价格动态和波动性的Marked-Hawkes过程建模

（6） 然后，在地上强度下定义的点过程（N，N）是一个具有线性冲击函数的二维标记自激霍克斯过程。假设以下公式的被积函数是可积的，则可预测的有限变化过程zt·E【g（ki）|λgi（u）】λgi（u）βE-β（t-u） duis是Z（·，t）×Z+g（ki）βe的补偿器-β（t-u） Ni（du×dki）和henceZ（·，t）×Z+g（ki）βe-β（t-u） Ni（du×dk）-Zt·E[g（ki）|λgi（u）]λgi（u）βE-β（t-u） duis是一个鞅。因此，通过对地面强度公式inEqs的无条件期望。（5） 和（6），我们有e[λg1（t）]=u+qsZt-∞E[E[g（k）|λg1（u）]λg1（u）]βE-β（t-u） du+qcZt-∞E[E[g（k）|λg2（u）]λg2（u）]βE-β（t-u） du，E[λg2（t）]=u+qcZt-∞E[E[g（k）|λg1（u）]λg1（u）]βE-β（t-u） du+qsZt-∞E[E[g（k）|λg2（u）]λg2（u）]βE-β（t-u） 根据公式（3），E[E[g（ki）|λgi（u）]λgi（u）]=E[g（ki）λgi（u）]={1+（kiλgi- 1） η}E[λgi（u）]1+（E[k]- 1） η式中，E【k】=E【ki】，因为kand khave具有相同的分配性质。我们写下[λg1（t）]=u+αsβZt-∞{1+（K1λg1- 1） η}E[λg1（u）]βE-β（t-u） du+αcβZt-∞{1+（K2λg2- 1） η}E[λg2（u）]βE-β（t-u） du，（7）E[λg2（t）]=u+αcβZt-∞{1+（K1λg1- 1） η}E[λg1（u）]βE-β（t-u） du+αsβZt-∞{1+（K2λg2- 1） η}E[λg2（u）]βE-β（t-u） du（8）或，在线性微分方程系统中，dE[λg1（t）]dtdE[λg2（t）]dt=αs{1+（K1λg1- 1)η} - βαc{1+（K1λg1- 1） η}αc{1+（K1λg1- 1） η}αs{1+（K1λg1- 1)η} - βE[λg1（t）]E[λg2（t）]+βuβu式中，使用K1λg1=K2λG2。系统的特征值为（ξ，ξ）=-β+（αs- αc）{1+（K1λg1- 1)η}, -β+（αs+αc）{1+（K1λg1- 1)η}上述系统的解决方案是E[λg1（t）]E[λg2（t）]=-λg1（0）+λg2（0）eξt-1.+λg1（0）+λg2（0）eξt-uβξ1.- eξt.如果公式（4）成立，则ξ，ξ<0，且解收敛为常数t→ ∞.

类似的论证适用于λg1（t）和λg2（t）的二阶矩，λgi（t）至少在长期内是弱平稳的，或者通过假设λgi（0）等于其长期期望值。注意，根据λgi的对称性和平稳性，等式（7）和（8）直接导致toE[λg1（t）]=u+αsβ{1+（K1λg1- 1） η}E[λg1（t）]+αcβ{1+（K1λg1- 1） η}E[λg2（t）]，E[λg2（t）]=u+αcβ{1+（K1λg1- 1） η}E[λg1（t）]+αsβ{1+（K1λg1- 1） η}E[λg2（t）]。和我- {1+（K1λg1- 1)η}αsβαcβαcβαsβE[λg1（t）]E[λg2（t）]=uu.根据λg1和λg2之间的对称性，E[λg1（t）]=E[λg2（t）]=μβ- （αs+αc）{1+（K1λg1- 1)η}. （9） 因此，如果条件（4）得到满足，则地面过程得到很好的定义，即地面强度的经验值为正。2.3二阶矩性质在本小节中，计算对称模型下标记霍克斯过程产生的资产回报的波动率公式。模型的对称性意味着i和j可以互换，这使得公式变得简单。在下面的符号中，各种K和α以类似于等式（3）的方式定义，从而简化了符号。符号1。对于跳跃过程X，如λgiand Ni，letE[kiX（t）]=KiXE[X（t）]，E[kiX（t）]=K（2）iXE[X（t）]。（在前面的公式中，当X=λgi时，为了简单起见，省略了下标，如式（3）所示，即K=Kiλgi。）此外，K=1+2（K1λg1- 1） η+（K（2）1λg1- 2K1λg1+1）η=1+2（K2λg2- 1） η+（K（2）2λg2- 2K2λg2+1）η，(R)K=K1λg1+（K（2）1λg1- K1λg1）η=K2λg2+（K（2）2λg2- K2λg2）η，α=α{1+（K1λg1- 1） η}=α{1+（K2λg2- 1） η}，|α=α{1+（K2λg1λg2- 1） η}=α{1+（K1λg2λg1- 1） η}，'α=α{1+（K1λg1N- 1） η}=α{1+（K2λg2N- 1） η}，`α=α{1+（K2λg2N- 1） η}=α{1+（K1λg1N- 1） η}，和m=αs- β▄αc▄αc▄αs- β, M级=\'αs- β`αc'αc'αs- β,K级=K1λg10 K1λg1, K级=K1λg10 K2λg1λg2, K级=K1λg1N0 K1λg1N.定理1。

设（N，N）为假设1下具有线性冲击函数的二维标记自激和互激霍克斯过程，地面强度为Eqs。（5） 和（6）。如果价格过程stfollowst=S+δ（N（t）- N（t）），则收益率在[0，t]上的条件方差为varSt公司- 不锈钢=δSE[（N（t））- N（t））]带E【N（t）】E【N（t）N（t）】= -E[λg1（t）]KβuKM-1.t+2M-1.αs'Kαc'K- M-1公里-1.（αs+αc）(R)K2αsαc'K+ 2米-1（公里-1.- 公里数-1)βuβu-“K（2）1λg/K1λg1N#！t）.证明.见A.结果稍微复杂，但以下备注对实践有用.备注2.通过假设K1λg1N≈ K1λg1和K1λg1≈ K1λg1λg2，我们有[（N（t）- N（t））]=2（E[N（t）]- E[N（t）N（t）]）≈ 2K1λg1NE[λg1（t）]K1λg1’’K（αs- αc）（β- αs+αc）（β- \'αs+\'αc）+2（αs- αc）(R)Kβ- \'αs+\'αc+K（2）1λg1K1λg1Nt、 （10）在此假设下，M，Mand-Kare对称，方差公式变得简单。此外，如果所有Ks均等于1，则方差公式为减少至[（N（t））- N（t））]=2E[λg1（t）]β（β- αs- αc）t，这与简单霍克斯模型中的方差公式相同。推论3。在定理1中的假设下，如果标记kiare i.i.d.，那么对于所有X，KiX=K：=E[ki]和K（2）iX=K（2）：=E[ki]∈ {λgi，λgiλgj，λgiNj:i，j=1，2}和α=～α='α=`α。因此，E[（N（t））- N（t））]=2KE[λg1（t）]K'K（αs- αc）（β- αs+αc）+2（αs- αc）(R)Kβ- αs+αc+K（2）K！t其中K和K现在由K=1+2（K）表示- 1） η+（K（2）- 2K+1）η，(R)K=K+（K（2）- K） η。2.4似然函数要估计强度过程中的参数，如u、αs、αc、β和η，需要计算对数似然。

用Z（0，T）logλg1（u）Ng1（du）+Z（0，T）logλg2（u）Ng2（du）表示周期[0，T]内（N，N）跳跃和标记的已实现间隔的联合对数似然函数-ZT（λg1（u）+λg2（u））du+Z（0，T）×Z+对数f（k |λg1（u））N（du×dk）+Z（0，T）×Z+对数f（k |λg2（u））N（du×dk）！=：log Lg+log Lm（11），其中f表示给定λgi的标记Ki的条件分布。在上述公式中，对数似然分为两部分，log lg和log Lm。第一部分log lg是地面强度过程的对数似然函数，或者更准确地说，是跳跃间隔时间的联合对数似然函数。第二部分是条件标记分布的对数似然函数。当log lg仅用于最大似然估计时，则log lg实际上是跳跃间隔时间的条件对数似然函数，条件是实现标记，即估计是基于给定实现标记的跳跃间隔时间的最大似然估计。在随后的模拟和实证研究的估计过程中，没有假设地面强度和标记大小的联合分布的具体形式，但经验标记分布用于执行最大似然程序，以最大化log Lg，即跳跃间隔时间的条件对数似然函数。由于使用了经验标记分布，对数Lmpart不会影响θ=（u，αs，αc，β，η）的估计。

另一方面，如果通过将条件分布f（ki |λgi）指定为第3.1节，假设对标记分布进行特定参数建模，并且还想估计f中的参数，那么对数线性矩阵也受θ的影响，因为在推断λgis时，它是使用θ计算的。在另一方面，仅在对数lg上的估计过程是可能的，包括可以观测到的mar ks kiare。如果标记大小不可观察，则不可避免地对λgi和kit之间的联合分布或条件分布进行参数建模，以推断标记大小ki。根据f（ki |λgi（u））上的参数假设，如前所述，θ的参数family也出现在log Lm的公式中，θ的变化值不仅会改变log lg的值，还会改变log Lm的值。因此，随着样本量的增加，使对数Lg最大化的估计器可能不会收敛到使（对数Lg+对数Lm）最大化的估计器。幸运的是，由于所有KIA在我们的实证研究中都是可以观察到的，因此观察到的已实现标记大小用于计算对数Lg，而不是基于某些参数假设推断出的KI。因此，使log lga最大化的e stimatorofθ是最大似然估计量，该估计量与给定mark的跳跃间隔时间的条件联合分布有关。注意，对数lg和对数lg的分离并不是因为标记s与地面强度无关，而是因为使用对数lg可以表示为具有给定标记s的到达时间的条件联合分布的对数似然函数。在实践中，对数lg的计算如下所示。利用假定的参数值αs、αc、β和η，我们根据股票价格过程和方程的实现Nis计算推断的地面强度过程λgis。（5） 和（6）。

利用推断出的地面强度过程，随机积分部分的实现值s由z（0，T）logλgi（u）Ngi（du）=Ngi（T）Xn=1logλgi（un）计算，其中未注记Ngi实现的跳跃时间。此外，RT（λg1（u）+λg2（u））du使用具有闭合形式公式的黎曼积分进行计算。通过改变假定参数重复上述过程，优化的数值解算器试图找到log Lg的全局最大值。考虑对数似然函数的凹性。如果对数似然函数的Hessian对于给定实现的所有参数都是负半限定的，则对数似然函数是凹的。然而，标记Hawkes模型的Hessian公式是复杂的，我们不检查β和η固定时的条件凹度。注意，在给定的实际跳变时间ti下，我们有log Lg1（T）：=Z（0，T）logλg1（u）Ng1（du）-ZTλg1（u）du=Xti<Tlogλg1（ti）-Ztiti公司-1λg1（u）du！-ZTtNλg1（u）du=Xti<T对数λg1（ti）-1.- e-βτiβλg1（ti）-ZTtNλg1（u）du，其中tn是最后一次跳转时间。使用λg1的定义，总和中的每个项可以重写如下：logλg1（ti）-1.- e-βτiβλg1（ti）=对数“u+（λg1（0））- u）e-βti+Z（0，ti）×Z+αs{1+（k- 1） η}e-β（ti-u） N（du×dk）+Z（0，ti）×Z+αc{1+（k- 1） η}e-β（ti-u） N（du×dk）#-1.- eβτiβ“u+（λg1（0））- u）e-βti+Z（0，ti）×Z+αs{1+（k- 1） η}e-β（ti-u） N（du×dk）+Z（0，ti）×Z+αc{1+（k- 1） η}e-β（ti-u） N（du×dk）#。通过f x dβ和η，该术语表示为对数（mu+表示为αs+acαc+c）-1.- eβτiβ（mu+asαs+acαc+c）对于一些常数m、as、ac和c。因此，对于任何固定的β和η，该项的赫斯矩阵相对于u、α和αcisλg1（ti）-m级-mas公司-雨衣-mas公司-像-asac公司-雨衣-asac公司-交流电这是负半定义。

β和η固定的对数似然函数log lg的条件Hes sian表示为xti<Tλg1（ti）+λg2（ti）！-m级-mas公司-雨衣-mas公司-像-asac公司-雨衣-asac公司-交流电这也是负半定义。因此，至少如果β和η的参数值固定，则可以保证对数似然对数Lg（u，αs，αc |β，η）作为u，αs，αcca函数的凹度，并且我们可以假设优化的数值解算器将找到全局最大值。充分考虑大网格和密集网格上的β和η点。对于每个β和η，我们可以在u，αs，αcdue参数空间上找到条件凹度的条件全局最大o flog Lg（u，αs，αc |β，η）。现在的兴趣是β和η网格上条件全局极大值的形状。如果条件全局最大值仍然是凹的，并且可以找到条件最大值的最大值，那么可以检查数值优化器以确定其是否找到整体全局最大值。在后面的数值过程中，将检查β和η网格上条件对数似然函数的形状。3模拟示例3.1对称模型在本文中，通常不假设标记的特定分布。然而，对于模拟研究，有必要假设标记大小的特定条件分布以生成路径。假设标记ki遵循一些常数c、d和u的条件几何分布，其中P（λgi（u））=min（d+cλgi（u），u），即P（ki=n |λgi（u））=P（λgi（u））（1- p（λgi（u）））n-表1：标记霍克斯模型的模拟研究，500个样本路径uαsαcβηTSRV H.Vol.True 0.1000 0。9500 0.8200 2.2500 0.1900平均0.0999 0.9496 0.8199 2.2487 0.1882 0.2807 0.2798标准。0.0021 0.0194 0.0190 0.0326 0.0170 0.0333 0.0126真0.1500 0。6200 0.5000 1.9000 0.2200平均值0.1499 0.6193 0.5008 1.8999 0.2177 0.1317 0.1312std。

0.0027 0.0172 0.0149 0.0419 0.0502 0.0101 0.0018真0.3000 1。0500 0.9200 2.3000 0.0100平均0.3003 1.0508 0.9206 2.3014 0.0094 0.6391 0.6291标准。0.0051 0.0136 0.0135 0.0229 0.0051 0.0562 0.0177真0.2000 1。1000 1.2600 2.5700 0.0100平均值0.2002 1.0997 1.2610 2.5702 0.0099 4.4299 4.3628标准。0.0039 0.0154 0.0164 0.0238 0.0007 1.6973 0.6811这表明，对于某些斜率c、截距d和上界u，标记大小ki的条件期望值具有给定的Ground强度λgiisE[ki |λgi（u）]=min（d+cλgi（u），u）。需要设置标记大小e的条件平均值的上界，以防止标记的Hawkes过程破裂。在该设置下，碰撞的条件预期取决于电流强度：E[g（ki）|λgi（u）]=1+{min（d+cλgi（u），u）- 1} ηE[1+（ki- 1)η].通过每个不同的假设条件分布和参数设置，生成了500条二维标记霍克斯过程的样本路径和相应的地面强度。路径的时间范围设置为5.5小时，这等于稍后实证研究中使用的时间范围。模拟机制类似于简单的霍克斯模型，但需要考虑到市场规模及其未来影响。根据生成路径的已实现间隔时间和重新确定的标记大小s，在最大对数Lgin公式（11）上形成最大似然估计，结果如表1所示。该表由三个具有不同参数设置的面板组成，以“True”行显示。

对于第一个面板，c=0.15，d=1.0，U=2.0；对于第二个面板，c=0.18，d=1.0，U=2.2；对于第三个面板，c=0.18，d=1.0，U=3.5；对于第四个面板，c=0。25，d=1.0，U=9。由于计算了地面过程的可能性，因此计算了u、αs、αc、β和η的估计值，但没有计算c、d和U的估计值。500个样本路径的估计值的样本平均值报告在“平均值”行中。行“std.”表示500个样本估计的样本标准偏差。表中显示e估计值与真值一致。如前一节所述，图1给出了在第一个模拟设置下，具有不同β和η的条件对数似然函数的全局最大值。数值计算的条件最大值点显示凹度，预计数值优化器将在过程中找到全局最大值。为了计算波动率，我们需要计算符号1中的Ks，它涉及几个无条件的预期，包括标记大小、强度和计数过程。由于标记和强度之间的复杂关系，没有准确的期望公式，以下2.82.822.84×102.86β0.60.4η0.2-0.2图1：β和η统计量上的条件对数似然函数的最大值用于期望：E[λgi（t）]≈TNgi（T）（12）E[kiλgi（T）]≈TNi（T）（13）E[kiλgi（T）]≈TZ（0，T）×Z+kiNi（du×dki）（14）E[λgi（T）]≈TZ（0，T）×Z+λgi（u）Ni（du×dki）（15）E[kiλgi（T）]≈TZ（0，T）×Z+kiλgi（u）Ni（du×dk）（16）tE[λgi（T）Ni（T）]≈TZ（0，T）×Z+Ni（u-)Ni（du×dki）（17）tE[kiλgi（t）Ni（t）]≈TZ（0，T）×Z+基尼（u-)Ni（du×dki）（18），其中[0，T]是观测时间间隔。为了计算右侧，使用生成路径的已实现ki、nian和ngio，以及根据u、αs、αc、β和η的估计推断出的λgif。

利用方程组计算了下推式λgia。（5） （6），一旦估算出u、αs、αc、β和η。地面强度的期望值近似于公式（12）中每单位时间相应上升或下降移动总数的样本平均值。类似地，对于E[kiλgi（t）]，使用计数过程NI来计算样本平均值。等式（14）的右侧是单位时间内总跳跃次数的样本平均值，每个跳跃的权重为Ki，这与左侧近似。对于EQ。（15） 和（16），考虑“Z（0，T）×Z+λgi（u）Ni（du×dk）#=中兴通讯[λgi（T）]dt=T E[λgi（T）]E”Z（0，T）×Z+kλgi（u）Ni（du×dk）#=中兴通讯[kiλgi（T）]dt=T E[kiλgi（T）]。图2显示了使用上述方法计算的K和K（2）的收敛性，因为样本大小随着模拟中第一个参数集的增加而增加。此外，根据A和E[λgi（t）Ni（t）]/t0 1 2 3 4×101.52.50 0.5 1 1 1.5 2×10图2：随着样本大小E的增加，K1λg1和K（2）1λg1的收敛收敛到cas t的增加，E[λgi（t）Ni（t）]=ct+Cf对于一些常数Cd和c。注意te“Z（0，T）]×Z+Ni（u-)Ngi（du×dk）#=TZTE[λgi（t）Ni（t）]dt=c+2cT≈ c≈2tE[λgi（t）Ni（t）]，具有足够大t和t的近似值。等式（18）也采用了类似的论点。“H.vol”列是由u、αs、αc、β、η和Ks的似然估计值（使用备注2）计算得出的挥发性估计值的平均值。这与Zhang等人（2005年）提出的“TSRV”一栏中的双标度波动率（TSRV）进行了比较。对于TSRV计算，小时间尺度设置为1秒，大时间尺度设置为5分钟。结果表明，霍克斯波动率和TSRV相似。