城市经济的共同轨迹

当^β（i）与β（i）的符号相反时，核心变为负值。图S11C和图S11C显示了2位数和3位数行业的总分。S11D。具有显著比例关系的行业的平均概括得分（R≥ 0.5）是0.70，这验证了城市中是否存在重演。“农业”和“采矿”行业的得分明显较低，这似乎源于它们对区域特征的强烈依赖。现在，我们如何衡量每个城市的概括程度？为此，我们需要在规模框架中确定单个城市工业增长的衡量标准。使用测量的全球增长 log^Y（i）inEq。S37中，我们可以估计特定行业i中城市c的增长系数^B（c，i）。由于方程式是针对行业定义的，因此可以使用行业指数i轻松地对其进行推广。 对数Y（c，i）= 对数^Y（i）+^B（c，i） 对数N（c）（S39）^B（c，i）= 对数Y（c，i）-  对数^Y（i） 对数N（c）（S40）系数^B（c，i）表示c市工业增长与人口增长的比率。由于许多城市的相对人口变化较小 如图S11A所示，城市规模中的对数N、^B（c，i）非常容易变化。为了观察总体趋势，我们将城市分为20组，并测量 对数Y（c，i）-^ 日志Y（i）与on 使用最后一个平方误差记录N（c）。^B（g，i）=Pc∈g级( 对数Y（c，i）-  log^Y（i））· 日志N（c）Pc∈g级( log N（c））（S41）测得的^B（g，i）是g城市群对工业i的人口依赖性增长系数。当g中的每个城市都能完美概括时，它应该与β（i）相同。groupg对工业i的城市群概括得分可以用EQ的同样方法来衡量。

S38.S（g，i）=1-^B（g，i）- β（i）β（i）（S42）最后，每个城市产业的城市群重述得分可以定义为每个产业重述得分的平均值i.S（g）=| i | Xi∈I（S（g，I））（S43）=1-|I | Xi∈我(^B（g，i）- β（i）β（i）) （S44），其中| I |是行业数。图S11E和图S11F显示了每个城市的汇总得分。我们可以看到，大多数城市都有积极的投降分数。一般来说，除非常小的城市外，概括性很强。它验证了在大多数城市中普遍存在重述。C、 漂移的详细解释在图S10中，随着时间的推移，每个城市在人口产业化空间上移动，其趋势可以通过比例关系来描述。在许多情况下，例如“制造业”，2013年的装配线位于1998年装配线的右下方，坡度变化很小。这是否意味着行业规模的下降与图S1B中的总体增长相矛盾？它取决于相对工业增长与相对人口增长的比率，与总体增长并不矛盾。让我们用数学公式看看细节。当对数-对数标度中的标度关系得到一条拟合线时，拟合线的这种移动可能是由于种群或产业规模的一致相对变化引起的。让这些人口和行业规模的相对变化 日志N（c）和 城市c和工业i的对数Y（c，i）。

对于惯例，让我们只考虑我们范围内最初一年（1998年）和最后一年（2013年）之间的变化。 日志N（c）\'N（c）N（c）=N（c，2013）- N（c，1998）N（c，1998）（S45） 日志Y（c，i）\'Y（c，i）Y（c，i）=Y（c，i，2013）- Y（c，i，2013）Y（c，i，1998）（S46），因为对数值的差异等于相对变化，d（对数N）=dN/N\' 对数N（c），当每个城市经历统一的相对人口增长时，标度关系的拟合线可能会在水平方向上移动， 对数N.同样，当每个城市都实现了统一的相对产业增长时，装配线会沿垂直方向移动， 日志Y（i）。当人口增长没有伴随着高效的行业增长时，装配线会移到较低的一边。要保持在当前位置，装配线应垂直移动 对数Y（i）=β（i） 水平移动时记录N log N。我们也可以从等式S37中标度关系的时间导数中推导出它。β（i）=d（对数Y（i））d（对数N）= 日志Y（i） 日志N（S47） 对数Y（i）=β（i） log N（S48）因此，图s10中蓝线下的红线并不意味着行业规模的实际减少。这是由相对低于人口增长的行业增长造成的，即：。， 对数Y（i）<β（i） log N.类似地，在“医疗”行业中，装配线向上移动的是相对较高的行业增长，其中 对数Y（i）>β（i） 日志N。D、 从产业规模和人口变化的时间相关标度关系来看，让我们考虑一下，人口和产业的相对变化在城市之间并不一致。它可以描述为 日志N（c）和 图S11A显示了NAICS 2数字产业的关系。

可以简化为线性关系， 对数Y（c，i）=y（i）+k（i） 日志N（c）（S49），其中y（i）是所有城市的全球增长，k（i）是人口依赖型增长的系数。使用 对数Y=是/是，我们可以推导出与时间相关的刻度关系。d（log Y（c，i））=dy（i）+k（i）d（log N（c））（S50）Y（c，i，t）Y（c，i，t）=ey（一）N（c，t）N（c，t）k（i）（S51），其中t=t+t、 由于标度关系为asY（c，i，t）=Y（i，t）N（c，t）β（i，t），因此方程可以表示为扰动形式。Y（c，i，t）Y（c，i，t）N（c，t）β（i，t）=ey（一）N（c，t）N（c，t）k（i）（S52）Y（c，i，t）=Y（i，t）ey（i）N（c，t）k（i）N（c，t）β（i，t）-k（i）=Y（i，t）ey（i）N（c，t）β（i，t）+（i） N（c，t）-（i） =Y（i，t）ey（i）N（c，t）β（i，t）+（i） （N（c，t）- N（c））-（i） =Y（i，t）ey（i）N（c，t）β（i，t）（1-N（c）N（c，t））-（i） “Y（i，t）ey（i）N（c，t）β（i，t）（1+（一）N（c）N（c，t））（S53），其中（i） =k（i）- β（i，t） β（i，t）和N（c）=N（c，t）- N（c，t） N（c，t）。自从（一）N（c）是二阶项，在k（i）和β（i，t）之间存在微小差异的情况下，我们可以获得t=tin的近似标度关系。Y（c，i，t）\'Y（i，t）N（c，t）β（i，t）（S54），其中Y（i，t）=Y（i，t）ey（i）表示全球指数增长。根据上述推导，全球增长项y（i）与y（i，t）的生长有关。它代表着工业空间中每个城市的全球漂移。人口依赖系数k（i）与标度指数β（i）相关。