离散时间序列最优期望效用的收敛性

（第5节【16】中给出了一个示例；我们在下面给出了示例。）如果（对于给定的效用函数u）对某个有限x是真的，则设x是所有x中没有解（但u（x）<∞); 在x上有一个解，因此x的范围是区间（0，x）。函数x→ u（x）是连续可微的，“拉格朗日乘子函数”x→ y（x）=u（x）是连续的，并且在（0，x）上严格递减。4.5. 设v为u的共轭函数，即v（y）=sup{u（x）- xy:x>0}，对于y>0。Thenv（y）=EP五、yZ公司.函数y→ v（y）是凸的且不递增的，在有限的地方严格递减且连续可微。当然，可能是u（x）≡ ∞, 在这种情况下，v（y）≡ ∞. 但假设u（x）<∞对于某些人，因此对于所有人，x>0。虽然u（x）必然是凹的、可区分的，并且严格地增加，但通常limx不是真的→∞u（x）=0。也就是说，随着财富水平的上升，财富的边际（最大预期）效用不必接近零∞. 粗略地说，当消费者可以在概率越来越小的事件上购买越来越多的消费品时，就会发生这种情况，但当购买量与事件概率的比率以快速足够的速度接近时，就会发生这种情况。Kramkov和Schachermayer【16】利用这一思想，通过基于U选择与P不同但起类似作用的特定度量，对满足AE（U）=1的任何效用函数U进行了研究*和P。这里，P*P是固定的，它们来自BSM，因此我们通过选择特定的效用函数U来展示这种可能性。承认这是可能的（我们证明是），考虑v的含义，特别是v在y值附近的含义，其中y=limx→∞u（x）。在y（y<y）的左边，我们有v（y）=∞. 右边的v（y）是有限的。

但是当y从右边接近y时，v的极限行为是什么呢？理论上，我们可以得到limy&yv（y）=∞. 奥利米和伊夫（y）<∞, 和limy&yv（y）=∞. 或limy和yv（y）<∞, 和limy和yv（y）<∞.所有这些都是可能的。事实上，给出完整的目录，我们有命题1：命题1。假设U满足条件（3.1）。有可能u（x）=∞（适用于所有x≥ 0). 但如果u（x）<∞ 对于某些x，因此对于所有x，必须是x→ u（x）急剧增加。此外，我们还有以下可能性。a、 对于某些效用函数U，limx→∞u（x）=0，在这种情况下，对于ally>0，v（y）是有限的。（自limy→0v（y）=极限→∞u（x）和石灰→∞v（y）=limx→0u（x），功能v可以有限制∞ 或当y接近0时有一个有限的极限；v可以有限制-∞ 或有限限制为y→ ∞.)b、 对于其他效用函数U、limx→∞u（x）>0。如果我们表示limx→∞u（x）乘以y，然后v（y）=∞ 对于y<y，而v（y）<∞ 对于y>y。至于v asy和y的行为，我们有以下可能性：i.limy和yv（y）=∞二。石灰和钒（y）<∞ 和limy&yv（y）=∞;iii.石灰和yv（y）<∞ 和limy和yv（y）<∞.此外，y>0的任何值都可能存在。最后，AE（u）≤ AE（U）；因此，AE（U）<1意味着limx→∞u（x）=0。也就是说，小于1的渐近弹性消除了b部分给出的情况。a部分中概述的可能性很容易说明：采用具有恒定相对风险规避的效用函数，其解是众所周知的，并且是案例a。最终断言不需要证明；它源自【16】，定理2.2。要举例说明b部分中概述的三种可能性，需要进行一些计算。由于这是对我们的主要信息的转移，我们把它留给第10节。

事实上，虽然b部分似乎是命题最有趣的方面，但我们注意到，对于下面定理1的证明，我们只依赖命题1.5的最终断言离散时间渐近不比连续时间命题2差。对于第1节所述的离散时间经济序列，以及满足条件（3.1）的效用函数U，lim infn→∞un（x）≥ u（x）表示所有x>0。注：如果u（x）=∞, 这一主张仍然适用，意味着limn→∞un（x）=∞.证据Kreps（[17]，命题5.2）指出，如果在BSM经济中，有界且连续的未定权益X满足EP[U（X）]=z和EP*[十] =X（因此u（X）≥ z） ，则对于 > 0，存在N，因此对于所有N>N，第N个离散时间经济体中的消费者可以为x的初始投资合成一个索赔Xn，使得epn[U（Xn）]≥ z- .假设我们知道u（x）<∞ 对于给定的x，存在消费者问题的解决方案（即，定义u（x）为最大值的sup）。然后我们知道，由于对于某些乘数y>0（见上文（4.4）），解的形式为X=I（yZ），因此解X：Ohm → (0, ∞) 是ω的连续函数。通过截断解X，我们得到了近似u（X），其中u（X）是有界和连续的。因此，我们得出结论：Lim infnun（x）≥ u（x）。u（x）<∞ 但不存在解，其中u（x）=∞ 有点微妙，因为我们先验地不知道我们接近上限（在第一种情况下是有限的，∞ 在第二种情况下）具有有界和连续的未定权益。但我们可以证明这是事实。假设对于某个z级，有一个可测量的未定权益xSoch，EP[U（X）]=z和EP*[十] =X.在这种情况下，当然是X≥ 0、修复 > 0.我们首先将X替换为有界索赔X，有界索赔远离∞在0上方和远离0下方，分两步进行。首先，对于α<1但接近1，设Xα：=αX+（1- α） x。

当然，EP*[Xα]=X。通过双重应用单调收敛（将EP[U（Xα）]拆分为EP[U（Xα）{Xα≥x} ]+EP[U（xα）{xα<x}]），我们有limα→1EP[U（Xα）]=EP[U（X）]=z。因此，选择αo足够大，以使EP[U（Xα）]≥z-/4、当然，Xα以（1）为界-α） x.至于上限，cap xα是一些大的β。也就是说，设Xαo，β为Xαo∧β. 对于足够大的βo，这是有界的，并且将满足EP[U（Xαo，βo）]>z- /2，虽然限制Xα，但只能放松预算约束。因此，wlog假设我们的原始X（使预期效用接近zand，并满足X的预算约束）在上方有界且远离零。现在应用Luzin定理和Tietze扩张定理的组合：我们可以用一个连续函数X来近似X，该函数在一组任意球测度上与X不同，并且与X具有相同的上下界；这允许选择XT以满足EP[U（X）]>z- 3./4.

可能是EP*[十] >X，但最后/4用于将X替换为X-（EP*[X]-x） ，给出一个有界且连续的未定权益，其成本为x（或更少），并提供预期效用z-, 此时，命题5.2可以用来证明命题2.6的“放松”问题。为了解决命题2中的逆不等式，我们需要做一些准备。这一命题的证明依赖于[18]中的定理1，该定理指出，对于大n，任何有界和连续的未定权益x都可以与第n个离散时间经济体中的“x控制风险”合成，其中“近似合成”表示： > 0和足够大的n（取决于), 合成的权利要求，xnsatis fies Pn|xn公司- x |>< ; “x控制风险”指综合索赔xnsatis fies xn（ω）∈infωx（ω），supωx（ω）Pn概率为1。对于第n个离散时间经济体，消费者面临三种类型的约束：1。她拥有x级初始财富，其初始投资组合的价值不能超过x。在0到1倍之间，她进行的任何交易都必须是自我融资的。她只提供价格过程允许的交易。总之，她的最终消费捆绑必须是可综合的或有权益。3的重要性在于，对于ζ具有两个以上元素的支持，消费者不会面临“完全市场”。然而，我们知道，她在当时的经济中构建的任何最终消费捆绑X都必须满足这三个约束条件*n【X】=X，式中：*关于任何概率测度Q的ndentes期望*n这是Pn的一个等价鞅测度（emm）。我们为每个Pn固定一个特定的emm，即emm，以下用P表示*n、 由Esscher transform提供：数据处理*ndPn（ω） =经验值- anω（1）- bn公司对于常数anand bn，选择如下所示：*nis是鞅概率测度。

具体而言，由“鞅方程”确定数据处理*ndPneω（（k+1）/n）Fk/n= eω（k/n），然后bn固定为归一化常数，给定an的值。此外，可以显示an=1/2+E[ζ]√n+o（1/√n） 式中，E[ζ]是ζ的三阶矩，limnbn=1/8。（符号E[·]用于表示对ζ的期望。）当然，Pn=> P（弱在C[0，1]上赋上范数拓扑），对于这个特定的等价鞅测度，P*n=> P*.因此，假设我们为消费者提出以下问题：最大化EPn[U（X）]，服从EP*n【X】=X，（6.1），其中EPn[·]表示对Pn和EP的期望*n[·]表示对特定emm P的期望*n、 换句话说，我们允许消费者购买任何她希望购买的消费索赔X，但仅限于她可以按照dP给出的“价格”提供X*n/dPn。设Zn为C[0，1]上的函数，由Zn（ω）=exp给出-anω（1）-bn公司. 因此，Znisa是随机变量dP的特定版本*n/dp和约束EP*n[X]=X可以写成EPn[ZnX]=X。也就是说，我们可以简单地考虑消费者面临的复杂性，因为我们假设ζ的均值为零，方差为1，我们知道pn允许emm。关于详细的推导，请参见[17]，引理5.1。具有未定权益“定价内核”的市场。使用这种解释，我们知道消费者可以在问题（4.1）asuZnn（x）：=sup中获得的最高效用EPn【U（X）】，受EPn【ZnX】约束≤ x个. （6.2）问题的关键在于（6.1）放松了在第n个离散时间经济体中实际面对消费者的约束；在（6.1）中，她面临“完全市场”；在她的实际问题中，她面临着进一步的“可综合性”限制。因此，我们知道Uznn（x）≥ un（x）对于所有x>0且n=1，2。（6.3）如果我们可以证明limnuZnn（x）=u（x），我们将知道lim supnun（x）≤ u（x）。

这与命题2一起，将确定limnun（x）=u（x）。这就是我们要做的。7一个类似的问题事实上，我们又增加了一个情节元素。如上所述，Z是函数Z（ω）=exp(-ω(1)/2 - 1/8），这是ofdP的一个版本（唯一的连续版本）*/数据处理定义（x）=supEPn[U（X）]：EPn[ZX]≤ x个. （7.1）换句话说，uZn（x）是消费者在第n个离散时间经济体中面对完整市场和“价格”Z时所能达到的最高预期效用。也就是说，从BSM模型中的消费者问题转移到（7.1）中描述的问题，将消费者的概率评估从P更改为Pn，而不是她面临的“价格”。在从（7.1）移动到（6.2）的过程中，我们将概率评估保持为Pn，但将价格从Z更改为Zn。这种“一步一个脚印”在接下来的分析中很有用。8如果渐近弹性小于1，则最优预期效用是有限且收敛的。在本节中，我们证明了以下结果：定理1。假设效用函数U满足条件（3.1），且AE（U）<1。然后，对于所有x>0，值函数x→ u（x）是有限值且最小值→∞un（x）=u（x）。（8.1）定理1的证明将采取几个步骤，并消耗整个部分。Webegin有一个引理。引理1。对于任何常数γ，limn→∞EPn公司exp（γω（1）= EP公司exp（γω（1））.引理1的证明。在Pn下，ω（1）=Pnk=1ζk/√n对于{ζk}，一个具有ζ定律的随机变量i.i.d.序列。因此，EPnexp（γω（1））= EPn公司经验值γnXk=1ζk√n=E经验值γζ√nn、 exp（γζ）的泰勒级数近似/√n） 为1+γζ/(√n） +γζ/（2n）+o（1/n），其中o（1/n）项在ζ的值中是一致的，因为ζ具有有界支撑。因此，EPnexp（γω（1））=E1 +γζ√n+γζ2n+o（1/n）n个=1+γ/（2n）+o（1/n）n、 rhs上的项收敛到eγ/2，这当然是EPexp（γω（1））.现在我们来证明定理1：步骤1。

因为AE（U）<1，U（x）<∞ 对于所有x>0。该步骤给出了一个备注：例如，对于[16]中所研究的“一般”价格过程，渐近弹性小于1并不保证最优预期效用是有限的。这里的结果在很大程度上取决于BSM模型给出的价格过程。步骤1的第二个关键是以下界限：存在L>0和α>0，使得V（y）≤ Ly公司-α、 尽管如此∈ (0, ∞). （8.2）【16】中的推论6.1建立了该界限，作为AE（U）<1的结果，但仅适用于0<y≤ y、 对于某些y>0。如果我们有那个V(∞) = U（0）<0，我们得到ally>0的界。并且，为了这个定理的目的，用常数移动U是不会失去一般性的。所以如果U（0）≥ 0，只需将U替换为U（x）-U（0）-c、 对于合适的常数>0。那么我们就有了，并且从现在开始假设，所有y都是8.2∈ (0, ∞).因此，我们可以估计v（y）=EP五、ydP公司*数据处理≤ L EPy-αexp-ω(1)--α= 是的-αeα/8E经验值αω(1)< ∞,（8.3）因为后一个期望值只是高斯变量的指数矩。因此，根据（【16】，定理2.0），对偶值函数y→ v（y）以及原始值函数x→ u（x）具有有限值；我们也从命题1的c部分推导出，AE（u）≤ AE（U）<1。第2步。使用符号（7.1），定义uZ∞（x） 对于x>0 byuZ∞（x） ：=lim supn→∞uZn（x）。（8.4）然后uZ∞（x） <∞ 对于所有x>0。为每个n定义共轭函数vZn，即vZn（y）=EPn[V（yZ）]。（8.5）通过给出（8.3）的相同论点，我们得到了vzn（y）=EPn五、yZ公司≤ 是的-αeα/8EPn经验值αω(1). （8.6）引理1告诉我们，（8.6）的rhs上的期望收敛，这意味着对于固定的y，Vzn（y）在n上一致有界，这通过关于共轭函数的标准参数证明了uZ∞（x） 每个x的定义。步骤3。

实际上，limnuZn（x）存在并且等于所有x>0的u（x）。我们证明了对于所有y>0的函数，limnvZn（y）=v（y），这再次证明了步骤3，使用了关于共轭函数的标准参数。比较vZn（y）和v（y）：vZn（y）=EPn[v（yZ）]和v（y）=EP[v（yZ）]。如果V是一个有界函数（当然，V是连续的），那么从Pn可以立即得出结论=> P、 但V通常是无界的，因此我们必须证明，从“尾部”对期望的贡献可以统一控制。为此，我们显示以下两个统一边界：对于每个y>0和 > 0，存在M>0，因此EPN|V（yZ）|·{V（yZ）<-M}< , 对于每y>0和 > 0，存在M>0，因此EPNV（yZ）·{V（yZ）>M}< , 统一在n.（8.8）中，从（8.7）开始。如果U（0）是有限的，则V（y）紧随其后≥ 五(∞) = 所有y的U（0），取M=-U（0）立即起作用。（稍微）困难的情况是U（0）=-∞.在这种情况下，回想一下，根据Inada的条件，limy→∞V（y）=-石灰→∞（U）-1（y）=0。由于V是凸的，这意味着对于足够大的M，| V（y）|≤ y、 提供V（y）≤-M、 但是后来呢V（yZ）·{V（yZ）≤-M}≤ EPn公司Z≤ EPn公司Z. （8.9）引理1，limn→∞EPn【Z】=EP【Z】=1，显示（8.7）。并显示（一致）不等式（8.8）：对于参数α和L，给出界（8.2），对于固定y>0和 > 0，设B足够大，以便EPNeαω（1）/2·{ω（1）≥B}≤Ly公司-αeα/8对于所有n.（8.10），这样一个B的存在来自引理1，因为Pn=> P、 （1）EPnmin{eαω（1），B}→ EP公司min{eαω（1），B}和（2）Pn（{ω（1））≥ B} （）→ P（{ω（1））≥ B} ），对于所有B>0。和letM=Ly-αexpαB+α.

（8.11）我们有V（y）≤ Ly公司-α表示所有y>0，依此类推V（yZ）≥ ML（yZ）-α≥ M=L（yZ）-α≥ Ly公司-αe（αB/2+α/8）=Z-α≥ eαB/2+α/8=（e）-ω(1)/2-1/8)-α≥ eαB/2+α/8=eαω（1）/2≥ eαB/2=ω(1) ≥ B.因此，EPnV（yZ）·{V（yZ）≥M}≤ EPn公司L（yZ）-α·{ω(1)≥B}= EPn公司Ly公司-α（e-ω(1)/2-1/8)-α·{ω(1)≥B}= Ly公司-αeα/8EPn[eαω（1）/2·{ω（1）≥B}≤ ,在n中统一。显示了两个统一界限（8.7）和（8.8），剩下的是标准参数。修复y和 两者均大于0，并找到M，使（8.7）和（8.8）均成立。Let VM（yZ）：=最大值-M、 最小值{M，V（yZ）}; 也就是说，VM（yZ）在±M处被V（yZ）“截断”。这个截断函数是有界的和连续的，所以Pn=> P表示EPn【VM】→EP[虚拟机]。以及差异EPn【V（yZ）】-VM（yZ）]一致有界于2. 因此，vn（y）=EPn[V（yZ）]→ EP[V（yZ）]=所有y的V（y），这意味着uZn（x）→ 所有x>0的u（x）。第4步。对于每y>0和 > 0，存在M>0，因此EPN|V（yZn）|·{V（yZn）<-M}< , 在n.（8.12）中，与一致不等式（8.7）平行的一致性很明显：（8.7）一致控制积分vZn（y）=EPn[V（yZ）]的右尾；这里我们统一控制积分vZnn（y）=EPn[V（yZn）]的右尾。以及相同的证明作品；实际上，在这种情况下，我们甚至有EPn[Zn]=1（与EPn[Z]相反→ 1之前）。第5步。有一个常数C>1，对于所有n，C≤Zn（ω）Z（ω）≤ C、 Pn编号- a、 s.（8.13）（此步骤的原因是为了证明EPn的统一界限V（yZn）类似于（8.8），即步骤6。）我们有zn（ω）Z（ω）=e-anω（1）-bne公司-ω(1)/2-1/8，其中an=1/2+d/√n+o（1/√n） 式中，d=E[ζ]/24，bn=1/8+o（1）。因此，Zn（ω）Z（ω）=expdω（1）√n+ω（1）·o√n+ o（1）.由于ζ具有有界支撑，因此存在一些常数K，使得|ζ|≤ K，概率为1，so |ω（1）|≤ K√n、 Pn-a.s.发现常数C>1（8.13）的能力现在很明显。第6步。