持。对财富的依赖并没有影响到整个行业。下面的例子说明了这一点。3.1常量MV：恒定风险规避下的TC-MVP考虑Volterra-Heston模型（2.4）和财富（2.6）下Basak和Chabakauri（2010）的TC-MVP：Et【MuT】-γVart[MuT]=EthMuT-γ（MuT）i+γ（Et[MuT]），（3.4），其中常数γ>0反映风险规避水平。（2.15）中的一般奖励函数变成SF（t，ωt，Mt，ω，uT∧·) = MuT公司-γ（MuT），G（t，ωt，y）=γy.（3.5）为了求解定义2.12中的PHJB方程组，我们强调cr=0，并且fis不依赖于状态。考虑V in（2.41）和g in（2.43）的以下Ansatz。

用M表示t时的当前财富，并在（2.10）中定义：V（t，ω）=Vt、 M，Θt【t，t】= V（t）M+ZTtV（s）Θtsds+V（t），（3.6）g（t，ω）=gt、 M，Θt【t，t】= g（t）M+ZTtg（s）Θtsds+g（t），（3.7），其中V、V、g和gare是确定性连续可微函数，并满足可积条件。这意味着函数V和g仅依赖于当前财富M和Θt[t，t]。由于V和g是Θt[t，t]的线性泛函，直接计算如下：（AuV）（t，ω）=V（t）M- V（t）ν+˙V（t）（3.8）+（ΥM+θ√νu）V（t）+（κφ- κν）ZTtV（s）K（s- t） ds，（Aug）（t，ω）=g（t）M- g（t）ν+˙g（t）（3.9）+（ΥM+θ√νu）g（t）+（κφ- κν）ZTtg（s）K（s- t） ds，Au（G g） （t，ω）=γgt、 M，Θt【t，t】（Aug）（t，ω）+γg（t）u+σρu√νγg（t）ZTtg（s）K（s- t） ds+γZTtg（s）K（s- t） ds公司σν, (3.10)yG（t，ωt，g（t，ω））=γgt、 M，Θt【t，t】. （3.11）我们使用ων在时间t连续且Θtt=νt，ν的事实。定义2.12中的方程式（2.41）成为假设∈Un˙V（t）M- V（t）ν+˙V（t）+（ΥM+θ√νu）V（t）+（κφ- κν）ZTtV（s）K（s- t） ds公司-γg（t）u- σρu√νγg（t）ZTtg（s）K（s- t） ds公司-γZTtg（s）K（s- t） ds公司σνo=0，V（T）=1，V（T）=0。（3.12）因此，^u（t，νt）=θV（t）- γσρg（t）RTtg（s）K（s- t） dsγg（t）√νt.（3.13）Fur thermore，我们有g（t）=1，g（t）=0，和（A^ug）（t，ω）=g（t）M- g（t）ν+˙g（t）+ΥMg（t）+θνV（t）γg（t）- ρσθνZTtg（s）K（s- t） ds+（κφ- κν）ZTtg（s）K（s- t） ds=0。（3.14）通过分离变量并从（3.12）和（3.14）中认识到g（t）=V（t），我们得到以下结果：˙g（t）+Υtg（t）=0，g（t）=1，（3.15）g（t）+（κ+ρσθ）ZTtg（s）K（s- t） ds公司-θγ=0，（3.16）˙g（t）+κφZTtg（s）K（s- t） ds=0，g（t）=0（3.17）和˙V（t）+ΥtV（t）=0，V（t）=1，（3.18）V（t）+κztv（s）K（s- t） ds+γσZTtg（s）K（s- t） ds公司-θ - γσρRTtg（s）K（s- t） ds公司2γ=0，（3.19）˙V（t）+κφZTtV（s）K（s- t） ds=0，V（t）=0。（3.20）可以明确解决（3.15）–（3.20）中的系统。首先，g（t）=V（t）=eRTtΥsds。

（3.16）是一个线性Volterra积分方程（VIE）。可用Gripenberg等人（1990，方程式（1.3），第77页）确定存在性和唯一性。设λ=κ+ρσθ，并回想Rλ是λK的溶剂：g（t）=θγ-θγZTtRλ（s- t） ds。（3.21）此外，一个有用的结果是zttg（s）K（s- t） ds=θγZTtRλ（s- t） λds。（3.22）然后可以直接求解GCA。Vin（3.19）也是一个线性VIE，可以用与V后求解g.Vis相同的方法求解。虽然计算简单，但它很长。因此，我们忽略它。最终，^u（t，νt）=θγe-RTtΥsds√νt-ρσθγe-RTtΥsdsZTtRλ（s- t） λds√νt.（3.23）那么财富过程的支持度是R。（3.23）中的第一项与恒定波动率情况相同。第二项可以解释为对随机波动性的随机性进行对冲。粗糙度通过预解式Rλ改变对冲。验证（3.23）中的^u在定义2.6的意义上是可接受的很简单。事实上，鉴于Abi Jaber等人（2019年，引理3.1）对ν的矩估计，假设2.1成立。定义2.6中的其他要求是直接的。我们在下面的引理中总结了上述分析。引理3.1。Volterra-Heston模型（2.4）下的问题（3.4）具有（3.23）给出的均衡策略^u，这在定义2.6的意义上是可以接受的。值函数由（3.6）给出，V、V和V分别由（3.18）、（3.19）和（3.20）给出。（2.43）中的g由（3.7）给出，g、g和g分别由（3.15）、（3.16）和（3.17）给出。3.2对数MV：对数回报的TC-MVP Dai等人（2020年）认为，基于对数回报的分析更合理，而不是考虑终端财富的偏好。衍生均衡策略依赖于财富，不会在长期内卖空具有正超额回报的风险资产。假设股票中的财富比例为π。

Mπ是与π相对应的财富过程。表示Lπt，ln Mπt。为了便于记法，我们写Lt=Lπt。下面是dlt=[Υt+θνtπt-πtνt]dt+√νtπtdW1t。（3.24）考虑Dai et al.（2020）在Volterra-Heston模型（2.4）和logreturn（3.24）下的TC-MVP:et【LT】-γVart[LT]=EthLT-γ（LT）i+γ（Et[LT]）。（3.25）对于V in（2.41）和g in（2.43），我们稍微滥用了符号，尝试了以下Ansatz：V（t，ω）=Vt、 L，Θt【t，t】= L+ZTtV（s）Θtsds+V（t），（3.26）g（t，ω）=gt、 L，Θt【t，t】= L+ZTtg（s）Θtsds+g（t），（3.27），其中Vand gare确定性连续可微函数，Vand g满足适当的可积条件。定义2.12中的方程式（2.41）变为SUSPπ∈联合国- V（t）ν+˙V（t）+Υ+θνπ-νπ+ (κφ - κν）ZTtV（s）K（s- t） ds公司-γνπ- γρσνπZTtg（s）K（s- t） ds公司-γZTtg（s）K（s- t） ds公司σνo=0，V（T）=0。（3.28）因此，^πt=θ-γρσRTtg（s）K（s- t） ds1+γ。（3.29）Fur Themore，（A^πg）（t，ω）=0引起- g（t）ν+˙g（t）+Υ+θν1+γθ -γρσZTtg（s）K（s- t） ds公司-ν2(1 + γ)θ -γρσZTtg（s）K（s- t） ds公司+ (κφ - κν）ZTtg（s）K（s- t） ds=0，g（t）=0。（3.30）通过分离变量，我们得到（t）=（1+2γ）θ2（1+γ）-κ +γρσθ(1 + γ)ZTtg（s）K（s- t） ds公司-γρσ2(1 + γ)ZTtg（s）K（s- t） ds公司. （3.31）Letψ（T- t） =RTtg（s）K（s- t） ds，然后用核K（·）卷积（3.31）的两边，并改变t- t到t。这产生以下Riccati-Volterra方程：ψ（t）=ZtK（t- s） h类-γρσ2（1+γ）ψ（s）-κ +γρσθ(1 + γ)ψ（s）+（1+2γ）θ2（1+γ）ids。（3.32）Fur thermore，V（t）+κZTtV（s）K（s- t） ds+γσψ（t- t）-2(1 + γ)[θ - γρσψ（T- t） ]=0，（3.33）˙V（t）+Υt+κφZTtV（s）K（s）- t） ds=0，V（t）=0，（3.34）˙g（t）+Υt+κφψ（t- t） =0，g（t）=0。（3.35）推论3.2。假设κ+γρσθ（1+γ）>0。然后，（3.32）在[0，T]上有一个唯一的全局连续解。定义（w），γρσ2（1+γ）w-κ +γρσθ(1 + γ)w-（1+2γ）θ2（1+γ），Hw+Hw+H。

（3.36）那么，0<ψ（t）≤ -r（t）<-w*,  t>0，（3.37），带w*=-H-√H-4HH2H<0且r（t），Q-1.RtK（s）ds, 其中Q（w）=-RwduH（u）。此外，系统（3.33）-（3.35）在[0，T]上有唯一的连续解（V，V，g）。最终，平衡策略表示为：^πt=θ1+γ-γρσ1+γψ（T- t） 。（3.38）关于^π的可容许性，我们有以下关于假设2.1的结果。推论3.3。假设（3.32）在[0，T]上有唯一的连续解。假设^EhecRTνsdsi<∞, （3.39）常数c表示如下：c=maxn2p |θ| supt∈[0，T]|^πT |，（8p- 2p）支持∈[0，T]^πto，对于某些p>1。（3.40）那么，财富M*满足以下条件∈[0，T]| M*t | pi<∞. （3.41）因此，我们有以下引理。引理3.4。Volterra-Heston模型（2.4）下的问题（3.25）有一个平衡策略^π，由（3.38）给出。如果假设（3.39）适用于足够大的常数c>0，则平衡策略（3.38）在定义2.6的意义上是可以接受的。值函数由（3.26）给出，Vand v分别由（3.33）和（3.34）给出。g in（2.43）分别为（3.27）和（3.31）以及（3.35）。备注3.5。对于特定的分数核K（t）=tH-1/2Γ（H+1/2），假设（3.39）在时间范围T足够小时，保持足够大的常数c>0。见Gerhold等人（2019年）。备注3.6。对于Basak和Chabakauri（2010）中考虑的一般赫斯顿规范；Dai等人（2020年），dSt=St（Υt+θν1+δ2δt）dt+Stν2δtdW1t。（3.42）平衡策略为^πt=hθ1+γ-γρσ1+γψ（T- t） iνδ-12δt.（3.43）相关证据和可采性验证是相同的。3.3线性控制Volterra过程下的TC-MV在本节中，我们考虑与第3.1节中相同的目标（3.44）：EthXuT-γ（XuT）i+γ（Et[XuT]）。（3.44）然而，状态过程Xu是（3.45）给出的一维线性控制Volterra过程。

B、 B、D和σ是一维本质上有界的确定性可测函数：Xut=x+ZtK（t- r） （Brur+br）dr+ZtK（t- r） （Drur+σr）dWr。（3.45）考虑V和g.Θt的以下Ansatz，如（2.7）所定义，但u=u.V（t，ω）=V（t）Θt，^uT+V（t），（3.46）g（t，ω）=g（t）Θt，^uT+g（t），（3.47），其中V、V、g和gare是确定性连续可微分函数。类似地，我们有（AuV）（t，ω）=V（t）t，uT+，V（t）+V（t）K（t- t） （Btut+bt），（Aug）（t，ω）=g（t）t，g（t）+g（t）K（t- t） （Btut+bt），Au（G g） （t，ω）=γg（t，ω）（Aug）（t，ω）+γg（t）K（t- t） （Dtut+σt）。定义2.12 Isupu中的方程式（2.41）∈Un˙V（t）Θt，^uT+˙V（t）+V（t）K（t- t） （Btut+bt）-γg（t）K（t- t） （Dtut+σt）o=0，V（t）=1，V（t）=0。（3.48）与（A^ug）（t，ω）=0一起，我们得到以下结果：V（t）=g（t）=1，（3.49）˙V（t）+（Bt-γK（T- t） Dtσt）2γDt+K（t- t） 英国电信-γK（T- t） σt=0，V（t）=0，（3.50）˙g（t）+Bt-γK（T- t） DtBtσtγDt+K（t- t） bt=0，g（t）=0。（3.51）平衡控制为^ut=Bt- γK（T- t） DtσtγK（t- t） Dt。（3.52）当K=id时，溶液减少至Hu等人（2012年，第4节）中的溶液。验证（3.52）的可容许性很简单，如下所示：引理3.7。假设假设2.2成立，Dt≥ δ > 0. 然后，（3.50）和（3.51）在[0，T]上允许唯一解。（3.52）在定义2.6的意义上，是在状态（3.45）下MV目标（3.44）的容许均衡策略。4数值分析在本节中，我们数值分析了粗糙度对库存需求的影响以及对稳定性的改善。我们主要关注粗糙的赫斯顿模型（El-Euch和Rosenbaum，2019），即核K（t）=tH-1/2Γ（H+1/2），H∈ （0，1/2）。我们从三个角度进行了这项数值研究。首先，我们通过仅改变粗糙度和筛选其他参数来进行敏感性分析。然而，粗糙度可能与其他变量有着密切的相互作用。

因此，第二，我们进一步考虑校准情况。第三，我们根据最近的市场数据进行了实证研究。在收益率和夏普比率方面，波动率较高的策略表现优于同类策略。我们主要比较了四种策略：const MV案例（3.23）、log MV案例（3.38）、预先承诺的MVP（Han and Wong，2020a）和Merton的电力公司投资组合问题（CR R A）（Han and Wong，2020b）。时间不一致性和波动率粗糙度之间的相互作用可能很复杂。回答三个问题。首先，当波动更加剧烈时，投资者应该增加还是减少他们的股票需求？第二，风险厌恶程度不同的投资者在波动率粗糙度方面是否表现不同？第三，是否更适合纳入粗波动率？4.1敏感性分析4.1.1常数mv引理3.1中的平衡策略可以进一步简化为分数核K（t）=tα-1Γ（α），α=H+1/2。对于λ=0，ZTtRλ（s-t） λds=ZTtK（s- t） ds=（t- t） αΓ（α+1）。（4.1）对于λ6=0，El Euch和Rosenbaum（2019，附录A.1）中Mittag-Le-fluer函数的性质表明，zttrλ（s- t） λds=1- Eα，1(-λ（T- t） α）λ，Fα，λ（t- t） λ。（4.2）这使我们能够使用显式公式计算均衡策略。图（1a）显示了对冲期限的曲线图，-ρσθγe-RTtΥsdsZTtRλ（s- t） λds。（4.3）请注意，我们在图中设定了股价和波动率之间的负相关，以反映杠杆效应。图1从数值上显示了以下现象。当投资期限较长（即t较小）时，const MV策略主张，如果股票更平稳，则投资更多。