用张量分析全球固定收益市场

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英文标题：
《Analysing Global Fixed Income Markets with Tensors》
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作者：
Bruno Scalzo Dees
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Global fixed income returns span across multiple maturities and economies, that is, they naturally reside on multi-dimensional data structures referred to as tensors. In contrast to standard \"flat-view\" multivariate models that are agnostic to data structure and only describe linear pairwise relationships, we introduce a tensor-valued approach to model the global risks shared by multiple interest rate curves. In this way, the estimated risk factors can be analytically decomposed into maturity-domain and country-domain constituents, which allows the investor to devise rigorous and tractable global portfolio management and hedging strategies tailored to each risk domain. An empirical analysis confirms the existence of global risk factors shared by eight developed economies, and demonstrates their ability to compactly describe the global macroeconomic environment.
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中文摘要：
全球固定收益回报跨越多个到期日和经济体，也就是说，它们自然存在于称为张量的多维数据结构上。与标准的“平面视图”多元模型不同，标准的“平面视图”多元模型对数据结构不可知，只描述线性成对关系，我们引入了张量值方法来建模多条利率曲线共享的全球风险。通过这种方式，可以将估计的风险因素分析分解为到期域和国家域组成部分，这使得投资者能够设计出针对每个风险域的严格且易于处理的全球投资组合管理和对冲策略。一项实证分析证实了八个发达经济体共有的全球风险因素的存在，并表明它们有能力简洁地描述全球宏观经济环境。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Electrical Engineering and Systems Science        电气工程与系统科学
二级分类：Signal Processing        信号处理
分类描述：Theory, algorithms, performance analysis and applications of signal and data analysis, including physical modeling, processing, detection and parameter estimation, learning, mining, retrieval, and information extraction. The term \"signal\" includes speech, audio, sonar, radar, geophysical, physiological, (bio-) medical, image, video, and multimodal natural and man-made signals, including communication signals and data. Topics of interest include: statistical signal processing, spectral estimation and system identification; filter design, adaptive filtering / stochastic learning; (compressive) sampling, sensing, and transform-domain methods including fast algorithms; signal processing for machine learning and machine learning for signal processing applications; in-network and graph signal processing; convex and nonconvex optimization methods for signal processing applications; radar, sonar, and sensor array beamforming and direction finding; communications signal processing; low power, multi-core and system-on-chip signal processing; sensing, communication, analysis and optimization for cyber-physical systems such as power grids and the Internet of Things.
信号和数据分析的理论、算法、性能分析和应用，包括物理建模、处理、检测和参数估计、学习、挖掘、检索和信息提取。“信号”一词包括语音、音频、声纳、雷达、地球物理、生理、（生物）医学、图像、视频和多模态自然和人为信号，包括通信信号和数据。感兴趣的主题包括：统计信号处理、谱估计和系统辨识；滤波器设计；自适应滤波/随机学习；（压缩）采样、传感和变换域方法，包括快速算法；用于机器学习的信号处理和用于信号处理应用的机器学习；网络与图形信号处理；信号处理中的凸和非凸优化方法；雷达、声纳和传感器阵列波束形成和测向；通信信号处理；低功耗、多核、片上系统信号处理；信息物理系统的传感、通信、分析和优化，如电网和物联网。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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关键词：固定收益 Applications Optimization econometrics Quantitative

用TensorsBruno-Scalzo分析全球固定收益市场，发现全球固定收益回报跨越多个成熟度和经济体，也就是说，它们自然存在于称为张量的多维数据结构上。与对数据结构不可知且仅描述线性成对关系的标准“fl-view”多元模型相比，我们引入了张量值方法来建模由多条利率曲线分担的全球风险。通过这种方式，可以将估计风险因素分析分解为到期域和国家域组成部分，从而允许投资者针对每个风险域制定严格且易于处理的全球投资组合管理和对冲策略。一项实证分析证实了八个发达经济体共有的全球风险因素的存在，并证明了它们能够准确描述全球宏观经济环境。一、 引言市场参与者早就认识到识别影响资产类别内证券回报的常见因素的重要性。在这项任务中，将对大多数证券收益率有普遍影响的常见风险与单独影响证券的特殊风险区分开来是至关重要的。例如，继[1]中的最终工作之后，固定非融合文献中的很大一部分致力于主成分分析（PCA）[2]技术，以提供利率期限结构动态的简约解释。实证结果表明，需要三个潜在因素，即水平、斜率和曲率，才能最充分地反映整个期限结构的行为。此外，主成分通常与具有经济意义的事件相一致。

因此，这些结果的可信度使得主成分分析成为刻画单一经济体利率曲线的基本构件。主成分法的显著优点包括：（i）其分析性和数学可处理性；（ii）其节约描述经济因素的能力；（iii）其在压力测试和情景分析中的应用；（iv）其对对冲组合的直接适用性。然而，由于不同到期日和国家的利率之间的高度相关性，国际市场的日益互联性对固定收益证券的风险管理提出了重大挑战。金融机构通常采用多元化渠道有限的战略进行全球投资。这在很大程度上是由于传统分析法采用了“fl-at-view”多变量方法，即主成分分析法，即通常通过抵消国内曲线主成分来对冲交易。这使得此类战略无法防范全球宏观经济事件引发的跨国风险。例如，最近的信贷危机就是宏观经济冲击如何通过利率曲线进行关键性传导的范例。因此，为了让全球固定收益投资者充分识别和管理风险，有必要建立一个简洁的模型来描述相关到期日和相关国家的利率协变量。B、 Scalzo Dees就职于英国伦敦帝国学院（ImperialCollege London，London SW7 2AZ）电气工程系（电子邮件：bs1912@ic.ac.uk).这自然推动了PCAFO联合期限结构分析的各种发展，然而，由于问题表述的模糊性，已经提出了广泛的解决方案。

我们在文献中发现，不仅在数据准备和估算程序方面，而且在解释多个收益率曲线的联合动力学所需的潜在因素数量方面，以及所获得的全球和国内因素的性质方面，都缺乏实质性的一致性。一种方法是将主成分分析（PCA）应用于从多个术语结构中获得的矢量化数据[3、4、5]，然而，这种方法忽略了多曲线结构，导致了难以解释的因素，并且仍然可以反映出特质和家庭行为。另一种方法是通用PCA【6】，它提取跨越所有国家相同空间的特征向量，然而，这种方法同时对角化多个协方差矩阵，这对于两个以上的矩阵是非分析性的，并且忽略了各国资产之间的协变量【7】。或者，电池间因素分析[8]捕获了国内期限结构中的所有共同因素[9]，然而，解决方法在计算上也是禁止的，并且隐含地假设特殊的协变量只能在国内发生，这是一个限制性和不切实际的假设。现有技术的主要局限性是，它们对多曲线数据结构不可知，并且依赖于为多变量分析开发的方法。这种对数据的模糊看法以及多元分析中固有的僵化假设是不充分和无效的。我们认识到，跨越多个到期日和国家/地区的全球固定收入回报率取决于称为张量的常规多维数据结构。只有通过张量分析，我们才有机会开发复杂的模型，捕捉整个利率曲线之间的相互作用。

这推动了多线性技术的发展，最终在张量自然存在的许多实际应用中找到了位置【10、11、12、13、14】。因此，我们开发了一个框架，利用结构感知的多线性代数来严格建模国际范围内的预期收益共享的风险因素。这样，可以将估计的风险因素分析分解为两个平行的风险领域：（i）所有国家共享的成熟度领域因素；（ii）所有到期日共享的国家域因素。通过在每个领域内并行操作，投资者可以使用较少的决策参数，同时针对每个风险领域制定严格、易处理的全球投资组合管理和对冲策略，作为拟议多线性框架的必然延伸。实证分析证实了八个发达经济体共同存在的全球风险因素。由此产生的成熟度域和国家域因素表明，可以对全球宏观经济环境提供简洁而有实际意义的见解。二、张量代数传感器的先决条件是使用多元线性代数的数学分支来操作的，为此，我们从学术严谨、以yetpractitioner为中心的角度对该主题进行了全面的介绍。我们请读者参考[10,11]了解有关该主题的更多详细信息。在这项工作中，标量由lightface字体表示，例如.x；以小写粗体字体表示的矢量，例如x；以大写粗体字体表示的矩阵，例如X；和粗体字的张量，例如X。A、 命名张量的顺序定义了维度的数量，也被称为模式。

例如，张量X∈ RI×·····································。张量可以重塑为数学上易于处理的向量和矩阵表示，我们可以使用线性代数来处理这些表示。向量表示用X=vec（X）表示∈ RK（1）和模式n展开是通过将张量重塑到矩阵xx（n）=hf（n）f（n）····f（n）KIni来获得的∈ RIn×KIn（2），其中包含列向量集f（n）i∈ RIn，被称为mode-n-bres。纤维是矩阵行和列的多维代数化。模式n展开的操作可视为模式n的方向为X（n）的列向量，如图1所示。请注意，3阶张量X具有模式1（左面板）、模式2（中面板）和模式3（右面板）的替代性但等效表示，即分别为列、行和管。n=1 n=2 n=3XX（n）图1：从n型纤维的方向来看，3阶张量X的n型展开X（n）的图示。B、 张量积多重线性代数基于一类称为张量积的算子。

矩阵A之间的Kronecker积∈ RI×I和B∈ RJ×j产生块矩阵 B类=aB···a1IB。。。。。。。。。亚投行∈ RIJ×IJ（3）为了方便起见，我们表示矩阵U（n）的Kronecker乘积序列∈ RIn×In，对于n=1。。。，N，byANn=1U（n）~a=U（1） ···  U（N）∈ RK×K（4）张量X的模n积∈ RI×·······························∈ RJn×Inis表示为y=X×nU∈ RI×··××英寸-1×Jn×In+1×····×In（5），相当于执行以下步骤1：X（n）← 十、 模式n展开2：Y（n）← 用户体验（n） 左矩阵乘法3:Y← Y（n） 为方便起见，对X和矩阵U（n）的模n乘积序列进行重新拉伸∈ RJn×In，对于n=1。。。，N，写为asY=XN×N=1U（N）=X×U（1）×·····×NU（N）∈ RJ×···×JN（6），可以用数学上等价的向量和矩阵表示，即y=An=NU（n）~ax（7）Y（n）=U（n）x（n）~ni=Ni6=nU（i）Té（8）图2说明了n=1、2、3时，anorder-3张量与矩阵U（n）的n模乘积序列。Y=U（1）XU（2）U（3）图2：n=1、2、3的模式n产品序列。C、 张量值高斯随机变量在标准多元数据分析中，在给定的试验、实验或瞬间收集多个测量值，形成向量值样本x∈ RK。统计建模中通常采用的一种假设是，变量由分布x描述~ N（m，∑），这意味着协方差矩阵，∑∈ RK×K，是非结构化的。

然而，如果变量有一个自然的张量或表示，那么如果没有必要，可以假设协方差矩阵∑表现出一种更结构化的形式，这是出于经济考虑。例如，在金融中遇到的真实世界N阶张量值信号包括：i）曲线利率×到期日×国家（N=3）；ii）资产×到期日的期货价格（N=2）；iii）资产×到期日×行权的期权价格（N=3）。张量值随机变量的统计特性与高斯随机场的统计特性有内在联系，如下所述。考虑N维坐标系上的零均值随机变量，用x:RN7表示→ R、 由坐标相关分布x（z）描述~ N0，σ（z）（9） 其中z={z（1），…，z（N）}∈ RN是N维坐标向量，z（N）∈ R是第n轴坐标。此外，假设随机变量配备了协方差算子σ：RN×RN7→ Rσ（z，z）=cov{x（z），x（z）}（10），其中σ（z，z）≡ σ（z）。当且仅当协方差算子是可分离的，也就是说，如果下列条件保持σ（z，z）=NYn=1σ（n）（z（n），z（n）），则称该随机变量为可分离协方差结构，z、 z∈ RN（11），其中σ（n）：R×R 7→ R是第n个坐标轴上的协方差算子，与其他坐标轴上的协方差算子无关。备注1。为了上下文清晰，考虑随机变量x（m，c）∈ R、 它代表固定收益回报，作为到期日m和国家c的函数。这可以被视为二维坐标系（到期日×国家）上的标量字段。可分性条件断言cov{x（mi，cj），x（ml，ck）}=σ（m）ilσ（c）jk（12），其中σ（m）ilis是i-th和l-th属性之间的返回协方差，与国家无关。

类似地，σ（c）jk是第j个国家和第k个国家之间的收益协方差，与到期日无关。形成张量X的行为∈ RI×···································。标度值样本的排序如下所示。。。iN=x（z（1）i。。。，z（N）iN），iN=1。。。，英寸，z（n）英寸∈ R（13）图3说明了标量值随机变量的张量化，以形成一个三阶张量。(1,1,1)............（I1,1,1）（1,2,1）。。。。。。。。。。。。（I1,2,1）。。。。。。。。。。。。（1，I2-1，I3）。。。。。。。。。。。。（I1、I2-1，I3）（1，I2，I3）。。。。。。。。。。。。（I1、I2、I3）12。。。I11 2···I212···I3图。3： 三维坐标系上标量变量的张量化，形成一个三阶张量。每个变量都有一个坐标三元组。根据（11）中的条件，可以说张量X表现出Kronecker可分离协方差结构，因此具有以下统计特性[15，16]EkX k= σ（14）EPX（n）XT（n）(c)=σΘ（n）（15）ExxT型= σAn=nΘ（n）~a（16），其中x=vec（x），k·k表示Frobenius范数。直觉上，σ是张量内所有标量值变量的平均方差，以及Θ（n）∈ RIn×Ini是模式ncovariance密度矩阵，其单位轨迹属性为r"AΘ（n）"a=1，n、 协方差密度Θ（n）指定分配给每个变量的总方差σ的比例。Kronecker可分性条件的定义特征是，协方差矩阵∑以纤维到纤维（多线性）协方差参数表示，与多元正态分布所暗示的元素到元素（线性）协方差参数相反。此外，可分性条件为∑的无限制估计提供了一种稳定而简洁的替代方法，如果样本张量的维数与样本数相比较大，则后者不稳定甚至不可用。备注2。

考虑协方差矩阵∑∈ RK×K，由K+K不同的参数。反过来，Kronecker可分离对应物σ"An=nΘ（n）"a，减少到1+PNn=1英寸+英寸不同的参数。参考备注1，考虑我们观察到Im=15个到期日和Ic=8个国家（即K=120）的超额收益情况。然后，多元方差矩阵将具有+ 120= 7260个distinctparameters，而Kronecker可分离对应项将模型减少到1++ 15 + 8+ 8= 这种参数缩减的实际效用是显而易见的。D、 多线性主成分分析考虑n型协方差密度矩阵的特征分解，即Θ（n）=U（n）∧（n）U（n）T（17），其中U（n）∈ RIn×Inis为n型特征向量矩阵，∧（n）∈ RIn×Ini是n型特征值矩阵，它是对角的，具有单位迹性质，tr∧（n）"a=1，n、 根据Kronecker乘积的性质[17]，我们可以将（15）（16）中的Kronecker可分性条件表示为PX（n）XT（n）(c)=σU（n）∧（n）U（n）T（18）ExxT型= σAn=NU（n）∧（n）U（n）T~a（19）我们将此结果称为张量值随机变量X的多线性PCA。这一结果本质上与众所周知的多线性奇异值分解有关，也称为塔克分解[18，19]。三、 全球固定收益因素分析我们接下来将开发全球固定收益回报的多线性模型。续集中考虑的数据结构是二阶张量，即矩阵值随机变量，用X表示∈ RI×I.2阶张量的n型展开减少了toX（1）=X∈ RI×I（20）X（2）=XT∈ RI×I（21）虽然我们将注意力集中在二阶张量上，但重要的是要注意，上一节中提供的多线性代数工具以及我们接下来开发的模型，自然地一般化为任意阶N.A.张量。