粗糙波动的时间不一致性

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英文标题：
《Time-inconsistency with rough volatility》
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作者：
Bingyan Han and Hoi Ying Wong
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Motivated by recent advances in rough volatility, this paper investigates the impact of roughness on equilibrium feedback strategies for time-inconsistent objectives. Under a general framework embracing non-Markovian and non-semimartingale models, we develop an extended path-dependent Hamilton-Jacobi-Bellman (PHJB) equation system. A verification theorem is provided. By deriving explicit solutions to three problems, including mean-variance portfolio problem (MVP) with constant risk aversion, MVP for log-returns, and an investment/consumption problem with non-exponential discounting, we present that volatility roughness adjusts the equilibrium strategies considerably, up to 40% in certain settings. Since rough volatility models capture the near-term downside risk by fitting the volatility skews, we interpret the adjustments as a hedge for this risk.
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中文摘要：
基于粗糙波动率的最新进展，本文研究了粗糙度对时间不一致目标均衡反馈策略的影响。在包含非马尔可夫和非半鞅模型的一般框架下，我们发展了一个扩展的路径相关Hamilton-Jacobi-Bellman（PHJB）方程组。给出了一个验证定理。通过推导三个问题的显式解，包括具有常数风险厌恶的均值-方差投资组合问题（MVP）、对数收益的MVP和具有非指数贴现的投资/消费问题，我们提出波动粗糙度可以显著调整均衡策略，在某些情况下高达40%。由于粗糙波动率模型通过拟合波动率偏斜来捕捉短期下行风险，我们将调整解释为对该风险的对冲。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Time-inconsistency_with_rough_volatility.pdf (566.61 KB)

2022-6-24 11:46:43 上传

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关键词：一致性 Mathematical Verification Quantitative Optimization

粗糙波动的时间不一致性*Bingyan Han+Hoi Ying Wong2021年12月21日摘要本文考虑Volterra过程和时间不一致偏好下的均衡策略，包括均值-方差投资组合选择（MVP）。利用泛函It^o演算方法，我们克服了Volterra过程中的非马尔可夫和非半鞅困难。然后，在博弈论框架下，用一个扩展路径依赖的Hamilton-Jacobi-Bellman方程组来描述均衡策略。提供了验证定理。我们导出了三个问题的显式解，包括具有常数风险厌恶的MVP、对数旋转的MVP和具有线性受控Volterra过程的均值-方差目标。我们还彻底研究了波动率粗糙度对均衡策略的影响。数值实验表明，波动率粗糙的交易规则优于经典规则。关键词：时间不一致性、粗糙波动性、函数It^o演算、均值方差组合选择、Volterra-Heston模型。数学科目分类：91G80、91A80、60G22、60 H20。JEL分类：C72、C73、G11.1简介投资组合选择是数学金融中的一个基本且领先的问题。由Markowitz（1952）首创的均值-方差投资组合选择（MVP）被公认为是现代投资组合理论的核心。其直观灵活的配方吸引了众多研究人员的注意，他们试图加强原始框架。示例包括但不限于L i和Ng（2000）；周和李（2000）；Basak and Chabakauri（2010年）；Czichowsky（2013）；比约克等人（2014）；何和江（2019）；Dai等人（2020年）。与预期效用理论（Merton，1969）相反，MVP支持方差算子引起的时间不一致性。

当初始值为（t，x）的投资者意识到，当s>t时，衍生策略在随后的s状态（s，Xs）不再是最优的，就会出现时间不一致。正如Strotz（1955）所指出的，时间一致性是任何合理的战略决策和优化的基本要求。代理人只能选择他/她不会偏离的策略。Basak和Chabakauri（2010）认为，MVP有一个调整条款，即p提供“一种激励，鼓励投资者在不久的将来偏离其最佳战略。”然而，Li和Ng（2000）等研究；周和李（2000）忽略了时间不一致性，只提供了预先承诺的策略。*本文的早期版本以“Volterra过程的时间一致性反馈策略”为题进行了分发和引用。作者要感谢两位匿名审稿人和编辑的精彩阅读和宝贵评论，这大大改进了手稿。Bingyan Han获得UIC启动研究基金的支持（参考号：R72021109）。+BNU-HKBU联合国际学院科学技术部，中国广东珠海，bingyanhan@uic.edu.cn香港中文大学统计系，中国香港特别行政区，hywong@cuhk.edu.hkTime-不一致性在最优性的概念上产生了大量有争议的观点。一种补救方法是考虑一种均衡策略。目的是在当前经纪人和他/她未来的自己之间模拟一场游戏，并将游戏的非平衡作为策略。基于不同的方法，有几种治疗方法可用。Ekeland和Pirvu（2008年）；Bj¨ork等人（2014、2017）遵循经典的动态编程框架，推导出一个扩展的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程来描述平衡。Hu等人。

（2012）在开环优化中制定博弈，并通过随机最大值原理推导等式。Yong（2012）；Czichowsky（2013）考虑在整个规划时间h原点上进行划分，并通过取极限获得平衡。通过定点论证，Huang和Zhou（2018）进一步区分了强平衡和弱平衡。相关讨论包括He和Jiang（2019）以及其中的参考文献。在本文中，我们利用扩展的HJB方法来实现其广泛的应用，包括MVP。刘（2007）；Basak和Ch ab akauri（2010年）；Dai等人（2020年）证明，随机波动性的套期保值需求可能占总均衡股票敞口的很大一部分。因此，波动率的现实建模在投资决策中起着不可或缺的作用。我们使用Gatheral等人（2018）最近提出的粗糙波动率模型。在这项开创性的工作中，Gathereal等人（2018）使用分数布朗运动（fBm）来证明波动的粗糙性。Fukasawa等人（2019年）通过制定严格的统计估计和推断，进一步证实了波动率甚至比Gatheralet等人（2018年）报告的波动率还要粗略。这些模型与金融时间序列的一些程式化事实相一致，并具有一些理想的理论特性。他们捕获了隐含波动性（IV）表面的期限结构，尤其是当自然度接近零时，货币（M）倾斜的爆炸（Al\'os等人，2007；Gatheral等人，2018；El Euch和Rosenbaum，2019），平滑波动模型无法做到这一点。

高波动率模型的示例包括fBm（Gatheral et al.，2018）、分数Ornstein-Uhlenbeck（fOU）过程（Fouque and Hu，20192018）、粗糙Bergomi（rBergomi）模型（Bayer et al.，2016）、分数Heston模型（Guennoun et al.，2018）和粗糙Heston模型（El Euch and Rosenbaum，2019）。Rough-Heston模型受到了特别的关注，并扩展到Volterra-Heston模型（Abi-Jaber et al.，2019）和a ffne远期方差（AFV）模型（Gatherel an dKeller-Restel，2019）。El Euchand Rosenbaum（2019）通过高频率交易中的metaord er s、Jusselin和Rosenbaum（2020）通过无套利性质、Glasserman和He（2019）通过短期下行风险的异质性以及Gathereal等人（2018）通过长记忆行为解释了粗糙波动性的经济解释。然而，就像对波动率的短期或长期依赖性的研究一样，对粗糙波动率的理解仍在发展中。我们对粗糙波动率所描述的更现实的随机金融环境下的均衡策略感兴趣。我们是第一个探索具有粗糙波动性的时间不一致性的人，尽管相关的工作，如Fouque和Hu（2019）；Han和Wong（2020a，b）；Fouque和Hu（2018）；B¨auerle和Desmettre（2020），其中的参考文献可用于粗糙波动下的替代投资组合问题。尽管有经验证据表明存在高波动性，但其非马尔可夫和非半鞅性质对平衡的经典方法提出了挑战。我们还考虑了er-Volterra过程的一般性。文献中以前的结果不能直接用于解决Volterra过程下的平衡策略。Hu等人（2012）考虑了线性非马尔可夫系统，但其应用仅限于线性四次控制问题。

Czichowsky（2013）中的局部均值方差（LMVE）方法可以处理半鞅，但Volterra过程通常不是半鞅。为了解决这些困难，我们采用了一种称为函数I t^o Calculus的通用方法，其应用程序远远超出了时间不一致性和粗糙波动性。Dupir e（2019）首先为非预期泛函开发了一种路径演算，其动机是定价和享乐路径依赖衍生品。通过定义时间和空间导数，经典的It^o公式被扩展到Cont和Fourni^e（2013）中p ath-d依赖函数的函数I t^o公式；杜皮尔（2019）。函数It^o演算适用于一类广泛的优化和决策问题。为了更好地纳入金融和保险风险，Siu（2016）考虑了函数It^o演算在具有非马尔可夫跳差过程的凸风险度量中的应用。Cvitani\'c等人（2017年）使用Dupire的功能It^o Calculust来激励他们在委托代理问题中对合同的定义。在Cont和Fou rni\'e（2013）的框架下；Dupire（2019），S chied et al.（2018）提出了Fernholz随机投资组合理论中主公式的两个路径版本，并用经验数据阐明了它们的表现。Saporito（2019）app将函数It^o演算应用于随机微分和时滞最优控制问题。然而，上述文献依赖于半鞅假设，而Volterra-Heston模型和一般Volterra过程是非半鞅。最近，Viensand Zhang（2019）开发了一个功能强大的工具包，用于分析Volterra过程的函数。

启发式地，他们的方法旨在通过在路径ω中加入辅助非预期过程Θt（2.7）来“恢复”Volterra过程的流动特性。他们优美的结果使我们能够推导出定理2.16中的扩展路径相关HJB（PHJB）方程系统，这扩展了Zhao等人（2014）的结果；比约克等人（2014、2017）；Dai等人（2020年），除了粗糙波动下的投资组合选择之外，还有潜在的应用。然而，我们强调，即使考虑到现有的结果，PHJB系统的开发也不是微不足道的。我们还提供了比约克等人（2017）提出的未解决的未来问题的一个例子：“目前的理论在很大程度上取决于马尔可夫结构。如果没有这一假设，看看能做些什么会很有趣。”Bj¨ork et al.（2017）在第3节中，我们将Volterra过程的一般框架应用于Rough波动下的时间一致性（TC）MVP。我们将处于恶劣环境下的代理人称为粗暴投资者。当波动更剧烈时，一个粗鲁的投资者应该多多少少买进吗？他/她应该什么时候改变自己对粗野的偏好？此外，根据经验数据，粗略的策略的可行性如何？我们观察到波动率粗糙度显著增加了对冲需求。此外，粗糙投资者对粗糙度的态度取决于心中的支付功能。通过推导巴沙克和沙巴卡里经典问题的显式解决方案（2010年）；Dai等人（2020年），我们对时间不一致性和粗糙度之间的复杂关系进行了深入的分析和理清。我们的发现提倡将高波动率模型作为Basak和Chabakauri（2010）采用的经典模型的有希望的替代方案；Dai等人（2020年）。o第3.1节考虑了Volterra-Heston模型下具有恒定风险规避的TC-MVP（Basak和Chabakauri，2010）。

这被称为const MV案例。在我们的敏感性分析中，我们发现，当投资期限较长时，const-MV策略表明对波动性更平稳的股票的需求较高。在较短的投资期限内，CONST MV策略增加了对波动性较大的股票的敞口。我们将这种现象称为投资期限效应。在const MV案例中，这种影响的变化点与投资者的风险厌恶无关。在一项模拟研究中，我们发现，粗糙的投资者比圆滑的投资者要求高达40%的利润第3.2节研究了粗糙随机环境下TC-MVP的对数回报（Dai等人，2020）。这被称为对数MV案例。合同MV案例中的投资期限效应保留在日志MV案例中。然而，主要区别在于，当投资者开始偏好粗糙时，风险厌恶的异质性就会发生变化。一个更为厌恶风险的投资者更早地经历了磨难。一般来说，log-MV案有利于破产，因此比const-MV案更为保守。如模拟研究所述，与Dai等人（2020年）相比，粗略投资者的股票需求最多增加9%。此外，与恒定相对风险规避（CRRA）效用相比，对数MV标准意味着不同的粗糙度相关行为第3.3节研究了均值-方差（MV）目标和线性受控Volterra过程的问题。与投资组合选择不同，卷积和控制一起出现在状态过程中（3.45）。我们设法推导出一个明确的策略，该策略展示了我们的框架对受控Volterra状态过程问题的潜在应用通过第4.3节中的实证研究，我们强调了具有粗糙波动性的交易策略主导了Basak和Chabakauri（2010）的所有经典对应策略；Dai等人（2020年）。

即使在2018年5月至2019年4月动荡不安的美国股市下，他们也能以更好的夏普比率获得更多的终端财富。实证绩效证实了我们提出的策略在捕捉市场动向方面更有效的说法。本文的主要内容如下。第2节描述了Volterra过程的一般框架。第2.2节将Volterra-Heston模型视为剧烈波动的主要例子。第2.4节推导了扩展的PHJB方程组。第3节讨论了使用MV目标解决三个问题的方法。第4节介绍了数值研究。最后，第5节对本文进行了总结。Viens和Zhang（2019）中的函数It^o演算在附录A中总结为一篇完整的文章。所有数学证明均遵循附录B.2问题公式2.1 Volterra过程假设T>0为确定性有限投资期。我们首先提出了一个一般模型，其应用超出了粗糙波动率。考虑[0，T]上的受控n维随机Volterraintegral方程（SVIE）：Xut=x+Ztu（T；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dr+Ztσ（t；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dWr，（2.1）其中Xur∧·指进程（Xus）0的整个过去路径≤s≤r、 W是一个d维标准布朗运动，u，σ用合适的维数表示。反馈策略u是k维确定性可测函数。我们在定义2.6中提供了对允许策略的严格定义。本文中（2.1）的主要例子是（2.6）和（2.4）中的二维过程（Mu，ν）。同样值得一提的是，SVIE（2.1）一般是非马尔可夫和非半鞅的。我们考虑反馈策略u（r，Xur∧·) 取决于whole路径Xur∧·而不是像Basak和Chabakauri（2010年）那样，对流程的当前值Xurof进行单独计算；比约克等人（2017）；Dai等人。

(2020). 这种设置更为合理，因为投资者总是可以根据观察到的过程历史做出决策。在正式确定均衡反馈策略之前，我们在本文中采用以下长期假设。假设2.1。受控SVIE（2.1）在某个完全概率空间上存在唯一的律内连续弱解（Xu，W）(Ohm, F、 P）过滤F={Ft}0≤t型≤t满足通常条件。（Xu，W）为F适应型且HSUP0≤t型≤T | Xut | pi<∞, （2.2）对于任何p≥ 1、如Viens和Zhang（2019）附录所述，足够大的弯矩恒量就足够了。然而，这个p并不明确。由于我们的主要关注点是时间不一致性，因此我们不寻求可能更一般的条件来验证本文中的假设2.1。我们验证假设2.1 f或第3节中的一些示例，并请感兴趣的读者参考Abi Jaberet al.（2019）；Viens和Zhang（2019），以获取进一步结果。实际上，由于u是一种反馈策略，我们可以将uuan和σuin（2.14）分别视为漂移和差异。Abi Jaber等人（2019年）的ou T控制结果；Viens和Zhang（2019）随后适用于我们的案例。与Viens和Zhang（2019）的假设3.1相比，假设2.1进一步要求（2.1）承认独特的法律解决方案。对于给定的反馈策略u，我们的问题自然会在u下获得唯一的奖励函数（2.15），这要求SVIE（2.1）定律是唯一的。我们还需要（2.1）的连续解。当考虑反馈策略时，这种情况相对较小。在这种情况下，串联路径（2.8）随后被调整为连续路径。一旦给出反馈策略u，我们将弱解（Xu，W）转化为（2.1）。虽然概率空间和布朗运动也是SVIE（2.1）解的一部分，但Xu的分布是唯一的。