均值-方差投资组合选择中的模型风险

（16） 用（5）中定义的Va（X）替代（4）中测量值的最佳变化（10）。因此，要解决的优化问题变成fainfθ>0L（θ，a）。（17） 解决这个问题的标准技术是交换（17）中其他两个最小化问题的顺序。在详细讨论之前，我们在下面的引理中陈述了拉格朗日函数的一些性质。引理3 Let（θ，a）∈ D、 在另一种最坏情况下的方法中，L（θ，a）在a中是凸的，并且它在θ中是唯一的最小值，θ是集合（12）的内点；此外，在交替模型中，相对熵（11）变为sr（θ，a）=θSΓ（S；θ，γ）+ln（1- θγS），（18）式中：=aT∑a（19）和Γ（S；θ，γ）：=γ（1- θγS）+θ（1- θγS）。（20） 证明。首先，我们证明了替代最坏情况方法（即θ>0）中的拉格朗日函数在a，s.t.（θ，a）中是凸的∈ D、 我们可以应用Sherman和Morrison（1950）的公式来得到∧∑=∑+θγ∑aaT∑1- θγ在∑a；（21）然后，我们得到[exp（θVa（X））]=p1- θγaT∑aexp-θaTu+θaT∑a1- θγ在∑a. （22）（16）中的拉格朗日函数becomesL（θ，a）=-2θln1.- θγ在∑a- u+θaT∑a1时- θγ在∑a+ηθ。（23）回顾凸函数之和本身就是一个凸函数（参见Boyd和Vandenberghe 2004，第3.2.1节，第79页），我们重点关注a in（23）中的非线性项。我们定义（θ，S）：=-2θln（1- θγS）+θS1- θγS，其中S在（19）中定义。很容易证明，当θ>0时，L（θ，S）在S中是凸的，并且在S中是递增的，S在a中是凸的。因此，使用凸性的组合规则（参见Boyd和Vandenberghe 2004，第3.2.4节，第84页），我们可以得出结论：L（θ，aT∑a）在a中是凸的，然后拉格朗日函数（23）在a中是凸的。其次，我们证明了R（θ，a）的表达式（18）。从（11）中，我们得到（θ，a）=Em？θ、 a（X）ln m？θ、 a（X）.

（24）经过一些简化后，我们得到r（θ，a）=γθE[（在X处）]- θE[在▄X处]+lnqdet（∑▄∑）-1) -θ在∧∑a处，其中∧X是具有平均值的高斯r.v-θИ∑a和方差（13）。最后，使用等式（21）并替换（19）和（20），相对熵（18）如下所示。最后，我们证明了对于任意给定的a，拉格朗日函数在θ中有唯一的极小值，称为∧θ，特别是，它在θ中是单调递减函数(-∞,和（∧θ，θmax（a））中的单调递增函数。因为我？θ、 ais对于（4）中的拉格朗日函数来说是最优的，而替代模型f（X）是一个有效的正则函数（一个多项式高斯p.d.f.），我们可以用期望值交换导数（参见Protter and Morrey 2012，Th.4，p.429），我们得到L（θ，a）θ=θEm？θ、 a（X）Va（X）-θm？θ、 a（X）ln m？θ、 a（X）- η=θ（R（θ，a）- η) .观察到相对熵R（θ，a）在θ=0时为零a、 θ>0时单调递增（参见引理1），如果θ→ θmax（a）（直接使用（18）和（20）），结论如下Glasserman和Xu（2014）证明，在某些条件下，可以交换（17）中的两个函数，然后以数值方式解决变量a和θ中的优化问题。我们使用了与Glasserman和Xu（2014）相同的反演，但我们解决了分析问题：正如引言中所述，这是我们的主要理论贡献。为了在替代度量中找到最优投资组合以及相应的最优度量变化，我们回顾了Glasserman和Xu（2014）关于投资组合选择的第2.1条建议。引理4 Let（θ，a）∈ D

优化问题（17）相当于infθ>0infa∈AL（θ，a）（25），其中L（θ，a）在（16）中定义；最优投资组合a？（θ） 在替代措施中，isa？（θ） =arg infa∈Aθln E[exp（θVa（X））]（26）和测度ism的最坏情况变化？θ（X）=expθVa？（θ） （十）E经验值θVa？（θ） （十）. （27）证明。参见Glasserman和Xu（2014）中的命题2.1，应用于均值-方差案例这个引理是文献中关于最坏情况模型风险的一个重要结果。正如inGlasserman和Xu（2014）所述，我们在本文中采用了相同的方法。我们首先在给定θ>0的情况下找到最佳最坏情况投资组合，然后在KL ball Pη内选择θ的最佳值。很容易证明，在最佳情况下，当θ<0时，引理4的方程也成立。在本文的其余部分中，我们在两种情况下找到了（25）的解析解：第3节中的一般均值方差框架和Glasserman和Xu（2014）考虑的特殊情况，以及替代模型中的均值约束，在第4.3节中分析了本节中最坏情况投资组合选择的解析解，我们解析地解决优化问题（26），并在给定θ>0的情况下，在备选模型中找到最佳组合；i、 均值方差框架中的稳健投资组合。然后，我们证明了（25）中的最佳θ位于球Pη的表面。定理5 Let（θ，a）∈ D、 在另一种最坏情况下的方法中，最优投资组合a？（θ） isa？（θ） =AΓ（S？（θ）；θ, γ)Σ-1uA+1.-AΓ（S？（θ）；θ, γ)Σ-1C（28）和数量S？（θ） 是S=C的唯一解DΓ（S；θ，γ）+1（29）其中（20）中定义了Γ（S；θ，γ）。常数A、C、D已在（7）中定义。证据在另一种最坏情况下的方法中，可以找到最优投资组合解决方案（26）。使用（22）并为约束a引入拉格朗日乘子∈ A（即。

aT1=1），（26）相当于RG infa-2θln1.- θγ在∑a- u+θaT∑a1时- θγaT∑a+α1.- 在.按照与标称模型中相同的方法，我们得到a的方程式（28），其中S在（19）中定义。通过在（19）中替换（28），我们得到了方程（29）来代替最优S。让我们研究（20）中给出的方程（29）的解。S的域为S.t.S必须包含在间隔C中≤ S<θγ，（30），因为i）S=1/C对应于最小方差情况，即使在替代模型中，i）（θ，a）∈ D、 即θS<1/γ。首先，让我们将S视为域（30）中等式（29）中1/Γ的函数，该域是抛物线的一个分支（然后单调递增），最小值为（0，1/C）。然后，将1/Γ视为方程（20）中S在S的同一个域中的函数，它等于S=1/C中的正值，并且它在S的域中是可导的，导数总是严格负的，并且在极限S中趋于零→ 1/(θγ). 因此，方程（29）具有唯一的解，如图1所示根据θ，最坏情况下的均值-方差最优投资组合是方程（29）中的（唯一）分析解。让我们观察一下，在均值-方差框架中，最优最坏情况投资组合与最优名义投资组合相似（8）。在最坏情况下，两个互惠基金定理也成立：最优投资组合是图1的线性组合，具有不同的权重：方程（29）（连续黑线）中S的函数图和方程（20）中S的函数图∈ [1/C，1/θγ）（红色虚线点）。两个方程组允许一个唯一的解。名义问题的相同的两个组合a？和a？。备选模型中的解与名义模型中的解具有完全相同的形式，在最坏情况下的方法中，风险规避“参数”增加（θ>0时，Γ>γ）。

可以表明，类似的解决方案也适用于风险规避降低的最佳情况（θ<0时，Γ<γ）。让我们注意到，给定最优投资组合a？（θ） ，我们现在能够找到相应的相对熵，即名义模型和备选模型之间的KL差异，仅取决于参数θ。代入（18）中（29）的唯一解，我们得到R（θ）：=R（θ，a？（θ））=θS？（θ） Γ（S？（θ）；θ、 γ）+ln（1- θγS？(θ)) . （31）我们在本节中得出结论，证明优化问题（25）中的最佳参数θ停留在球Pη的表面上。这一结果至关重要，因为它完全解决了（25），即最坏情况下的平均方差投资组合选择。命题6 Let（θ，a？（θ））∈ D、 最佳值θ？对于优化问题（25）中的θ，球的表面Pη，即R（θ？）=η，其中R（θ）在（31）中定义。证据我们首先表明，对于任何给定的投资组合a，解决原始优化问题（4）的最优θ位于球的表面Pη上；然后，我们考虑将这两个问题转换为一个问题（25）。首先，我们考虑（3）中关于给定a的内部最大化问题，这是主要问题。按照Boyd和Vandenberghe（2004，pp.216-225）中的表示法，我们称原始问题p，我们在（4）中用d表示相应的拉格朗日对偶问题，而p？d呢？分别表示原问题和对偶问题的最优值。由于目标函数在m中是凸的，且集合{m:E[m（X）ln m（X）]<η}是非空的，因此Slater定理确保了强对偶成立，即p？=d（参见，例如Boyd and vandenberghe 2004，第5.2.3节，第226页）。

换句话说，对于给定的a，给定的m？pa（X）是一个初值，而{θ，m？，θ，a（X）}是一个对偶最优，其中，θ是a的函数，我们有p？=d？=infθ>0supmEm（X）Va（X）-θ（m（X）ln m（X）- η)== supminfθ>0Em（X）Va（X）-θ（m（X）ln m（X）- η)== supmE公司m（X）Va（X）-θ（m（X）ln m（X）- η)≥≥ Em？pa（X）Va（X）-θ（m？pa（X）ln m？pa（X）- η)≥≥ E【m？pa（X）Va（X）】=p？。第二行来自Boyd和Vandenberghe（2004，eq.（5.45），第238页）。第三行考虑对偶问题的最优|θ。第四行紧随其后，因为拉格朗日对m的上确界大于或等于其在任何其他m（X）处的值，然后也选择m（X）=m？pa（X）。最后一个不等式是由于第四行的第二项是非负的。因此，既然所有的不平等都是平等的，我们可以得出两个结论。首先，m？pa（X）使拉格朗日函数最大化。这个结果，加上拉格朗日函数在m中的凹度，意味着m？pa（X）=m？θ，a（X）。第二，下列等式成立|θEhm？θ，a（X）ln m？θ，a（X）- ηi=0。（32）由于θ必须保持有限，由于条件（12），我们得到（32）中的期望值必须为满；i、 e.，°θ停留在球的表面Pη上，或等效地R（°θ，a）=ηa s.t.（|θ，a）∈ D、 因为i）相对熵R（θ，a）是θ中的单调递增函数（参见引理1），ii）当θ=0时为零，iii）在极限θ内趋于一致→ θmax（a）（参见引理3顶部的末端），那么对于θ存在唯一的（32）解∈ [0，θmax（a）），然后是对偶最优{▄θ，m？▄θ，a（X）}的唯一解。在引理4中，我们已经证明，可以改变（4）中两个引理的顺序，获得相同的解。这就是反向对偶问题（25）。

因此，最佳值θ？在球的表面上，倒立的对偶问题也是如此，这就结束了证明命题6中证明的结果允许我们i）避免参数θ的数值优化，ii）将与散度η相对应的最佳θ确定为球Pη表面上的（唯一）正数值。这完全解决了问题（25）。4均值-方差不变在本节中，我们详细分析了Glasserman和Xu（2014）考虑的均值-方差情况，其中他们考虑了一种特殊情况，即即使在替代模型中，均值向量也必须等于标称均值u。这种情况下的问题变成（infa∈A（θ）supm∈PηEhm（X）γaT（X- u）（X- u）Ta- aTX公司是t、 E【m（X）·X】=u，如Glasserman和Xu（2014，第36页）所述，相当于NFA∈A（θ）supm∈PηEm（X）VGXa（X）采用（9）中定义的风险度量VGXa（X）。在本节的剩余部分中，我们证明了前面几节中证明的所有结果都可以在这种特殊情况下复制。首先，考虑到风险度量（9），让我们证明引理2、3和4的基本性质可以适应这种特殊情况。这在接下来的引理7和8中得到了证明。引理7 Let（θ，a）∈ D、 度量m的变化？θ、 当且仅当条件（12）成立时，（10）中的a（X）定义良好。此外，对于任何∈ A、 在替代模型▄f（X）中，对应的tom？θ、 a（X），X作为多元正态r.v.分布，即X~ N（u，∑），其中∑如（13）所示。证据参见引理2的证明，注意E经验值θVGXa（X）获得与均值方差框架中相同的值，指数中有一个线性常数项-θaTu，而不是线性tochastic项-θaTX。因此，证明的第一部分成立，并且很容易证明▄f（X）是高斯r.v的密度。

平均u（我们施加的新约束）和方差∑将LGX（θ，a）定义为（16），使用VGXa（X）代替Va（X），我们可以表明，与引理3和引理4相似的结果也成立。引理8 Let（θ，a）∈ D、 LGX（θ，a）在a中是凸的，并且在集合（12）的内部点θ中有唯一的最小值。在另一种最坏情况下的方法中，相对熵isR（θ，a）=θSΓGX（θ，γ）+ln（1- θγS），（33），其中ΓGX（S；θ，γ）：=γ1- θγS.（34）此外，可以交换优化问题（4）中两个次优的顺序，这相当于infθ>0infa∈ALGX（θ，a）；替代度量中的最优投资组合是solvinga？（θ） =arg infa∈Aθln Eexp（θVGXa（X））. （35）证明。参见引理3和引理4的证明，注意lgx（θ，a）=-2θln（1- θγS）- 在u+ηθ和相对熵下，r（θ，a）=Em？θ（X）θγaT（X- u）（X- u）Ta- ln E公司经验值θγaT（X- u）（X- u）Ta.在进行了与均值-方差类似的计算后，所有以前的结果都成立然后，类似于定理5，我们可以找到给定正θ的问题（35）的闭式解，并证明在这种特殊情况下，最优解也停留在球Pη的表面上。定理9 Let（θ，a）∈ D、 在另一种最坏情况下的方法中，最优投资组合是isa？（θ） =AΓGX（θ，γ）∑-1uA+1.-AΓGX（θ，γ）Σ-1C（36），其中ΓGX（θ，γ）=γC+pγC+4θγ（C- θγ）D2（C- θγ），（37），且ΓGX（θ，γ）>0证明。

与均值-方差情况一样，可以在交替度量解（35）中找到最优投资组合，即：在1=1θln E时经验值θγaT（X- u）（X- u）Ta- 在u+ηθ处，为约束引入拉格朗日乘数aT1=1，相当于infa-2θln1.- θγ在∑a- u+ηθ时- λ（aT1- 1) .按照与标称模型中相同的方法，我们得到方程（29）（34）中定义的ΓGX（S；θ，γ），而不是（20）中定义的Γ（S；θ，γ）。与均值-方差情况一样，S的域为（30）。此外，在这种特殊情况下，方程（29）和（34）表示二阶系统，可以用闭合形式求解。我们得到了变量ΓGXΓGX（θ，γ）=γC±pγC+4θγ（C）中二阶方程的以下解- θγ）D2（C- θγ).从（30）中观察到C>θγ，从（34）中观察到ΓGX（S；θ，γ）>0，我们可以推断，在最坏情况下，带负号的ΓGX（θ，γ）的解是不可接受的，因此（37）是ΓGX（θ，γ）的唯一解，从而得出证明与均值-方差的情况一样，让我们注意到，给定最优投资组合（36），我们可以从（33）中得到相应的相对熵，该熵仅取决于参数θ；i、 e.，R（θ）=ΓGX（θ，γ）γ- 1.- lnΓGX（θ，γ）γ. （38）在这种特殊情况下，也可以复制命题6。命题10 Let（θ，a？（θ））∈ D、 最佳值θ？对于最坏情况下的θ，投资组合选择是正确的，即R（θ？）=η、 R（θ）在（38）中。证据

证明遵循命题6的相同步骤，使用这个特例的拉格朗日和熵我们在本节结束时指出，该框架中的风险度量值SimplyBecomes[m？θ（X）VGXa？（θ）（X）]=γa？（θ） T∑a？(θ) - 一（θ） Tu=2 CΓGX（θ，γ）-DΓGX（θ，γ）-AC（39）在第二个等式中，我们使用了（21）和最优投资组合a？（θ） 在（36）中。在实践中，获得结果图形表示的有效方法是首先通过参数θ确定替代模型（例如，在范围h0，^θi内），然后获得θ值的相对性（38）。下一节中的数值示例以这种方式进行，同时获得相对熵（38）和风险度量的相关值（39）。5备选模型和名义模型中最优投资组合的相等性和数值例子在本节中，我们分析了名义模型和备选模型中最优投资组合相等的情况。我们证明，这种等式仅在两种相关情况下成立：不确定性仅限于协方差矩阵的最小方差问题和所有资产均具有相同均值的对称情况，即u=u1。最小方差案例是均值-方差投资组合选择的一个有趣的子类别，即Glasserman和Xu（2014）中考虑的均值-方差与固定均值投资组合选择，它是一种纯粹基于风险的投资组合构建方法。这对应于在（5）中选择非常大的风险对抗参数γ，或在（9）中选择相当大的风险对抗参数γ。在这种情况下，风险的度量值isVa（X）：=aT（X- u）（X- u）Ta。在最小方差情况下，我们可以证明一个有趣的分析结果，即最坏情况下的最优投资组合与nominalmodel中的最优投资组合完全相同。