用张量分析全球固定收益市场

数据准备考虑i.i.d.随机变量xt（m，c）∈ R、 它表示c国在t时刻到期的固定收益资产的回报。为简单起见，我们可以假设回报是根据t（m，c）分布的~ N0，σ（m，c）（22）取决于到期日和国家。当综合考虑不成熟和国家的收益时，我们可以将每个时刻t的收益集合张量化，形成2阶张量值随机变量Xt∈ RIm×Ic，由[Xt]ij=Xt（mi，cj），i=1。。，Im，j=1。。。，Ic，（23）每个张量总共有一个ImIcreturns点。为清楚起见，理解所考虑传感器的向量和矩阵表示的物理意义非常重要。首先，确定第i个到期日f（m）i∈ RIm，andi th country fi，f（c）i∈ RIc，分别如下F（m）i=x（m，ci）x（m，ci）。。。x（mIm，ci）, f（c）i=x（mi，c）x（mi，c）。。。x（mi、cIc）（24）换句话说，第i个到期日f（m）i包含与第i个国家相关的所有到期日的收益（整个国内曲线的收益）。反过来，第i个国家/地区f（c）i包含与第i个国家/地区相关的所有国家/地区的回报。这样，张量就可以用自然度表示，或者通过国家表示，如followsx=^if（m）f（m）··f（m）Icó=f（c）Tf（c）T。。。f（c）TIm（25）参考图4了解说明性说明。X=m1m2。。。mImc1c2···cIc=c1c2···cIc=m1m2。。。米姆菲格。4： 张量值样本的图示，以个人收益率（左面板）、到期日f（m）i（中面板）和国家f（c）i（右面板）表示。类似地，向量表示可以根据成熟度函数（国内曲线）进行可视化和书写，即isx=c1。。。cIm公司=f（m）f（m）。。。f（m）Ic（26）B。

Kronecker可分性假设我们接下来表明，多线性代数允许我们自然地将多元协方差矩阵分解为两个平行的协方差矩阵–成熟度域和国家域协方差。这是可能的，因为（14）（16）中张量值模型的定义Kronecker可分性特征，在这种情况下会减少toEkXk公司= σ（27）EXXT型= σΘ（m）（28）EXTX公司= σΘ（c）（29）∑=ExxT型= σ"AΘ（c）Θ（m）"a（30）直觉上，σ是所有固定收益率的平均方差，Θ（m）∈ RIm×Imis成熟度域协方差密度矩阵，和Θ（c）∈ RIc×Icis国家域协方差密度矩阵。使用（25）中基于fibres的张量表示，很明显Θ（m）和Θ（c）分别描述了到期日的平均数和国家间的协方差，因为我们可以使用总期望定理[20]来表明XXT型= EiPEPf（m）if（m）Ti(c)（31）EXTX公司= EiPEPf（c）if（c）Ti(c)（32），其中Ei{·}表示对指数i的期望。等效地，我们可以检查协方差矩阵的元素[EXXT型]kl=Ei{cov{x（mk，ci），x（ml，ci）}}（33）[EXTX公司]kl=Ei{cov{x（mi，ck），x（mi，cl）}}（34），因此，统计量[EXXT型]Kl描述了所有到期日为mkandml的资产之间的预期回报协方差。类似地，[EXTX公司]KL描述了CKC和cl.C国家内所有资产之间的预期回报协方差。

隐含的国内和跨国动态利用Kronecker可分性条件，我们接下来研究多线性模型隐含的国内和跨国固定收益回报相互作用。我们首先观察到，多元协方差矩阵实际上是国内和跨国固定收入回报协方差矩阵的块矩阵，即∑=∑···∑1Ic∑。。。。。。。。。。。。。。。。。。∑Ic·······∑IcIc（35）式中∑ii∈ RIm×imi是第i个国家的国内协方差矩阵，∑ij∈ RIm×IMI是国家i和j之间的跨国协方差矩阵。根据（30）中的Kronecker可分性条件，我们还可以将多元协方差矩阵表示为以下块矩阵∑=σθ（c）Θ（m）σθ（c）Θ（m）··σθ（c）1IcΘ（m）σθ（c）Θ（m）σθ（c）Θ（m）。。。。。。。。。。。。。。。。。。σθ（c）IcΘ（m）·········σθ（c）InIcΘ（m）（36）其中θ（c）ij是Θ（c）的（i，j）-第个元素。因此，多重线性模型断言，每个国内和跨国协方差矩阵的形式为∑ij=σθ（c）ijΘ（m）（37）。多重线性模型隐含地假设Θ（m）给出的到期域协方差对于所有国家都是相同的。这意味着所有国家都表现出相同的水平、斜率和曲率系数，如第V-B节中的经验所示。此外，术语θ（c）ij只是缩放方差参数σ，以匹配观察到的跨国方差，即tr（σij）=σθ（c）ij。D、 多线性因子分析下一步很自然地评估和解释由成熟度域和国家域协方差密度矩阵跨越的正交基，这些矩阵是通过以下特征分解获得的：成熟度域特征向量矩阵U（m）=U（m）∧（m）U（m）T（38）U（c）=U（c）∧（c）U（c）T（39）∈ RIm×Im，包含向量u（m）i∈ RIM描述了成熟度到成熟度协方差的正交方向。

这些向量表示众所周知的标高、坡度和曲率因子。类似地，U（c）∈ RIc×Ic包含向量u（c）i∈ RIC描述了国家间协方差的正交方向。这些也有经济意义，如问题所示。注意，特征向量矩阵是正交的，即U（m）TU（m）=I和U（c）TU（c）=I。相关特征值矩阵∧（m）∈ 轮辋×Imand∧（c）∈ RIc×Ic分别持有特征值λ（m）和λ（c）i，它们描述了由因子u（m）和u（c）i解释的总方差σ的分数。因此，特征值sum达到单位，tr"A∧（m）"a=tr"A∧（c）"a=1。此外，我们可以根据成熟度域和国家域谱参数来描述多元协方差矩阵∑的特征向量和特征值。将协方差矩阵分解为∑=U∧UT（40）后，我们可以显示以下关系保持U="AU（c）U（m）"a（41）∧=σ"A∧（c）通过检查每个特征向量ui∧（m）"a（42）∈ Rimicu内∈RImIc×ImIc及其对应的特征值λi，我们可以得到以下关系sui="Au（c）k u（m）l"a=u（c）k1u（m）lu（c）k2u（m）l。。。u（c）kIcu（m）l（43）λi=λ（c）kλ（m）l（44），其中u（c）kjis是向量u（c）k中的第j个元素，根据Kronecker性质，i=（k- 1） Im+l.备注3。注意（43）中的重复模式。Kroneckerseparable结构声称，对于给定的因子ui，每个国家内的自然域结构都是相同的，并且与u（m）l相等。这是由（37）中的结果得出的。另一个不太明显的特点是，国家域结构在任何到期日都是相同的，等于u（c）k.E.估计程序与现有的联合期限结构建模方法一样，拟议的框架完全是分析性的，估计程序也是如此。

方差参数σ在T个时间瞬间的估计值为σ=T- 1TXt=1kXtk（45）类似地，成熟度域和国家域协方差密度矩阵如下所示：Θ（m）=σ（T- 1） TXt=1XtXTt（46）Θ（c）=σ（T- 1） TXt=1xTXT（47）这些是张量值高斯分布的最大似然估计量，已证明其在统计上是一致的【16】。四、 全球投资组合管理和HEDGING直接应用国内主成分评估市场风险和构建对冲投资组合已在金融行业得到广泛研究和实施【21、22、23、24】。然而，了解不同国家的期限结构之间的共性对于评估国际多元化的潜力和管理全球固定收益投资组合的风险也很重要。我们考虑的投资组合风险度量是投资组合方差，它是多元协方差矩阵∑的函数∈ RImIc×ImIc。给定投资组合权重向量，w∈ RImIc，投资组合方差由σp=wT∑w（48）给出。我们在上一节中已经证明，当考虑一篮子国际固定收益资产时，协方差∑表现出Kronecker可分离结构（30）。有鉴于此，我们可以证明，如果我们选择我们的投资组合向量来匹配Kronecker可分离结构，也就是说，如果我们设置w="Aw（c） w（m）"a（49），其中w（m）∈ RImand w（c）∈ RIcare分别对自然域和国家域进行加权，得到了全球港口组合管理的简洁、紧凑的解决方案。这是由于ImIcto（Im+Ic）减少了投资组合优化所需的参数。这种明显的优势只有通过将总体风险分解为平行领域——成熟度和国家——才能实现。A.

最小方差投资组合通过优化问题minwσp，s.t.wT1=1（50）获得获得最小方差的资本约束投资组合，其解由众所周知的最小方差投资组合w=∑给出-1T∑-1（51）注意，对于Kronecker可分离的情况，最优投资组合减少tow="AΘ（c） Θ（m）"a-1T"AΘ（c） Θ（m）"a-1=Θ（c）-1TΘ（c）-1.Θ（m）-1吨（米）-1a（52）这一结果表明，投资组合优化可以分为成熟度域和国家域内的并行问题。这相当于通过以下最小化分别求解w（m）和w（c）SMinw（m）TΘ（m）w（m），s.T.w（m）T1=1和minw（c）w（c）TΘ（c）w（c），s.T.w（c）T1=1B。固定收益证券的套期保值仍是金融机构面临的最具挑战性的问题之一。投资组合w对风险因素u的敏感性由内积uTw给出。其目的是形成与风险因素正交的投资组合，也就是说，aim要达到uTw=0。在考虑过的国际体系中，风险因素是可分离的，即美国=u（c） u（米）. 在将投资组合向量设置为与Kronecker分离结构相匹配的情况下，风险敞口简化为touTw="Au（c）Tw（c）"Au（m）Tw（m）"a（53）。该结果表明，正交性uTw=0可以在到期日或国家域中独立实现，因此不必同时在这两个域中实现。换句话说，正交性是通过达到u（c）Tw（c）=0或u（m）Tw（m）=0来实现的。接下来我们考虑这个结果在现实世界中的应用。1） 对冲长期债券：考虑使用国际短期资产组合对冲到期日（如30年）的国际长期固定收益资产的长期投资组合。

保值投资组合必须仅在到期域内满足以下约束：δTiw（m）=1（54）Tw（m）=0（55）U（m）Tw（m）=0（56），其中δi∈ Rim是第i个元素等于1的零向量。直观地说，第一个条件反映了第i个到期日资产的长期头寸，第二个条件限制了自我融资的策略，而最后一个条件则加强了与到期域因素的正交性。2） 对冲国内债券：相反，考虑在第i个国家内使用国际投资组合对冲国内只做多的投资组合。对冲投资组合必须仅在国家域内满足以下约束：δTiw（c）=1（57）Tw（c）=0（58）U（c）Tw（c）=0（59），其中δi∈ RIc公司。在这种情况下，第一个条件反映了第i个国家的长期唯一地位，第二个条件将战略限制为自我融资，而最后一个条件强制执行与国家域因素的正交性。投资组合套期保值问题分别归结为求解线性系统A（m）w（m）=b（m）和A（c）w（c）=b（c）。最佳成熟度域和国家域权重由w（m）=A（m）+b（m）和w（c）=A（c）+b（c）给出，其中（·）+表示摩尔-彭罗斯逆算子。五、 实证分析接下来，我们使用提出的多线性因子模型对国际利率掉期（IRS）市场的全球期限结构进行了实证分析。该数据包括瑞士、欧元区、英国、日本、澳大利亚、新西兰、加拿大和美国等八个发达经济体2015年1月1日至2019年7月1日期间的每周IRS利率曲线。每个国内IRS曲线都由期限为{1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、15、20、25、30}年的掉期组成。因此，在每个时刻，我们观察到Ic=8个经济体中每个经济体的Im=15 IRS回报，导致ImIc=120个每日观察。

图5显示了分析中使用的历史IRS费率。纵观历史数据的集体行为，有助于我们理解全球因素在推动发达经济体固定国际货币体系共同运行中的重要性。A、 国内分析首先，作为对不同国家IRC内收益共性的补充和初步评估，我们分别对八个经济体进行了主成分分析，以获得其主要国内主成分，即国内水平、斜率和曲率因子。图5显示了每个国内IRS曲线中三个领先因素的负荷，表I中报告了每个成分解释的方差百分比。与现有文献一致，所有经济体在三个领先主成分中表现出相似的负荷。此外，各组成部分的解释力在所有经济体中都是一致的，因此第一个主要组成部分（级别）可以解释≈ 90%，第二个主要成分（斜率）解释≈ 5%，第三个主成分（曲率）解释≈ 利率变化的1%。我们认为这表明存在三个主要主导因素，即全球水平、全球坡度和全球曲率因素。

有了这些初步的和具有启发性的结果，我们现在开始用所提出的多线性模型评估常见的全球风险因素。经济水平斜率曲率f 87.88 10.02 1.16EU 94.15 4.78 0.66GB 95.29 3.83 0.56JP 82.04 14.10 2.28AU 92.84 4.94 0.95NZ 92.30 5.76 0.87CA 93.14 5.74 0.66US 95.30 4.06 0.47表一：所考虑的八个经济体的每个主要成分的解释力[%]。掉期利率是美国国税局（IRS）接收人要求的固定利率，以换取随着时间的推移必须支付短期利率的不确定性。2015 2016 2017 2018 2019日期率[%]5 10 15 20 25 30成熟度[年]-101LoadingPC1 PC2 PC3（a）瑞士（SF）2015 2016 2017 2018 2019日期利率[%]5 10 15 20 25 30成熟度[年]-101LoadingPC1 PC2 PC3（b）欧元区（EU）2015 2016 2017 2018 2019日期利率[%]5 10 15 20 25 30成熟度[年]-101加载PC1 PC2 PC3（c）英国（GB）2015 2016 2017 2018 2019日期率[%]5 10 15 20 25 30成熟度[年]-101加载PC1 PC2 PC3（d）日本（JP）2015 2016 2017 2018 2019日期率[%]5 10 15 20 25 30成熟度[年]-101LoadingPC1 PC2 PC3（e）Australia（AU）2015 2016 2017 2018 2019日期利率[%]5 10 15 20 25 30成熟度[年]-101LoadingPC1 PC2 PC3（f）新西兰（新西兰）2015 2016 2017 2018 2019日期利率[%]5 10 15 20 25 30成熟度[年]-101LoadingPC1 PC2 PC3（g）加拿大（CA）2015 2016 2017 2018 2019日期利率[%]5 10 15 20 25 30成熟度[年]-101加载PC1 PC2 PC3（美国）图5:2015-01-01至2019-07-01（左图）期间，到期日为{1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、15、20、25、30}年（分别从蓝色到红色）的每个经济体的周掉期利率，以及从swapweekly回报PCA中获得的相应水平、斜率和曲率分量（右图）。资料来源：彭博社。B

全局分析在本节中，我们评估从国际IRS数据集的多线性分析中获得的结果。实施程序总结如下：（i）对第t周的每周IRS回报进行拉伸，形成矩阵值样本Xt∈ RIm×Ic，如（23）所述；（ii）使用（45）-（47）中的分析估计器估计模型参数（σ，Θ（m），Θ（c））；（iii）全球成熟度域和国家域因子U（m）和U（c）及其相关特征值∧（m）和∧（c）通过特征分解Θ（m）和Θ（c）获得，如（38）-（39）所示。图6（a）绘制了三个主要成熟度域因子{u（m）i}i=1的负荷，表二给出了它们相应的解释能力{λ（m）i}i=1。成熟度域加载的解释类似于传统的国内PCA。成熟度域因子负荷类似于从国内主成分中获得的成分（见图5），因此确认了所有经济体共享的一组共同基础的存在。此外，这些因素的解释力与国内分析的结果一致，这进一步加强了我们发现的有效性。所获得的饱和度域因子显然可以作为描述每个国内IRS曲线中术语结构的模板，因此我们将其称为全局水平、全局斜率和全局曲率。此外，图6（b）–6（c）中显示了国家域因子负荷{u（c）i}Ici=1，表III中显示了相应的解释能力{λ（c）i}Ici=1。最主要的因子u（c）在所有经济体中都具有正相关性，可以被视为全球风险溢价，类似于成熟度域中的水平因子。