离散时间序列最优期望效用的收敛性

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英文标题：
《Convergence of Optimal Expected Utility for a Sequence of Discrete-Time
  Markets》
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作者：
David M. Kreps, Walter Schachermayer
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We examine Kreps\' (2019) conjecture that optimal expected utility in the classic Black--Scholes--Merton (BSM) economy is the limit of optimal expected utility for a sequence of discrete-time economies that \"approach\" the BSM economy in a natural sense: The $n$th discrete-time economy is generated by a scaled $n$-step random walk, based on an unscaled random variable $\\zeta$ with mean zero, variance one, and bounded support. We confirm Kreps\' conjecture if the consumer\'s utility function $U$ has asymptotic elasticity strictly less than one, and we provide a counterexample to the conjecture for a utility function $U$ with asymptotic elasticity equal to 1, for $\\zeta$ such that $E[\\zeta^3] > 0.$
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中文摘要：
我们检验了Kreps（2019）的猜想，即经典的Black-Scholes-Merton（BSM）经济中的最优预期效用是一系列离散时间经济体的最优预期效用的极限，这些离散时间经济体在自然意义上“接近”BSM经济体：第n美元离散时间经济体是由一个按比例的n美元步随机游走产生的，该游走基于平均值为零的无标度随机变量$\\ zeta$，方差1和有界支撑。如果消费者的效用函数$U$的渐近弹性严格小于1，我们证实了Kreps的猜想，并且我们提供了一个反例，证明了效用函数$U$的渐近弹性等于1，对于$zeta$，使得$E[\\zeta^3]>0$
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Convergence_of_Optimal_Expected_Utility_for_a_Sequence_of_Discrete-Time_Markets.pdf (391.37 KB)

2022-6-24 11:50:43 上传

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关键词：离散时间 时间序列 期望效用 Mathematical Applications

离散时间市场序列最优期望效用的收敛性David M.Kreps和Walter Schachermayer*2020年2月5日摘要我们检验了Kreps的猜想[17]，即classicBlack–Scholes–Merton（BSM）经济中的最优预期效用是一系列以自然方式“接近”BSM经济的离散时间经济体的最优预期效用的极限：第n个离散时间经济体是由一个按比例n步随机游走生成的，基于平均值为零、方差为1和有界支持度的无标度随机变量ζ。如果消费者效用函数U的渐近弹性严格小于1，我们证实了Kreps的猜想，并且我们提供了一个关于效用函数U的猜想的反例，该效用函数的渐近弹性等于1，对于ζ，使得E[ζ]>0.1引入固定了均值为零、方差为1和有界支持的随机变量ζ。对于n=1，2。，构建一个由两种证券组成的金融市场经济，一种是无风险债券，其作为计价单位（因此，利率为0），另一种是风险证券，称为股票，其在时间0、1/n、2/n……与无摩擦市场中的债券进行交易，（n）- 1） /n.股票的定价过程如下：对于i.i.d.序列{ζj；j=1，2，…}，其中，每个ζ都是ζ的分布，此时k/n isS（k/n）：=eξ（k/n），其中ξ（k/n）：=kXj=1ζj的股票价格规律√n、 （ξ（0）≡ 0和S（0）≡ 1）在时间1，债券支付的消费股息为1，股票支付的消费股息为上文定义的S（1）。将此模型嵌入标准状态空间Ohm = C[0，1]。设ω表示Ohm, ω（t）是ω在时间t的值。

天生赋予Ohm 具有sup范数拓扑；*（斯坦福大学商学院和维也纳大学数学系）Kreps的研究得到了斯坦福大学商学院的支持。Schachermayer感谢奥地利科学基金会（FWF）在P28661赠款下以及维也纳科学技术基金会（WWTF）通过MA14-008和MA16-021项目提供的支持。Schachermayer还感谢斯坦福大学数学系在撰写本论文时的热情好客。设F表示Borelσ场，设{Ft；t∈ [0，1]}表示标准过滤Ohm. 对于每个n，设Pn为Ohm 使得联合分布（ω（0），ω（1/n），ω（1））匹配（ξ（0），ξ（1/n），ξ（1）），因此，对于k/n<t<（k+1）/n，ω（t）是ω（k/n）和ω（（k+1）/n）的线性插值。让我们：Ohm → R+由S（ω，t）=eω（t）定义。Donsker定理告诉我们Pn=> P、 其中P是C[0，1]上的维纳测度；也就是说，P下的ω是标准布朗运动，从ω（0）=0开始，S（ω）under是几何布朗运动，因此P与无风险债券一起规定了Black和Scholes[5]和Merton[21]的简单连续时间经济（以下简称BSM经济或模型）。我们想象一个预期效用最大化的消费者，她被赋予初始财富x，用它购买股票和债券的初始投资组合。

此后，她以非预期和自我融资的方式进行股票和债券交易（即，（a）她在k/n时所掌握的信息，即她交易的基础，是[仅]k/n时之前（包括k/n时）股价的历史，以及（b）0后的任何股票购买都是通过出售债券来融资的，任何股票出售的收益都是投资于债券的），寻求效用函数U的期望值最大化：（0，∞) → 与她在时间1持有的投资组合产生的最终股息挂钩。构成本文基础的问题是：如果我们把这个消费者放在第n个离散时间经济体中（其中股票和债券（仅）在0、1/n、2/n、，（n）- 1） /n），她能达到的最佳预期效用是否接近，如n→ ∞, 在持续时间的BSM经济中，她能获得什么最佳效果？假设un（x）是她在第n个离散时间经济体中所能达到的最高预期效用，如果她的初始财富是x，那么u（x）是她在经济体中所能达到的最高预期效用。Kreps【17】获得了部分单侧结果，表明lim infnun（x）≥ u（x）。他证明了limnun（x）=u（x），在u具有恒定溶质或相对风险厌恶的非常特殊的情况下。但他只是猜测下半部分，奥利姆·苏普农（x）≤ u（x）对于gernal（凹的和可微分的）u是正确的。利用Kramkov和Schachermayer[16]提出的效用渐近弹性的概念（并广泛使用他们的分析），我们验证了如果效用函数u的不对称弹性小于1，limnun（x）=u（x）。

然而，我们举例说明，如果U的渐近弹性为1，则U（x）可能是有限的，而Limnun（x）=∞, 对于所有x>0.2的先前和当代文献，大量文献关注金融市场中的效用最大化问题，可以追溯到R.Merton的开创性工作[20]，并继续，例如，（[6、13、16、8、11、24、4]）。关于金融市场弱收敛下效用最大化的连续性，在（[10]、[23]、[25]）中获得了积极的结果；这些结果表明，在每个离散时间模型中，市场都是完整的。我们的兴趣来自于【17】中的讨论，是针对离散时间市场不完整的情况。自Cox、Ross和Rubinstein的开创性论文【7】以来，金融经济学家一直认为，如果ζ有两个元素的支持（所谓的二次型情况），并且每个离散时间经济体中的市场都是完整的，那么大n的离散时间经济体的行为（在经济方面）就像连续时间限制一样，至少对于BSM连续时间限制是这样的。但是，如果ζ有sizethree的支持，但只有这两种证券呢？任何特定的市场都是不完整的；这种不完整性是否意味着不同的经济结果？或者，如果控制离散时间证券价格过程的概率定律弱收敛于P，那么limnun（x）=u（x）是真的吗？众所周知，弱收敛是不够的。默顿（Merton）[20]观察到，如果U具有恒定的相对风险规避，且风险规避参数小于1/2，则BSM经济中的最佳策略是卖空债券，利用杠杆实现风险资产中当前财富的（固定）分数大于100%。

假设，在我们的特殊离散时间设置中，证券价格过程由单个随机变量ζ的缩放副本驱动，ζ具有下面无限的支持。试图在任何一个时间有限的经济体中实现这样的杠杆战略都会带来积极的破产可能性，这与这些效用函数是不相容的。在这种情况下，最好的投资者能为足够大的n做的就是将她的财富百分之百地持有在风险资产中，这会导致limnun（x）<u（x）。另一方面，仅Pnto P的弱收敛性并不排除渐进套利的可能性（[12]，[15]），在这种情况下，limnun（x）=∞, 即使u（x）是有限值的（并且u表现得很好）；参见第7章【17】。通过在我们的设置中假设ζ具有有界支撑，我们避免了第一个问题。而且，在我们的环境中，排除了渐进套利；见【17】，提案7.1。尽管如此，行为不端的U也会带来问题：在我们的设置中，如果U的渐近弹性小于1，我们证明了对于所有x>0，limnun（x）=U（x）。但如果U的渐近弹性为1，即使市场对每个n都是完整的，收敛也可能失败，并在惊人的衰退中失败。E.Bayraktar、Y.Dolinsky和J.Guo【2】最近以更具普遍性的方式处理了我们关注的不完整市场案例。他们的论文假设金融市场（Sn）∞n=1是一般半鞅，极限市场是连续半鞅。此外，文献[2]中的效用函数U可以测量地取决于观察到的股价轨迹。因此，他们的模型包括我们的特殊情况，其中（Sn）由单个（缩放）随机变量ζ诱导，andS是几何布朗运动。在这个更一般的设置中，它们使假设SSU足以显示limnun（x）=u（x）。

[2]中的关键假设是假设2.3（ii），即某个随机变量族是一致可积的，以及假设2.5，其有效地假设了渐进套利的可能性。[2]的引理2.2提供了一些相当强的条件，在这些条件下，假设2.3（ii）是满足的，这些条件与渐近弹性的概念无关。相比之下，我们从U的渐近弹性度大于1的假设出发，得出了对偶随机变量的某些对应族（见下文（8.8）和（8.14））的一致可积性。而且，在我们更为有限的环境中，渐近仲裁的不可能性是一个结论。本文【2】于2018年11月在ArXiv上发表；2019年7月，在ArXiv上发布了当前论文的第一个版本后，作者很高兴地提请我们注意他们的论文。其结果参考自2019年9月起的ArXiv版本[2]。3效用函数、共轭函数和共有弹性我们始终假设如下：假设（3.1）。效用函数U是严格递增、严格凹且连续可微的，并且满足limx的INDA条件→0U（x）=∞ andlimx公司→∞U（x）=0。此外，在不丧失一般性和便于标记的情况下，除非另有规定，否则我们假设U是归一化的，因此limx→∞U（x）>0，但不排除limx→∞U（x）=∞. （当然，limx→0U（x）可以是有限的或-∞.)我们让V表示U的共轭函数：对于y>0，V（y）=supx>0U（x）- xy型, 对于y>0。以下结果是标准的（参见，例如，[16]），并遵循假设（3.1）：o让我：（0，∞) → (0, ∞) 是U的倒数；也就是说，I（y）=（U）-1（y）。

那么很早以前∈ (0, ∞), V（y）=U（I（y））- 易（y）。o函数y→ V（y）是严格凸的，连续可微的，严格递减的五(∞) = U（0）和V（0）=U(∞), 其中，U和V的值在0和∞ 当x和y接近0和∞, 分别为：V（y）=-I（y），so limy→0V（y）=-∞ 和limy→∞V（y）=0oU（x）=infy>0V（y）+xy]，对于x>0。【16】中定义的U的渐近弹性概念在我们的分析中起着重要作用。对于效用函数U，其渐近弹性写为AE（U），由AE（U）定义：=lim supx→∞例如，如果U（x）=xα/α表示α，则xU（x）U（x）∈ （0，1），则AE（U）=α。U的凹度表示AE（U）≤ 1在所有情况下；如果U在andif U上有界(∞) > 0，则AE（U）=0。但是如果你(∞) = ∞, AE（U）可以等于1；例如，对于足够大的x，U（x）=x/ln（x）。我们的许多结果依赖于AE（U）<1的假设，这是从U提供的平均效用和边际效用的比较中得出的，作为U方法的参数∞: AE（U）<1相当于：对于某些γ<1，对于所有足够大的x，U（x）<γU（x）x。U上的条件（3.1）包括limx→∞U（x）>0；这完全是为了AE（U）≥ 在所有情况下均为0。如果我们考虑到消费者将其从非常大的消费水平获得的边际效用与她在某个基准水平x上累积的平均效用进行比较，那么对这种情况的经济学解释就会更加清晰。

因为Elimx→∞U（x）- U（x）x- x=极限→∞U（x）x，对于所有x>0，AE（U）<1是等价的：对于某些γ<1且每x>0，U（x）<γU（x）- U（x）x- x、 对于所有足够大的x，其中“足够大”取决于x的值。如【26】所述，通过应用de l\'H^opital规则，渐近弹性的概念与相对风险规避的极限行为相联系，如下所示：如果相对风险规避系数的极限，则limx→∞-xU（x）/U（x），存在且严格正，然后limx→∞xU（x）/U（x）存在且小于1；也就是说，U的渐近弹性小于1。由于人们认为经济主体的相对风险厌恶程度不增加是“常见的”，这种观点意味着具有这种共同性质的主体的渐进弹性小于1。4连续时间经济的解众所周知，连续时间BSM经济允许一个唯一的等价鞅测度，用P表示*; 也就是说，在Ohm 这可能等价于P，因此{S（ω，t）；t∈ [0，1]}是一个鞅（在自然过滤{Ft}上）。此度量值P*具有关于P givenby的Radon-Nikodym导数数据处理*数据处理（ω） =经验值-ω(1)-.而且，众所周知，这种经济有“完整的市场”也就是说，消费者可以构造（作为一个随机积分）任何可测量的正或有索赔X，其中她可以提供的是单一预算约束EP*[X]≤x、 其中EP*[·]表示对P的期望*.

因此，对于财富x，消费者的问题是最大化EP[U（x）]，根据EP*[X]≤ x、 Letu（x）：=辅助EP[U（X）]：EP*[X]≤ x个.也就是说，u（x）是消费者在BSM经济中可以达到的预期效用水平的上限，从财富x开始。为了便于以后的目的，可以定义密度函数Z:C[0，1]→ (0, ∞)byZ（ω）：=exp-ω(1)-.也就是说，Z是随机变量dP的唯一连续（ω）版本*/数据处理当然，EP*[十] =EP[X·Z]对于任何随机变量X，使得（至少）其中一个预期有意义。在这个符号中，u（x）=supEP【U（X）】：EP【X·Z】≤ x} 。我们从考克斯和黄（6）、卡拉萨斯（Karatzas）、莱霍奇（Lehoczy）和什里夫（Shreve）（14）和（16）获得了以下信息。（具体见[16]定理2.0。）4.1. u（x）≥ U（x）（因为消费者总是可以购买和持有x债券）。4.2. x个→ u（x）是连续可微的、严格递增的和凹的。4.3. 从4.1和4.2，如果u（x）<∞ 对于任何x>0，则u（x）<∞ 对于所有x>0.4.4。如果u（x）<∞, 如果消费者问题有一个解（即，如果达到上界），则存在y（x）>0，使得解的形式为x（ω）=Iy（x）·Z（ω）, 式中，y（x）=u（x）和（如前所述）I=（u）-1、如果消费者的问题在财富水平x>0时有一个解决方案，那么它对所有财富水平x>0都有一个解决方案，使得x<x。然而，至少对于某些x，u（x）<∞ 然而，定义u（x）的上限并不是通过任何未定权益x来实现的。