离散时间序列最优期望效用的收敛性

对于每y>0和 > 0，存在M>0，因此EPNV（yZn）·{V（yZn）>M}< , n.（8.14）中的一致性将（8.13）中的左侧不等式改写为Z（ω）/C≤ Zn（ω），在Pn的支撑下。由于V是一个递减函数，这意味着，对于所有y>0，V（yZ（ω）/C）≥ V（yZn（ω）），因此，V（yZ（ω）/C）>MV（yZn（ω））>M,两者都限于支持Pn。因此，对于任何M>0，EPnV（yZn）·{V（yZn）>M}≤ EPn公司V（yZ（ω）/C）·{V（yZ（ω）/C）>M}.但是，可以应用toy=y/C来证明M的存在，从而证明（8.8）是满足的，这就完成了这一步骤。第7步。对于所有y>0，limnEPn【V（yZn）】- EPn【V（yZ）】= 当V（0）=U时，此步骤的参数会发生一点变化(∞) 和/或V(∞) = U（0）为有限值。因此，我们首先给出V（0）=U的情况下的参数(∞) = ∞和V(∞) = U（0）=-∞, 然后概述如何处理一个或另一个不确定的较容易的情况。修理 > 0和y>0，并拾取足够大的M>0，以便（8.7）、（8.8）、（8.12）和（8.14）都保持不变。设M=M+2。让wand wbe溶液分别为V（yZ（w））=和V（yZ（w））=-M、 其中Z（w），我们暂时是指exp(-带2个- 1/8). 这意味着如果ω是ω（1）∈ [w，w]，然后V（yZ（ω））∈[-M、 M）。此外，通过V、Z和Zn（后两者视为ω（1）的函数）的连续性和单调性，以及对于固定w，Zn（w）→ Z（w），存在这样的情况：对于所有n>n，ω（1）∈ [w，w]表示V（yZn（ω））∈ [-M-1，M+1]。函数V、Z和zn在紧域上都是一致且偶数Lipschitz连续的（对于V，严格有界远离0），因此有一个Lipschitz常数`，使得V（yZn（w））- V（yZ（w））≤ ` ·锌（w）- Z（w）,如果n>nand w∈ [宽，宽]。

在ω（1）事件上∈ [w，w]，对于所有n>n，| Zn（ω）- Z（ω）|</`.因此，在事件D={ω（1）上∈ 对于n>max{n，n}，我们有| V（yZ（ω））-V（yZn（ω））|≤ , 和EPn|V（yZ（ω））-V（yZn（ω））|·D< . 通过构造，D的补码是四个事件的并集的子集，在这四个事件上我们一致控制了V（yZ（ω））和V（yZn（ω））的积分，因此对于n>max{n，n}，EPn|V（yZ（ω））- V（yZn（ω））< 5., 在n中一致，这证明了步骤7。当V（0）和/或V(∞) 如果不确定，这个论点需要稍加修改。假设V（0）<∞. 当yZ和yZnare都接近零时，这与路径ω有关，其中ω（1）较大。对于这些路径，Zn（ω）可能离Z（ω）很远。然而，即使这些项相距很远，V（yZ（ω））和V（yZn（ω））也会很近，因为它们都接近于有限的V（0）。类似的论点适用于V(∞) 是有限的。第8步。结合步骤7和3，得出limn→∞uZnn=u（z）表示所有z>0。步骤3显示vZn（y）→ v（y）对于所有y>0（这就是我们得出uZn（x）的结论）→u（x））。步骤7则意味着vZnn（y）→ v（y）表示所有y>0。反过来，这意味着Limn→∞uZnn（x）→ 共轭函数上的标准参数的u（x）。步骤9。结合步骤8和命题2完成证明。已经给出了论点。这一证明阐明了为什么我们引入了类似的问题，即概率评估消费者面临Z给出的完整市场和价格：与BSM模型相比，最优预期效用函数的共轭Vn和v sun和u是不同概率度量的固定函数的期望值。因此，在控制定义这些共轭函数的积分的尾部之后，我们在步骤3中得到了或多或少的弱收敛结果的标准结果。

在步骤7中，概率评估和价格（两个比较问题中的一个）都随n而变化。虽然比较的问题对仅在价格上有所不同，但由于被积函数和积分测度pn都随n而变化，因此需要一定程度的谨慎。9 Kreps猜想Theorem 1的反例保证，对于满足条件（3.1）且渐近弹性小于1的效用函数U，在BSM模型和我们假设的BSM离散时间近似的背景下，一切都能很好地进行。那么，很自然地会问，如果我们维持（3.1）和这些金融市场的特定模型，我们能说些什么，但我们看看效用函数U，其中AE（U）=1。在这种情况下，事情可能会在定理1的意义上解决。但也有可能lim supn→∞un（x）>u（x）。也就是说，当AE（U）=1时，Kreps的猜想可能会失败。在这一节中，我们提供了一个例子来以鲜明的方式说明这种失败：在这个例子中，u（x）<∞ 而lim supn→∞un（x）=∞, 都适用于所有x>0。在本例中（以及在第9节中，我们完成命题1的证明），我们构造共轭函数V，形式为V（y）：=∞Xk=1βky-αk，其中αk，βk>0，并且选择序列{αk}和{βk}，以便所有y>0的和定义v（y）是有限的。我们从共轭对U和V的一些标准事实开始，当V的形式为V（y）=βy时-α.引理2。对于α>0和β>0，用Vα，β（y）表示函数Vα，β（y）：=βy-αfory>0。对于与Vα，β共轭的效用函数Uα，β，如果x=-Vα，β（y）=βαy-α-1给定y，则uα，β（x）=（1+α）Vα，β（y）。

（9.1）当x>0时，产生的效用函数Uα，βisUα，β（x）=1+ααα/（1+α）β1/（1+α）xα/（1+α）。由于α>0，α/（1+α）∈ （0，1）和AE（Uα，β）=α/（1+α）<1。引理3提供了BSM模型中消费者最大化问题的一些分析，当其效用函数的共轭形式为Vα，β时。引理3。假设BSM经济中的一个消费者，其效用函数Uα，β由（9.1）给出。BSM经济学中对应于Uα，β和Vα，β的（对偶）值函数Vα，β（y）=EPVα，βyZ公司= βe（α+α）/8y-α=e（α+α）/8Vα，β（y）。（9.2）和原始预期效用函数，给出消费者在BSM经济中可以实现的最高预期效用，作为其初始财富x，isuα，β（x）=eα/8Uα，β（x）的函数。（9.3）证明。方程式（9.3）很容易从（9.2）推导出来，因此我们只给出（9.2）的证明。设Y为N（0，1）-分布，使Y-1/8,1/4= -是/2-1/8具有ln（dP）定律*/dP）=ln（Z）。因此，随机变量βy扩展(-是/2-1/8)-α具有Vα，β（y Z）和sovα，β（y）=EP的定律βy扩展-Y--α= βy-αeα/8EP经验值αY= βe（α+α）/8y-α.因子e（α+α）/8偶尔会递归，因此为了节省击键次数，让φ（α）：=e（α+α）/8。用Lζ（λ）表示ζ定律的拉普拉斯变换；isLζ（λ）：=E[exp（λζ）]。如上所述，用Y表示标准（平均值0，方差1）正态变量，并写（λ）：=E[经验（λY）]=Eλ/2。设Yn为ζ的n个独立副本的标度和，Yn=ζ+…+ζnn1/2，我们有lyn（λ）=Lζλn1/2n、 中心极限定理对应于众所周知的事实，即LYn（λ）收敛于LY（λ）。另一方面，如果E[ζ]>0，通过考虑-类似于引理1的证明-泰勒级数展开到λ=0附近的exp（λY）的3次，可以得出，对于足够小的λ>0，Lζ（λ）>LY（λ）。

（9.4）现在考虑共轭效用函数Vα，β（y）=βy-α如上所述，其共轭Euα，β，BSM经济体的相应值函数uα，β及其共轭Evα，β，如引理3中所示，我们将其与消费者面临Zn给出的完整市场和价格的各种离散时间经济体的值函数进行比较。在本节中，我们不需要消费者面临价格Z的离散时间经济体的值函数，因此为了简化符号，在本节中，我们将第n个离散时间经济体的值函数与vnα，β（y）的值函数相结合，即vnα，β（y）：=EPnβyZn公司-α对于所有y>0。（9.5）我们写unα，β来表示原始值函数（vnα，β的共轭）。考虑整数k的比值vnα，β（k）/vα，β（1/k）。从（9.2）和（9.5）可以看出，该比率与β的值无关，因此，对于整数k和n，α>0（以及任何β>0），letM（k，n，α）：=vnα，β（k）vα，β（1/k）。（9.6）引理4。对于每个整数k，存在足够大的n，以便对于α：=2λn1/2，M（k，n，α）≥ 22k。证据修复k。在不丧失一般性的情况下，将β设置为1。对于给定的n和α=2λn1/2，分别计算M（k，n，α）中的分母和分子。对于分母，我们有vα，1k= EP公司kexp-ω(1)--α=k-1/αeα/8EPλn1/2ω（1）=k-αeα/8Eexp（λn1/2Y）=k-αeα/8LY（λn1/2）=k-αeα/8（eλ/2）n=k-αeα/8LY（λ）n，其中Y是标准（平均值0，方差1）正态变量，e表示相对于Y的期望值。对于分子，在专门化toy=k和β=1之前，我们计算一般y和β：vnα，β（y）=EPnβ（yZn）-α= EPn公司βy扩展(-anω（1）- bn）-α= βy-αeαbnE经验值2λann1/2ζn1/2++ζnn1/2= βy-αeαbnEexp（2anλζ）n=βy-αeαbnLζ（2anλ）n=y-αH（n，α，β）对于H（n，α，β）：=βeαbnLζ（2anλ）n，（9.7），其中ζj是i.i.d。

ζ和E的副本表示对这些随机变量的期望。因此m（k，n，α）=vnα，1（k）vα，1（1/k）=k-αeαbnLζ（2anλ）n（1/k）-αeα/8LY（λ）n个=k-4λe2λ（bn-1/8)n1/2Lζ（2anλ）LY（λ）n、 （9.8）（9.7）rhs第一个方括号内的术语有一个有限的限制（自bn起→ 1/8），因此n→ ∞, 对于某些常数G，该项的幂n1/2以Gn1/2为界。第二组方括号内的项收敛到Lζ（λ）/LY（λ），根据（9.4），Lζ（λ）/LY（λ）是一个严格大于1的常数。这一项被称为n的幂。因此，对于固定的k，如果n足够大，第二项会压倒第一项，证明引理4。对于每个k=0，1，2，，设nk和αk=2λn1/2k是引理4保证的n和α的值。也就是说，对于每个k（以及所有β>0），M（k，nk，αk）=vnkαk，βk（k）vαk，βk（1/k）>22k。（9.9）很明显，我们可以添加nk≥ k和nk/k在增加，我们也在增加。由于αk=2λn1/2k，这意味着limk→∞αk=∞.设βk：=kvα，1（1/k），使βkvαk，1（1/k）=vαk，βk（1/k）=k.（9.10）乘以（9.9），vnkαk，βk（k）kvαk，βk（1/k）=vnkαk，βk（k）>2k。（9.11）定义（y）：=∞Xk=1βky-αk=∞Xk=1Vαk，βk（y），对于所有y>0。（9.12）很明显，对于所有y>0的函数，其和都是明确定义的，并且函数具有与满足条件（3.1）的效用函数U共轭所需的所有属性。实际上，（9.10）确保V（y）=EP五、yZ）= EP公司∞Xk=1Vαk，βk（yZ）=∞Xk=1vαk，βk（y）<∞, 对于所有y>0，这意味着，对于U，共轭（效用）函数为V，对于U，财富函数的（最大期望）效用对应于BSM经济中的该U，U（x）<∞ 对于所有x，可能值得指出的是，这个效用函数U不是pkuαk，βk。关于离散时间经济体，首先要注意，和（9.12）中的所有项都是正的，所以Vαk，βk（y）≤ V（y）。

这意味着，对于每个k，vnkαk，βk（y）≤ vnk（y）表示所有y，因此为unkαk，βk（x）≤ unk（x）表示所有x>0。（9.13）现在我们加入引理2。使用（9.7）中的符号，对于任意yk>0，letxk：=-dvnkαk，βkdy（yk）=αky-αk-1kH（nk，αk，βk）=αkyk·vnkαk，βkyk公司.引理2告诉我们unkαk，βk（xk）=vnkαk，βkyk公司1+αk.因此，unkαk，βk（xk）xk=1+αkvnkαk，βk（yk）αk/yk）vnkαk，βk（yk）=1+αkαkyk>yk。（9.14）选择yk=k1/2。由于vnkαk，βk（k）>2k，并且vnkαk，βk（y）在y中减少，我们知道vnkαk，βkk1/2> 2k。由于αk=2λn1/2k，并且通过构造，nk/k是非减量的，因此我们知道αk/k1/2i是非减量的。把这两个观察结果放在一起，我们知道Limk→∞xk=limk→∞αkk1/2·vnkαk，βkk1/2= ∞. （9.15）对于yk的选择，（9.14）告诉我们→∞unkαk，βk（xk）xk=limk→∞1+αkαkk1/2=∞. （9.16）每个函数unkαk，βkis为凹函数，x=0时的值为0。所以（9.16）意味着，在区间x上∈ （0，xk），unkαk，βk（x）>k1/2x。因此，从（9.13）来看，unk（x）也是如此。但是随着k的增加∞, 这是真的间隔[0，xk]扩展到allof（0，∞] — 这是（9.15）-对unkon这一区间的低估接近实际。这意味着Limk→∞unk（x）=∞, 对于所有x>0。（9.17）在（9.17）中确定的限制并没有完全完成我们计划要做的事情。我们想表明，在第n个离散时间经济体中，消费者面临价格zn和综合其消费主张必须高于的约束，她可以（至少在子序列上）渐进地产生有限的预期效用，尽管她只能在BSM经济体中产生有限的预期效用。（9.17）中的限制涉及到面对价格和完整市场，她能产生什么样的预期效用。但这最后一步很容易。

用于达到（9.16）的ζ的性质（与极限BSM经济中的最高预期效用不一致）为（1）ζ的平均值为零，（2）ζ的方差为1，（3）ζ的支持度为有限，以及（4）E[ζ]>0。例如，假设ζ是不对称二项式ζ=（2，概率为1/5，和-1/2，概率为4/5。很容易验证所有四个要求的属性都满足。而且，由于ζ有两个元素的支持，对于任何n，它提供了完整的市场。对于这个不对称二项式ζ，unk（x）正是她在第k个离散时间经济体中所能达到的，即使施加了可综合性约束。因此，我们有了克雷普斯猜想的理想反例。对于均值为零且绝对值“上升”大于“下降”的任何非对称二项，我们得出了相同的结论，因为这使得E[ζ]>0。那么，很自然地会问，在对称二项的情况下会发生什么，其中ζ=±1，每个概率为1/2，或者更一般地，对于任何具有E[ζ]的非对称二项≤ 0或更一般地，任何具有平均值零、有界支撑和E[ζ]的ζ≤ 对于此类ζ，上述推理不适用。相反，在对称随机游动的特殊情况下，我们有lζ（λ）=cosh（λ）≤ eλ/2=LY（λ），对于所有λ∈ R、 （9.18）通过比较泰勒级数（λ）最容易看出这一点=∞Xk=0λ2k（2k）！相对于eλ/2=∞Xk=0（λ/2）kk=∞Xk=0λ2kkk！。因此，上面构造的反例的逻辑失败了，该反例要求Lζ（λ）>LY（λ）对于某些λ>0。对于对称二项式，lim supnun（x）>u（x），对于某些效用函数u（根据定理1，必须满足AE（u）=1），可能仍然是正确的。或者，在对称二项式的情况下，等式可能成立（并且，可能在所有对称ζ或甚至ζ的情况下，E[ζ]≤ 0).

我们没有回答这个问题。10命题1BZ=dP的证明*/dP=e-ω(1)/2-1/8，Z的定律是exp（Y）的定律-1/8,1/4），其中Y-1/8,1/4是均值的正态变量-1/8和差异1/4。那么，通过标准计算，Z的定律具有密度函数f（y）=rπyexp- 2.ln（y）+.考虑函数v（y）=f（y）=rπy expln（y）+. （10.1）不同的V表明，只要ln（y）<3/8，它在y中就减少，并且近似计算表明，对于足够小的z>0，Vis在（0，z）上也是凸的。因此，我们可以定义函数V:R++→ 与Von区间（0，z）重合并扩展到所有（0，∞) 这是凸的，递减的，可区分的，方差为1会改变公式，但不会改变基本结论。满意度V(∞) = 因此，表示为U的V的共轭函数满足条件（1.1）。我们想确定严格正y的值的范围，其中值函数v（y）=EP五、y Z）（10.2）是有限的，其值是有限的。显然，这只取决于z=dP的小值*/数据处理在Z=dP的区间内写入期望值（10.2）*/数据处理∈ （0，z）asEP五、yZ（ω）;Z（ω）∈ （0，z）=ZzV（yz）f（z）dz=Zzf（yz）f（z）dz=yZyzf（w/y）f（w）dw，其中最后一步涉及变量w=yz的更改。通过直接计算，我们发现，对于一些依赖于y的常数K，f（w/y）yf（w）=Kw4 ln（y）；因此，EPV（yz）；Z∈ （0，z）= KZyzw4 ln（y）dw。如果4 ln（y），该积分发散≤ -1.也就是说，如果y≤ e-1/4.通过u和v之间的二元性，这表明，对于y=e-1/4，v（y）=∞ 对于y≤ y>y的yand是有限的；此外，作为y＆e-1/4=y，v（y）%∞.这是命题1中的可能性b（i）。

为了将这个结果推广到一般的y>0，它需要从函数V（y）传递到vy（y）=Ve-1/4年.对于命题1中的可能性b（iii）：引理2表明EPy Z方向-α= e（α+α）/8y-α.回想一下φ（α）：=e（α+α）/8。从定义开始，对于y>0，V（y）：=∞Xk=1βky-αk，（10.3），其中αk和βkare由αk=2k给出- 1和βk=kαkφ（αk）。求和（10.3）收敛于所有y>0，事实上，其收敛速度比几何速度快一些k（取决于y）。此外，很明显，V是严格正的、凸的，并且是两次（甚至更多）连续可微的。从引理3，我们得到v（y）=EP五、y Z方向=∞Xk=1βkEPy Z方向-αk=∞Xk=1βkφ（αk）y-αk（10.4）和v（y）=-∞Xk=1βkφ（αk）αky-αk-1.（10.5）在公式中替换αk和βk，（10.4）和（10.5）becomev（y）=∞Xk=1年-2k+1k（2k- 1） 和v（y）=-∞Xk=1年-2kk。（10.6）通过检查，v（y）=∞ 对于y<1且对于y是有限的≥ 1、v（y）是y的定义≥ 那么，这就是命题1中的可能性b（iii），对于y=1。我们留给读者一个可能性b（ii）的例子和一个极点为y6=1的例子的构造。参考文献[1]Backho Off，J.和Silva，F.J.（2018）。“不完全布朗市场模型中预期效用最大化的敏感性分析”，《数学与金融经济学》，第12卷，387–411。[2] Bayraktar，E.、Dolinsky，Y.和Guo，J.“效用最大化在弱收敛下的连续性”，arXiv:1811.01420（2018年11月）。[3] Bayraktar，E.、Dolinskyi，L.和Dolinsky，Y.“具有比例交易成本的扩展弱收敛和效用最大化”，arXiv:1912.08863（2019年12月）。[4] Biagini，S.和Frittelli，M.（2008年）。“效用最大化问题的统一框架：Orlicz空间方法”，《应用概率年鉴》，第18929–966卷。[5] Black，F.和Scholes，M.（1973年）。“期权定价和公司负债”，《政治经济学杂志》，第卷。