价格动态和波动性的Marked-Hawkes过程建模

在所有模拟情况下，霍克斯波动率的标准偏差均小于TSRV的标准偏差。3.2其他示例本小节研究霍克斯波动率和实际波动率之间存在差异的情况。首先，研究了完全特征化的霍克斯模型，即分支矩阵的系数用qij=αijβij[1+（kj）表示- 1） η]具有假设1（ii）的线性影响函数。在此设置下，无法保证对称性。回想一下，在对称模型中，αs=α=α，αc=α=α，β=β=β=β=β。表2列出了具有假定参数的模拟路径的完全特征化Hawkes模型的估计结果。假定的参数显示在“真”列中，并在一天的时间范围内重新生成500条样本路径，更准确地说，如前一示例中所示，为5.5小时。“完整”列报告了具有完全特征的d Hawkes模型的最大似然估计下估计的平均值和标准偏差。在对称霍克斯模型下也进行了似然估计，即使路径是由具有充分特征的霍克斯模型生成的。结果显示在相应参数行中心的“对称”列中。例如，u表示在u和u两行的中心，αsis表示在α和α两行的中心，等等。。“S.Vol.”表示由500个样本路径生成的收盘股票价格的样本标准偏差计算的回报率的样本波动率。TSRV和标记的霍克斯挥发度及其相应的标准偏差分别在“TSRV”和“H.Vol”列中报告。霍克斯波动率是使用对称霍克斯模型的估计来计算的。与样品挥发性相比，两种挥发性偏差约为4%。

在这些情况下，TSRV比样品挥发性大，霍克斯挥发性小。其次，研究了对称标记霍克斯模型，模型参数在样本期内发生变化。表3列出了表2对称Hawkes模型的估计结果：具有500个样本路径的全特征Hawkes模型全对称全对称平均标准值标准值真平均标准值标准值标准值标准值0.1461 0.1467 0.00380.1345 0.00260.1130.1131 0.00300.1152 0.0024 0.1155 0.1159 0.0032 0.1149 0.1153 0.0033α0.3185 0.3204 0.01500.4102 0.01480.4994 0.5031 0.02420.52520.0159α0.3821 0.3865 0.0219 0.4682 0.4799 0.0210α0.9812 0.9848 0.02821.1512 0.02230.5937 0.5992 0.02320.7012 0.0199α1.4949 1.5000 0.0334 0.9754 0.9854 0.0368β1.1799 1.1893 0.05672.0547 0.03151.8305 1.8512 0.09481.8744 0.0364β1.9553 1.9840 0.11951.4706 1.5142 0.0666β2.0952 2.1077 0.0697 1.5963 1.6110 0.0624β2.5030 2.5132 0.0587 2.7850 2.8064 0.1036η 0.1488 0.1501 0.0235 0.1424 0.02550.1761 0.1768 0.0216 0.1756 0.0225c=0.1，d=1.0，U=2.0 c=0.08，d=1.5，U=3.0。Vol.TSRV std.H.Vol.std.S.Vol.TSRV std.H.Vol.std.0.1405 0.1463 0.0146 0.1346 0.0051 0.1853 0.1897 0.0161 0.1795 0.0044表3：具有500个样本路径的模拟研究，具有时变参数uSαcβηc d U.Vol.TSRV H.Vol True 1 0.1000 1.2600 2.5700 0 0 0 0.0100 1.2500 1 7 True 2 0.1000 1.2600 2.5700 0 0.0100 0.2500 1 1.5平均值0.1017 1.1017 1.26622.5667 0.0085 0.6431 0.5801 0.6288标准。0.0022 0.0205 0.0265 0.0319 0.0039 0.1990 0.1381真1 0.1000 1.1000 1.2600 2.5700 0.1000 0.1000 1 7真2 0.0500 0.5000 0.5000 2.0000 0.1000 0.1000 1 1 1.5平均0.0375 1.0162 1.1190 2.3567 0.0233 0.2496 0.2204 0.2300std。

0.0010 0.0302 0.0347 0.0438 0.0142 0.0378 0.02055.5小时的时间范围，但该时段前一个小时的模型参数根据“真1”的说明，在该时段的其余时间，模型遵循“真2”。在第一个面板中，变量部分是分数分布条件平均值的上界。换言之，在样本期的第一部分，由于马克的尺寸可能很大，冰过程非常不稳定，其余部分相当稳定。这与2010年的闪存崩溃类似，稍后将进行实证分析。结果表明，TSRV和霍克斯波动率之间的差异小于s充分波动率，TSRV甚至小于霍克斯波动率。4实证研究4.1数据实证研究使用纽约证券交易所（NYSE）报告的bes t买入和卖出报价的几年内一些主要股票价格的超高频逐点数据。每天样本的时间范围设置为10:00至15:30。开盘后和收盘前30分钟的数据并没有用来减少季节性影响。在接近开盘和收盘时，价格波动模式通常与当天其他时间有所不同。标准普尔500指数中股票价格变动的跳跃大小在时间上并不是恒定的，尤其是当股票价格较高时，因此价格与纽约证券交易所交易中的最小交易量（0.01美元）之间的比率较高。纽约证券交易所的交易量在1997年从1/8美元降至1/16美元，在2001年从1/16美元降至0.01美元。

本文考虑了标记霍克斯模型的中间价格变动，以消除bid-a sk反弹，因此最小跳跃大小为表4：2008年至2011年期间，IBM（左）和GE（中）以及CVX（右）的标记大小分布（%）。2008年12月，2010年2月，2008年2月，2008年2月，2008年2月，2008年2月，2010年11月，51.80 59.98 80.88，57.04，89.81，98.39，99.61，99.68，60。69 68.30 91.55 7 7.212 21.53 20.57 13.96 18.41 7.61 1.5 1 0.34 0.30 20.02 19.75 7.32 16 .203 11.22 10.89 3.53 9.54 1.55 0.00 0.00 9.25 8.43 0.77 4.774 6.36 5.50 1.01 5.800.52 0.00 0.00 0.00 0.00 4.78 2.70 0.1 5 1.285 3.61 1.98 0.35 3.68 0.19 0.00 0.0 0 0 0 0 0.00 2.49 0.62 0.06 0.326 2.04 0.66 0.10 2.220.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.29 0.13 0.0.0 3 0.127 1.17 0.24 0.00 1.37 0.00 0.00 0.0 0 0.00 0.66 0.04 0.02 0.058 0.71 0.01 0.00 0.81 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.35 0.01 0.01 0.025 1000.20.40.6马克大小BM，2008（a）IBM，20085 1000.20.40.6Mark sizeIBM，2009（b）IBM，20095 1000.20.40.60.8Mark sizeIBM，2010（c）IBM，20105 1000.20.40.6Mark sizeIBM，2011（d）IBM，2011图3：markhalf tick size的经验无条件分布，0.005美元。在原始数据中，记录的时间分辨率为1秒。如果在1秒内报告了多个价格变化的时间戳，则报告的事件将在1秒间隔内分布到等距的内部分区。4.2无条件分配标记表4比较了2008年至2011年IBM、GE和CVX的标记大小百分比，即表中报告了标记大小的无条件分配。I BM和CVX多年来有一系列的标记大小，但GE的标记大小分布集中于最小标记大小。这是因为IBM和CVX的价格相对较高（IBM约为150美元，CVX约为100美元），而GE的价格约为25美元。

标记s的无条件分布具有与几何分布相似的指数递减形状。2010年和2011年IBM市场的经验分布与图3中的几何分布进行了比较。实线表示经验分布，虚线表示通过匹配经验分布和几何分布的一阶矩得到的几何分布。4.3标记大小和强度本小节检查标记大小和g轮强度之间的相关性，以及单位时间间隔内预期事件的数量。经验证据表明，标记大小和当前接地强度之间存在显著的相关性。

首先，经验条件表5：标记大小与氧强度平均值（10秒）之间的关系，IBM2011 2010mark size up down total 6 3.4784 3.6400 7.1184 6.4059 6.5618 12.9676（0.0145）（0.0149）（0.0292）（0.2306）（0.1171）（0.1150）3.1191 3.2461 6.3652 4.3289 4.5448 8.8738（0.0105）（0.0106）（0.0209）（0.0890）（0.0449）（0.0448）2.8206 2.9237 5.7443 3.4963 3.6881 7.1844 0.0078）（0.0078）（0.0155）（0.0439）（0.0221）（0.0221）3 2.5683 2.6551 5.2233 2.7119 2.8717 5.5836（0.0061）（0.0060）(0.0120) (0.0182) (0.0092) (0.0092)2 2.3051 2.3795 4.6846 2.1799 2.2892 4.4691(0.0042) (0.0041) (0.0083) (0.0071) (0.0036) (0.0036)2.3131 2.3501 4.6632 1.7682 1.8481 3.6163(0.0028) (0.0028) (0.0056) (0.0024) (0.0012) (0.0012)-12.2403 2.4140 4.6543 1.7488 1.8883 3.6371(0.0028) (0.0028) (0.0056) (0.0024) (0.0012) (0.0012)-2 2.3004 2.4376 4.7381 2.1655 2.3022 4.4687(0.0042) (0.0042) (0.0084) (0.0072) (0.0036) (0.0036)-3 2.5924 2.7167 5.3090 2.7264 2.8552 5.5816(0.0062) (0.0062) (0.0123) (0.0185) (0.0094) (0.0093)-42.8174 2.9552 5.7726 3.4806 3.6163 7.0969(0.0078) (0.0079) (0.0156) (0.0432) (0.0218) (0.0217)-53.1078 3.2399 6.3477 4.4487 4.5968 9.0454(0.0104) (0.0106) (0.0209) (0.0902) (0.0466) (0.0469)-6 3.4606 3.5845 7.0451 6.1019 6.2334 12.3352（0.0145）（0.0149）（0.0292）（0.2141）（0.1083）（0.1074）计算了给定标记大小E[λgi（t）| ki]下的强度预期。由于总强度不可观测，因此引入了代理强度。向上、向下和总跳跃的代理强度分别由固定时间段内的向上、向下和总跳跃次数定义，该时间段恰好在跳跃时间之前结束，除以该时间段的长度。代理强度的周期选择为10秒。

从数学上讲，在时间t发生的markk的上代理强度由Ng1（t+τ）表示- Ng1（t），其中τ是周期的长度。表5给出了IBM 2010年和2011年每一年每种基准尺寸的代理强度的计算样本平均值和标准误差。例如，对于标记大小6，报告了86738次上跳，上跳强度的样本平均值为3.4784，s样本标准误差为0.0145。请注意，强度为3.4784表示单位时间内的预期移动次数（设置为1秒）约为3.4784。下表显示，代理强度随给定标记大小的增加而增加。mar k size r列中的负整数表示价格的向下跳跃。还计算了五秒时间范围内的代理强度。结果与之前10秒时间范围的情况相似，因此未显示结果。其次，表6显示了标记大小与使用IBM tick数据的线性影响函数推断的地面强度之间的关系。在计算推断的地面过程之前，通过最大化公式（11）中定义的lo g来估计参数ω、αs、αc、β和η。估计是在日常基础上进行的，详细的估计结果将在稍后演示。随后，利用方程式中地面强度的定义，通过ω、αs、αc、β和η的估计值计算推断的地面强度。（5） 和（6）。报告了每个标记大小的推断地面强度的样本平均值和样本标准误差。与代理强度的情况类似，推断的地面强度随着给定标记大小的增加而增加。

这意味着，如果观察到较大尺寸的标记，则可能是基于较大的辐射强度。第三，图4说明了标记大小在给定地面强度e【ki |λgi（t）】条件下的经验膨胀，使用IBM 2 008-2 011的刻度数据。对于每一年，使用标记大小的样本平均数计算给定λgi=n的整数n的经验条件期望，其关联推断的地面过程为（n-1，n]。

条件分析表6：标记大小与线性冲击函数推断地面强度平均值之间的关系，IBM2011 2010标记大小λg1λg2λgλg1λg2λg6 5.1666 5.1108 10。2774 8.1033 8.0330 16.1364(0.0222) (0.0221) (0.0442) (0.1366) (0.1370) (0.2734)5 4.7423 4.6834 9.4257 6.5586 6.4855 13.0443(0.0165) (0.0164) (0.0328) (0.0621) (0.0620) (0.1240)4.4092 4.3565 8.7656 5.4497 5.3975 10.8472(0.0126) (0.0125) (0.0251) (0.0338) (0.0337) (0.0674)3 4.0264 3.9842 8.0106 4.2182 4.1806 8.3988(0.0094) (0.0094) (0.0188) (0.0145) (0.0145) (0.0290)2 3.5870 3.5505 7.1375 3.4705 3.4476 6.9181(0.0066) (0.0066) (0.0131) (0.0064) (0.0064) (0.0128)1 3.5924 3.5580 7.1504 2.5428 2.5321 5.0749(0.0057) (0.0057) (0.0114) (0.0021) (0.0021) (0.0041)-13.5568 3.5942 7.1509 2.5702 2.5836 5.1538(0.0057) (0.0057) (0.0113) (0.0021) (0.0021) (0.0041)-2 3.5858 3.6270 7.2128 3.4730 3.4978 6.9708(0.0066) (0.0066) (0.0132) (0.0064) (0.0064) (0.0129)-3 4.0451 4.0927 8.1378 4.2369 4.2781 8.5150(0.0096) (0.0096) (0.0192) (0.0148) (0.0148) (0.0296)-4 4.3580 4.4177 8.7757 5.3775 5.4380 10.8154(0.0126) (0.0127) (0.0253) (0.0333) (0.0334) (0.0667)-54.6872 4.7587 9.4459 6.4356 6.5047 12.9402(0.0163) (0.0164) (0.0327) (0.0624) (0.0626) (0.1250)-6 5.0360 5.0884 10 .1244 7.9426 8.0193 15.9620（0.0216）（0.0217）（0.0433）（0.1343）（0.1344）（0.2685）5 10 15012345678λg1E[k1 |λg1]IBM，2008（a）IBM，200810 200123λg1E[k1 |λg1]IBM，2009（b）IBM，200910 20 30 400123456λg1E[k1 |λg1]IBM，2010（c）IBM，201010 20 30 40 50 6001234λg1E[k1 k1 |λg1]IBM，2011（d）IBM，2011图4：konλg1的条件期望，IBM，2008-2011年，如果每年标记的总观察数量大于100，则绘制标记的预期，即丢弃观察数量较少的样本。

在图中，随着年代的推移，地面强度的变化越来越大，这表明活动的总数在增加。2008年，大多数强度小于15，但2011年的推断强度分布更广，因为人们可以看到，大部分观测强度大于15。标记的条件期望的形状随时间而变化。2008年和2010年，条件期望值随着强度的增加而增加。2009年和2011年，条件预期呈驼峰状。图5显示了IBM从2011年1月到6月按月计算的mark givenground强度的经验条件预期。在每月的基本精神条件试验中，观察到随时间推移的不规则模式。标记条件分布随时间变化的形状是标记分布未指定的原因，并且以非参数方式对部分标记分布进行了估计。4.4估计结果表7列出了标记的霍克斯模型的似然估计结果以及IBM的tick da ta，2011年1月，其中等式（11）的对数Lgof最大化。括号中报告了数值计算的标准误差。每天进行估算，即在每个工作日计算估算值。图e 6中u、αs、αc和β的行为与简单霍克斯模型中估计的行为相似，见Lee和Seo（2014）。η的动态如图8所示，其中从2008年到2011年，η的估计值一般为0.2。冲击函数的斜率参数η通常为正值，这意味着largemark对未来强度的影响较大。