粗糙波动的时间不一致性

Forf公司∈ C（(R)∧），定义时间导数如下：tf（t，ω），limδ↓0f（t+δ，ω）- f（t，ω）δ，对于所有（t，ω）∈“∧，（A.1），只要存在限制。给定（t，ω）∈\'∧，相对于ω的空间导数，表示为ωf（t，ω）是Ohm定义为关于ω1[t，t]的Fr'echet导数。即f（t，ω+η1[t，t]）- f（t，ω）=hωf（t，ω），ηi+o（| |η1[t，t]| | t），对于任何η∈ Ohmt、 （A.2）Fur thermore，ωf（t，ω）满足Gateaux导数的定义：hωf（t，ω），ηi=limε→0f（t，ω+εη1[t，t]）- f（t，ω）ε，对于任何η∈ Ohmt、 （A.3）扰动在[t，t]上，而不是在[0，t]上。如果η∈ Ohm对于某些s<t，导数被理解为：ωf（t，ω），ηi，hωf（t，ω），η1[t，t]i.（A.4）二阶导数ωωf（t，ω）定义为Ohmt×Ohmt： h类ωf（t，ω+η[t，t]），ηi- h类ωf（t，ω），ηi=hωωf（t，ω），（η，η）i+o（| |η[t，t]| | t），（A.5）对于任何η，η∈ Ohmt、 如果η，η∈ Ohm对于某些s<t，衍生工具的理解方式与（A.4）相同。关于这些衍生品的适用性，我们请读者参考Viens和Zhang（2019年，提案3.7）。我们从Viens和Zhang（2019）中引入了两个空间，即C1,2+（λ）和C1,2+，α（λ），其中Viens和Zhang（2019，定理3.10和3.17）中的函数It^o公式适用。定义A.1（Viens和Zhang（2019，定义3.3））。假设f∈ C（(R)∧）和ωfexists for all（t，ω）∈Λ.(1). 如果存在常数C，m>0，ωf称为多项式增长h类ωf（t，ω），ηi≤ C[1+| |ω| | mT]| |η1[t，t]| | t， （t，ω）∈Λ, η ∈ Ohm. （A.6）（2）。ωf是连续的，如果，对于所有η∈ Ohm, 映射（t，ω）∈Λ 7→ h类ωf（t，ω），ηi在d.（3）下是连续的。如果存在常数C，m>0，ωωf称为多项式增长h类ωf（t，ω），（η，η）i≤ C[1+| |ω| | mT]| |η[t，t]| | t |η[t，t]| t， （t，ω）∈Λ, η, η∈ Ohm. （A.7）（4）。

ωωf是连续的，如果对于所有η，η∈ Ohm, 映射（t，η，η）∈Λ7→h类ωωf（t，ω），（η，η）i在d′（（t，ω，ω），（t′，ω′，ω′）下连续，| t-t′|+| |ω-ω′| | T+| |ω- ω′| | T，其中∧，（t，ω，ω）∈ [0，T]×\'”Ohm ×Ohm : ω[t，t]，ω[t，t]∈ Ohmt型.定义A.2（Viens和Zhang（2019，定义3.4））。设C1,2（(R)∧） C（(R)∧）是具有连续导数的所有f的集合tf，ωf，ωωf在∧上。设C1,2+（？∧）为所有f的集合∈ C1,2（(R)∧），使得所有导数都具有多项式增长和hωωf（t，ω），（η，η）i在ω中随多项式增长局部一致连续，即存在一个常数m＞0和一个连续函数的有界模. 对于所有（t，ω），（t，ω′）∈\'∧和η∈ Ohmt、 我们有h类ωωf（t，ω）- ωωf（t，ω′），（η，η）i≤1+| |ω| mT+| |ω′| mT||η1【t，t】| | t(||ω - ω′| | T）。（A.8）C1,2+（λ）的定义与C1,2+（∧）的定义相同，其中∧替换为∧。定义A.3（Viens和Zhang（2019，定义3.16））。f∈ C1,2+（λ）以α的速率对角消失∈ （0，1），用f表示∈ C1,2+，α（λ），如果存在鳍C1,2+（？∧）的延伸，仍然用f表示，因此对于每0≤ t<t，0<δ≤ T- t、 和η，η，η∈ Ohmt包含在[t，t+δ]：（1）中的支架。 ω ∈Ohm 满足ω1[t，t]∈ Ohmt，h类ωf（t，ω），ηi≤ C[1+| |ω| | mT]| |η| | Tδα，（A.9）h类ωf（t，ω），（η，η）i≤ C[1+| |ω| | mT]|η||η|Tδ2α；（A.10）（2）。对于任何其他ω′∈Ohm 满足ω′[t，t]∈ Ohmt，h类ωf（t，ω）- ωf（t，ω′），ηi≤1+| |ω| mT+| |ω′| mT||η| | T(||ω - ω′| | T）Δα，（A.11）h类ωωf（t，ω）- ωωf（t，ω′），（η，η）i≤1+| |ω| mT+| |ω′| mT|η||η|T(||ω - ω′| | T）δ2α。（A.12）常数m>0表示多项式增长率，以及 是连续函数的有界模。α表示时间对角线上的奇点水平。最后，定理2.11引用了函数It^of公式。B结果证明B。引理的证明2.10证明。

根据条件期望的tower性质和cr、u、fu、gu和ωt+h的定义，J（t，ω；u）=ZTtEhEhC（t，ωt，r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))英尺+高Ftidr+EhEhF（t，ωt，Xt，ω，uT∧·)英尺+高Fti+Gt、 ωt，EEXt，ω，uT英尺+小时英尺=ZTtEhcr，u（t+h，ωt+h，t，ωt）Ftidr（B.1）+Ehfu（t+h，ωt+h，t，ωt）Fti+Gt、 ωt，Egu（t+h，ωt+h）英尺.同时，（2.15）中奖励函数的定义表明：J（t+h，ωt+h；u）=EhZTt+hC（t+h，ωt+ht+h，r，Xt+h，ωt+h，ur∧·, u（r，Xt+h，ωt+h，ur∧·))博士Ft+hi+EF（t+h，ωt+ht+h，Xt+h，ωt+h，uT∧·)英尺+小时+ G（t+h，ωt+ht+h，E[Xt+h，ωt+h，uT | Ft+h]）=ZTt+hcr，u（t+h，ωt+h，t+h，ωt+ht+h）dr+fu（t+h，ωt+h，t+h，ωt+ht+h），G（t+h，ωt+ht+h，gu（t+h，ωt+h）），（B.2）其中，Xt t+h，ωt+h，us=ωt+hs+Zst+h（us；r，Xt+h，ωt+h，ur∧·, u（r，Xt+h，ωt+h，ur∧·))dr+Zst+hσ（s；r，Xt+h，ωt+h，ur∧·, u（r，Xt+h，ωt+h，ur∧·))dWr，t+h≤ s≤ T、 Xt+h，ωT+h，us=ωT+hs，0≤ s<t+h.（B.3）在（B.2）的两侧取fta处的条件期望得到以下结果：EhJ（t+h，ωt+h；u）Fti=ZTt+hEhcr，u（t+h，ωt+h，t+h，ωt+ht+h）Ftidr+Ehfu（t+h，ωt+h，t+h，ωt+ht+h）Fti+EhG（t+h，ωt+ht+h，gu（t+h，ωt+h））Fti。（B.4）结果通过组合（B.1）和（B.4）得出。B、 引理的证明2.15证明。设m是一个一般正值，它可能因直线而异。我们首先给出了常规情况的证明。根据第2.6条第（1）-（2）款，假设ωf具有多项式增长，EhZTth类ωf（r，XurΘr，u），σr，ui博士Fti（B.5）≤ CEhsupt公司≤r≤Th类ωf（r，XurΘr，u），σr，uiFti公司≤ CEh公司1+s upt≤r≤Tsup0≤s≤T |（XurΘr，u）s | m支持≤r≤Tsupr公司≤s≤T |σu（s；r，Xur∧·)|Fti公司≤ CEh公司1+s upt≤r≤Tsup0≤s≤T |（XurΘr，u）s | mFti公司≤ CEh公司1+sup0≤s≤T | Xus | pFti<∞.对于奇异情况，对于[r，T]，考虑分区r=r∞< ... < rk<…<r=T，其中Rk=r+T-rk。

然后，EhZTth类ωf（r，XurΘr，u），σr，ui博士Fti（B.6）=EhZTtlimδ↓0小时ωf（r，XurΘr，u），σδ，r，ui博士Fti=EhZTtlimδ↓0∞Xk=0小时ωf（r，XurΘr，u），σδ，r，uss∈[rk+1，rk）i博士Fti公司≤ CEhZTt公司1+sup0≤s≤T |（XurΘr，u）s | mlimδ↓0∞Xk=0 | |σδ，r，uss∈[rk+1，rk）| | T（rk- rk+1）α博士Fti，其中我们假设f以α的速率对角消失∈ （0，1）以及ωf是最后一个不等式中的线性算子。根据定义2.6中的（2），对于单数情况，∞Xk=0 | |σδ，r，uss∈[rk+1，rk）| | T（rk- rk+1）α（B.7）≤ C1+sup0≤s≤T |（XurΘr，u）s | m∞Xk=0rk+1∨ （r+δ）- rH-1/2T- rk+1α.对于任何0<δ≤ T- r、 存在一个整数z，使得T-rz+1<δ≤T-rz。然后∞Xk=0rk+1∨ （r+δ）- rH-1/2T- rk+1α=z-1Xk=0T- rk+1H-1/2T- rk+1α+∞Xk=zδH-1/2T-rk+1α=z-1Xk=0T- rk+1β+δH-1/2T- rz+1α∞Xk=0αk、 （B.8）注意-rz+1<δ意味着T-rz+1α< δα. 我们获得以下信息：∞Xk=0 | |σδ，r，uss∈[rk+1，rk）| | T（rk- rk+1）α≤ C1+sup0≤s≤T |（XurΘr，u）s | m（T- r） β+Δβ. （B.9）最后，EhZTth类ωf（r，XurΘr，u），σr，ui博士Fti（B.10）≤ CEhZTt公司1+sup0≤s≤T |（XurΘr，u）s | m（T- r） 2βdrFti公司≤ CEh公司1+s upt≤r≤Tsup0≤s≤T |（XurΘr，u）s | mFti公司≤ CEh公司1+sup0≤s≤T | Xus | pFti<∞,根据需要。B、 3定理的证明2.16证明。首先，我们表明定义2.12（6）中的解释成立，V（t，ω）=J（t，ω；^u）。通过（2.42），（2.43），（2.44）和引理2.15，fs，y（t，X^utΘt，^u），g（t，X^utΘt，^u）和cs，y，r（t，X^utΘt，u）是鞅。根据（2.42）、（2.43）和（2.44）中的边界条件，注意ω=Xt，ω，^utΘt，^u，我们推导如下：fs，y（t，ω）=^EF（s，y，Xt，ω，^uT∧·)英尺, g（t，ω）=^EXt，ω，^uT英尺,cs，y，r（t，ω）=^EhC（s，y，r，Xt，ω，^ur∧·,^u（r，Xt，ω，^ur∧·))Fti，0≤ t型≤ r、 通过定义2.12的（1）-（4），（A^uV）（t，ω）+C（t，ωt，t，ωt∧·,^u（t，ωt∧·)) -ZTt（A^ucr）（t，ω，t，ωt）dr- （A^uf）（t，ω，t，ωt）- A^u（G g） （t，ω）=0。

（B.11）由于^u是可容许的，V满足假设2.14，我们将OREM 2.11中的函数It^o公式应用于V，然后声称hωV，σt，^ui·^W是真鞅，其中布朗运动^W是^u下弱解的一部分。与（B.11）一起，我们得到如下结果：^EhV（t，Xt，ω，^uT∧·)Fti=^EhV（T，Xt，ω，^uTΘT，^u）Fti=V（t，Xt，ω，^utΘt，^u）+^EhZTt（A^uV）（s，Xt，ω，^usΘs，^u）dsFti=V（t，ω）-^EhZTtC（s，Xt，ω，^usΘs，^u，s，Xt，ω，^us∧·,^u（s，Xt，ω，^us∧·))ds公司Fti（B.12）+^EhZTtZTs（A^ucr）（s，Xt，ω，^usΘs，^u，s，Xt，ω，^us）drdsFti+^EhZTt（A^uf）（s，Xt，ω，^usΘs，^u，s，Xt，ω，^us）dsFti+^EhZTtA^u（G g） （s，Xt，ω，^usΘs，^u）dsFti。对于第三项，Fubini定理在假设2.14和定义2.6（1）-（2）中的条件下，在crby导数的多项式增长率条件下成立。Lemma2.15表明hωcr，σt，^ui·W是真鞅。

因此，CRT的定义导致^EhZTtZTs（A^ucr）（s，Xt，ω，^usΘs，^u，s，Xt，ω，^us）drdsFti=^EhZTtZrt（A^ucr）（s，Xt，ω，^usΘs，^u，s，Xt，ω，^us）dsdrFti=ZTt^EhZrt（A^ucr）（s，Xt，ω，^usΘs，^u，s，Xt，ω，^us）dsFtidr=ZTtn^Ehcr（r，Xt，ω，^urΘr，^u，r，Xt，ω，^ur）Fti公司-cr（t，Xt，ω，^utΘt，^u，t，Xt，ω，^ut）odr=ZTtn^EhC（r，Xt，ω，^ur，r，Xt，ω，^ur∧·,^u（r，Xt，ω，^ur∧·))Fti公司-^EhC（t，Xt，ω，^ut，r，Xt，ω，^ur∧·,^u（r，Xt，ω，^ur∧·))Ftiodr。对于第四项，我们使用相同的参数：^EhZTt（A^uf）（s，Xt，ω，^usΘs，^u，s，Xt，ω，^us）dsFti=^Ehf（T，Xt，ω，^uTΘT，^u，T，Xt，ω，^uT）Fti公司- f（t，Xt，ω，^utΘt，^u，t，Xt，ω，^ut）=^EhF（t，Xt，ω，^ut，Xt，ω，^ut∧·)Fti公司-^EhF（t，ωt，Xt，ω，^uT∧·)Fti。同样，对于第五个术语，^EhZTtA^u（G g） （s，Xt，ω，^usΘs，^u）dsFti=^Eh（G g） （T，Xt，ω，^uTΘT，^u）Fti公司- （G） g） （t，Xt，ω，^utΘt，^u）=^EhG（t，Xt，ω，^uT，Xt，ω，^uT）Fti公司- G（t，ωt，^E[Xt，ω，^uT | Ft]）。根据（2.41）中的边界条件，我们得到如下结果：V（t，ω）=^EhV（t，Xt，ω，^uT∧·)Fti+ZTt^EhC（t，Xt，ω，^ut，r，Xt，ω，^ur∧·,^u（r，Xt，ω，^ur∧·))Ftidr公司-^EhF（T，Xt，ω，^uT，Xt，ω，^uT∧·)Fti+^EhF（t，ωt，Xt，ω，^uT∧·)Fti公司-^EhG（T，Xt，ω，^uT，Xt，ω，^uT）Fti+G（t，ωt，^E[Xt，ω，^uT | Ft]）=ZTt^EhC（t，Xt，ω，^uT，r，Xt，ω，^ur∧·,^u（r，Xt，ω，^ur∧·))Ftidr+^EhF（t，ωt，Xt，ω，^uT∧·)Fti+G（t，ωt，^E[Xt，ω，^uT | Ft]）=J（t，ω；^u）。换言之，我们验证了V是具有^u的值函数。接下来，我们证明了^u确实是定义2.7下的均衡策略。我们在引理2.10 w中应用了厄尔曲线关系。

注意ωt+h=Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，thenJ（t，ω；uh）=EhhJ（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh；呃）Fti（B.13）-nZTt+hEhhcr，uh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）Ftidr公司-ZTtEhhcr，uh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）Ftidro公司-nEhhfuh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）Fti公司- Ehhfuh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）Ftio-nEhhG（t+h，Xt，ω，uht+h，guh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh））Fti公司- Gt、 ωt，Ehguh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）英尺o、 当uh=^u在[t+h，t]上时，条件是Ft+h，（Xt，ω，uhs）s∈[t+h，t]具有与（Xt，ω，^us）s相同的分布∈[t+h，t]。那么，J（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh；uh）=V（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）。（B.14）对于t+h≤ r≤ T，cr，uh（T+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）=EhhC（t+h，Xt，ω，uht+h，r，Xt，ω，uhr∧·,^u（r，Xt，ω，uhr∧·))Ft+hi（B.15）=cr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）。当t≤ r≤ t+h，cr，uh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）=C（t，ωt，r，Xt，ω，uhr∧·, u（r，Xt，ω，uhr∧·)). （B.16）当t+h时≤ r≤ T，cr，uh（T+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）=EhhC（t，ωt，r，Xt，ω，uhr∧·,^u（r，Xt，ω，uhr∧·))Ft+hi=cr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）。

（B.17）类似地，fuh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）（B.18）=EhhF（t+h，Xt，ω，uht+h，Xt，ω，uht∧·)Ft+hi=f（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h），fuh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）=f（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt），（B.19）和guh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）=EhXt，ω，uhT英尺+小时（B.20）=g（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）。因此，（B.13）减少到j（t，ω；uh）=EhhV（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）Fti（B.21）-nZTt+hEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）英尺博士-Zt+htEhC（t，ωt，r，Xt，ω，uhr∧·, u（r，Xt，ω，uhr∧·))英尺博士-ZTt+hEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）英尺dro公司-内赫f（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）英尺- 呃f（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）英尺o-内赫G（t+h，Xt，ω，uht+h，G（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh））英尺- Gt、 ωt，Ehg（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）英尺o、 同时，从V的PHJB方程（2.41），我们应用了泛函It^o公式和引理2.15。注意定义2.6的（2）-（3）中的时间连续性和ω假设的连续性：EhhV（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）Fti公司- V（t，ω）+EhhZt+htC（s，Xt，ω，uhs，s，Xt，ω，uhs∧·, u（s，Xt，ω，uhs∧·))ds公司Fti公司- EhhZt+htZTs（Auhcr）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh，s，Xt，ω，uhs）drdsFti+EhhZt+htZTs（Auhct，ωt，r）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh）drdsFti（B.22）-nEhhf（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）Fti公司- f（t，ω，t，ωt）o+nEhhf（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）Fti公司- f（t，ω，t，ωt）o-nEhhG（t+h，Xt，ω，uht+h，g（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh））Fti公司- G（t，ωt，G（t，ω））o+nGt、 ωt，Ehg（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）英尺- G（t，ωt，G（t，ω））o≤ o（h）。我们进一步简化了（B.22）中的C、cr和ct、ωt和RTERM。

通过Fubini定理，我们得到了以下结果：EhhZt+htZTs（Auhcr）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh，s，Xt，ω，uhs）drdsFti=EhhZTtZr∧（t+h）t（Auhcr）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh，s，Xt，ω，uhs）dsdrFti=Zt+htEhhZrt（Auhcr）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh，s，Xt，ω，uhs）dsFtidr（B.23）+ZTt+hEhhZt+ht（Auhcr）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh，s，Xt，ω，uhs）dsFtidr=Zt+htnEhcr（r，Xt，ω，uhrΘr，uh，r，Xt，ω，uhr）英尺- cr（t，ω，t，ωt）odr+ZTt+hnEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）英尺- cr（t，ω，t，ωt）odr。类似地，EhhZt+htZTs（Auhct，ωt，r）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh）drdsFti=Zt+htnEhcr（r，Xt，ω，uhrΘr，uh，t，ωt）英尺-cr（t，ω，t，ωt）odr（B.24）+ZTt+hnEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）英尺- cr（t，ω，t，ωt）odrandZt+htEhcr（r，Xt，ω，uhrΘr，uh，r，Xt，ω，uhr）英尺dr=Zt+htEh呃C（r，Xt，ω，uhr，r，Xt，ω，uhr∧·,^u（r，Xt，ω，uhr∧·))Fr公司英尺dr（B.25）=Zt+htEhC（r，Xt，ω，uhr，r，Xt，ω，uhr∧·,^u（r，Xt，ω，uhr∧·))英尺Zt博士+htEhcr（r，Xt，ω，uhrΘr，uh，t，ωt）英尺dr=Zt+htEhC（t，ωt，r，Xt，ω，uhr∧·,^u（r，Xt，ω，uhr∧·))英尺dr.（B.26）根据第2.6条定义（3）-（4）项下的勒贝格差异，我们得出以下结论：Zt+htEhC（r，Xt，ω，uhr，r，Xt，ω，uhr∧·,^u（r，Xt，ω，uhr∧·))英尺dr=Zt+htEhC（t，ωt，r，Xt，ω，uhr∧·,^u（r，Xt，ω，uhr∧·))英尺dr+o（h）。

（B.27）因此，（B.23）和（B.24）减少为- EhhZt+htZTs（Auhcr）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh，s，Xt，ω，uhs）drdsFti+EhhZt+htZTs（Auhct，ωt，r）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh）drdsFti=-ZTt+hEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）英尺dr（B.28）+ZTt+hEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）英尺dr+o（h）。使用（B.27）中的相同参数得出以下结果：EhhZt+htC（s，Xt，ω，uhs，s，Xt，ω，uhs∧·, u（s，Xt，ω，uhs∧·))ds公司Fti（B.29）=EhZt+htC（t，ωt，r，Xt，ω，uhr∧·, u（r，Xt，ω，uhr∧·))博士英尺+ o（h）。组合（B.22），（B.28）和（B.29）Yieldsehv（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）Fti公司- V（t，ω）+EhZt+htC（t，ωt，r，Xt，ω，uhr∧·, u（r，Xt，ω，uhr∧·))博士英尺-ZTt+hEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）英尺dr+ZTt+hEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）英尺dr（B.30）- Ehhf（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）Fti+Ehhf（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）Fti公司- EhhG（t+h，Xt，ω，uht+h，g（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh））Fti+Gt、 ωt，Ehg（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）英尺≤ o（h）。与（B.21）相比，我们确定了atJ（t，ω；uh）- V（t，ω）≤ o（h）。（B.31）V（t，ω）=J（t，ω；^u）如前所示，J（t，ω；uh）- J（t，ω；^u）≤ o（h），（B.32）根据需要。B、 3.1推论3.2证明。我们首先证明了ψ的结果。考虑|ψ=-ψ. 那么，ψ满足度ψ=K* H（ψ）。（B.33）w*是H（w）=0的唯一根(-∞, wmax]使用wmax，-H2H。Gatheral和Keller Restel（2019）中的H（w）satis Assumption A.1。因此，Gatheral和Keller-Ressel（2019，定理A.5（A））与A（t）≡ 0表示（B.33）具有唯一的全局连续解，且*< r（t）≤Иψ（t）<0， t>0。（B.34）这给出了ψ的期望结果。（3.33）是一个线性VIE。因此，Vare的存在性和唯一性结果决定了us ingBrunner（2017，定理1.2.3）或Gripenberg等人（1990，方程（1.3），第77页）。