均值-方差投资组合选择中的模型风险

此外，我们可以将前面部分中获得的所有结果应用于这种情况。首先，我们可以将引理7和命题10应用于最小方差的情况，得出以下结论：i）在替代模型中，X作为多元正态r.v.分布，与标称模型具有相同的平均值u，且方差∑与（13）相同，当且仅当相同条件（12）（γ=1）成立时；ii）与最优最坏情况和名义投资组合相关的相对熵R（θ）与前一节中的表达式（38）相同，γ=1，最优θ位于球的表面Pη上。然后，我们可以证明备选模型中的最优投资组合（即稳健投资组合）与名义模型中的最优投资组合相同，如下一个命题所示。命题11 Let（θ，a）∈ D、 在最小方差情况下，优化问题（26）等价于a？（θ） =arg infa∈AaT∑a，（40）因此，备选模型f（X）中的最优投资组合与名义模型f（X）中的最优投资组合相同，即a？（θ） =a？。证据通过求解优化问题（26），找到了最优投资组合。经过一些计算和使用（14），我们得到了e[exp（θVa（X））]=qdet（∑∧∑∑）-1)=√1.- θaT∑a。因此，最坏情况问题（26）等价于经典问题。然后，解决方案与标称模型相同，并且是唯一的让我们强调一下，在最小方差框架中有两个主要性质：不仅测度的指数变化保持在多元正态分布族中，而且稳健投资组合等于名义模型中的最优投资组合。

这两个特性导致在最小方差框架下，最坏情况下的方法对应于高斯分布参数的变化：在这种情况下，模型风险可以简单地解释为估计风险。在本节的剩余部分，我们回到均值-方差框架，并将注意力集中在对称情况下u=u1=uu...u.我们首先证明了名义模型和替代模型中最优投资组合相等的必要和充分条件的一般结果：在这种情况下，模型风险等同于无激励风险。然后，我们给出了一些数值例子。在一般均值-方差框架下（以及在特殊情况下），可以证明以下命题，即保证名义模型和替代模型中最优投资组合的相等性。命题12 Let（θ，a）∈ D和γ是有限的风险规避。当且仅当u=u1且u∈ R、 证明。根据方程式（8）和（28），我们有一个？（θ） =a？笔名<=>Σ-1u -AC∑-1.γ-Γ（S，θ，γ）= 0，其中A和C已在（7）中定义，0是Rn中的零向量。只有当i）C∑时，方程才有解-1u=A∑-11或ii）Γ（S，θ，γ）-1= γ-1.<=> θ = 0. 虽然对于有限γ>0，条件ii）无法在替代模型中完全满足，但条件i）证明了这一命题：它对应于u=A/C时，在1的同一方向上有u有趣的是，可以强调命题12即使在平均方差情况下也成立，Glasserman和Xu（2014）考虑了对平均向量的约束。为了展示一些数值例子，让我们考虑一下，如Glasserman和Xu（2014）所述，均值方差具有固定均值和完全对称方差的情况，即∑=σ1 ρ . . . ρρ 1 . . . ρ............ρ ρ . . .

1.,ρ>-1/（n）- 1). 这种情况展示了一般n的完整详细分析解的优势，并允许在一个有趣的示例中理解在替代模型中的最优解的数值确定中可能发生的情况。方差-协方差矩阵∑的特征值为（参见附录A中的引理13）：λ=σ（1+（n- 1） ρ）重数为1，特征向量权重为常数，λ=σ（1- ρ） 多重数为n- 1.（41）同样，逆矩阵∑-1，可计算n、 作为第一个数值示例，让我们考虑Glassermand Xu（2014）在其数值示例中考虑的对称情况u=u1。在这种情况下，名义模型和备选模型中的最优投资组合是等权投资组合a？=1/n。我们还有一个明确的图2：对称情况下风险度量值与相对熵。我们认为γ=1，n=10资产，ui=0.1，∑ii=0.3i=1，10，ρ=0.25。左图以名义（红线虚线）和备选模型（黑线）显示了与最优投资组合相对应的风险度量值。考虑最大相对熵η∈ [0，0.25]正如Glassermand Xu（2014，图1，第37页）所述，我们计算η的每个固定值，θ？的相应正值和负值？使用（38），我们可以得到风险度量值（39）。特别是负θ？值对应于最佳情况备选模型（虚线），而正θ？数值对应于最坏情况下的方法（连续线）。右图显示了名义模型中的风险度量值，仅随相关参数ρ变化∈ [0.05，0.45]（绿星）和方差参数σ与k的乘法参数k∈ [0.72，1.32]（蓝十字）如Glasserman和Xu（2014）所述。

我们注意到，从两个参数（黑圈）得到的风险度量值与在备选模型（黑线）中得到的值相同。在这种情况下，模型风险简化为估计风险。备选模型a？中最优投资组合条件（12）的表达式？。使用（41），它变为θ<θmax（a？）=nσ（1+（n- 1） ρ）=nλ。我们考虑的数值示例与Glasserman和Xu（2014，第3637页）中的数值示例完全相同，γ=1，n=10资产，ui=0.1，∑ii=σ=0.3i=1，10和ρ=0.25，我们要求他们考虑具有固定平均值的平均方差的特殊情况。我们将最优投资组合的风险度量值绘制为最大允许相对熵η的函数（参见Glasserman和Xu 2014中的图1，第37页）。图2中的左图显示了一组最大相对熵值η∈ [0，0.25]，最坏情况下（连续黑线）和最佳情况下（点-黑线）备选模型中的风险度量值。如前所述，在这种情况下，由于命题12，名义模型和备选模型中的最优投资组合是一致的。这与Glasserman和Xu（2014年，图1，第37页）的结果不同，在这两个结果中，这两个最佳投资组合并不一致。这种不相干可能是由于数值算法的缓慢收敛造成的。下面我们回到这一点。此外，Glasserman和Xu（2014）声称，“模型误差并不对应于参数中的直接误差”（参见第37页）。

为了说明这一想法，因为在均值-方差-固定均值框架中，替代模型与标称模型不同，只是方差矩阵不同。这些作者研究了通过改变两个参数获得的风险度量值：公共相关参数ρ和乘以方差的参数k。图3：梯度下降算法在二维二次函数的最小化。其他一阶优化算法也有类似的结果。我们注意到，算法在达到流体维度的正确最优值方面进展缓慢。在更多维度上，这种行为被放大，算法无法以合理的精度达到最优。方差矩阵∑中的参数σ。特别是，他们让相关参数在ρ=0.05和ρ=0.45之间变化，参数k在k=0.72和k=1.32之间变化。Glasserman和Xu（2014，图1，p.37）分别给出了通过改变k和ρ获得的结果，该结果与图2右侧面板中的蓝色十字和绿色星星一致。新的结果是，参数ρ和k的扰动在与之前相同的范围内，修改了风险度量的值，达到了替代度量中获得的值（参见图2中的黑圈）；i、 在这个框架中，模型误差可以完全解释为估计误差。此外，因为在这种情况下我们有一个完整的解析解，我们可以理解为什么数值方法会很慢。解决优化问题（40）相当于选择抛物面的最小值。一阶算法在特征值较高的方向上下降较快，而在特征值较低的方向上下降较慢。

例如，图3显示了在二维二次函数最小化中使用的梯度下降数值算法的演变：该算法在最大可变性方向上快速，但在最小可变性方向上变化缓慢；i、 e.，在矩阵∑的特征向量方向上，对应于最小特征值。在我们的例子中，对于兴趣区间中的每个η，我们必须解决一个优化问题。每个优化都有两个主要特征，如（41）所示：i）最大特征值几乎是其他特征值的n倍，ii）有n个- 1最小特征值。因此，数值算法在最小可变性的方向上变得缓慢，并且可能在达到正确的最优值之前停止，特别是当n非常大时。这可能是分析解决方案有用的原因之一。最后，作为第二个数值例子，我们考虑一个非对称情况。参数与前面的数值示例相同，但平均ui=0.1·（1+xi），i=1，10，从标准正态随机分布中提取。获得的边界如图4所示。在这种情况下，稳健投资组合，即最坏情况备选模型A中的最优投资组合？(θ?) （36）θ在哪里？是通过命题10获得的，与名义模型a中的最优投资组合不同吗？nom，正如我们在提案12中所证明的那样。图4中获得的结果与Glasserman和Xu（2014，图1，第37页）中的结果相似，两个图仅对垂直轴上的风险度量值有所不同，这取决于所选的u值。在图4中，我们可以观察到选择稳健投资组合的后果。一方面，对于稳健的投资组合，名义模型中的风险度量值更大（绿色虚线图4：风险度量值vs。

非对称情况下的相对熵。我们认为ui=0.1·（1+xi），i=1，10，其中xidn来自标准正态分布，而其他参数与图2相同。如图2所示，我们考虑了相对熵η∈ [0, 0.25]. 虚线显示了最优名义投资组合a？的名义模型中风险度量值？标称值（8）；黑线是最佳名义投资组合的最坏情况法（连续线）和最佳情况法（虚线）备选模型中的风险度量值？笔名；绿色虚线显示了robustportfolio a？名义模型中的风险度量值？(θ?) (36); 蓝色虚线显示了稳健投资组合备选模型中风险度量的价值。线）w.r.t.最优名义投资组合（红色虚线），后者明显不依赖于相对熵；另一方面，对于稳健投资组合（蓝色虚线）w.r.t.而言，备选最坏情况模型中的风险度量值（在（13）中的方差∑）明显较低，而稳健投资组合（蓝色虚线）w.r.t.则为最优名义投资组合（连续黑线）的值。6结论我们研究了均值-方差选择问题中模型风险对最优投资组合的影响。通过最坏情况法测量模型风险，将相对熵作为名义模型和备选模型之间差异的度量；特别是，我们考虑了半径为η的KL ball Pη内的所有备选模型。

当使用多元正态分布对资产收益进行建模时，Glassermanand Xu（2014）在均值-方差情况下对小Pη的该问题进行了数值求解，并对均值进行了额外约束，选择了与标称模型中的均值相等的值。在本文中，我们在一般均值-方差框架下解析地解决了一般KL-ball Pη的alternativemodel中的最优投资组合问题。我们已经证明，最坏情况下的最优投资组合是唯一的，由方程（28）给出，其中最优θ？方程R（θ？）的唯一正解=η，R（θ）在（31）中给出。我们还解决了Glasserman和Xu（2014）中考虑的特殊情况，在这种情况下，他们引入了替代平均值约束（参见解决方案（36）和熵（38））。最后，我们详细分析了模型风险和估计风险重合的情况，并给出了两个数值例子。特别是，其中一个例子实际上是Glasserman和Xu（2014，图1，第37页）的同一个示例，但无法再现其数值解。这一事实表明，在模型风险的最坏情况下，所提供的分析解决方案具有相关性，因为在某些情况下，从数值角度来看，解决所需优化（参见问题（4））可能是一个具有挑战性的运筹学问题。致谢作者感谢欧洲投资银行（EIB）研讨会的所有与会者、苏黎世ETH第19届定量金融研讨会的与会者以及多伦多大学2019年IAM金融数学与工程会议的与会者。

我们特别感谢Michele Azzone、Giuseppe Bonavolont\'a、Mohamed Boukerroui、SzabolcsGaal、Juraj Hlinicky、Aykut Ozsoy、Oleg Reichman、Sergio Scandizzo、Claudio Tebaldi、PierreTychon提出的有用意见。作者承认EIB研究所知识计划下的EIB财务支持。本文件中的发现、解释和结论完全是作者的，不应以任何方式归因于EIB。任何错误都是作者的错误。参考Boyd，S.和Vandenberghe，L.，2004年。凸优化，剑桥大学出版社。Cala fiore，G.C.，2007年。模糊风险度量和最优稳健投资组合，《暹罗优化杂志》，18（3），853–877。Gantmacher，F.R.和Krein，M.G.，1960年。Oszillationsmatrizen，oszillationskerne and kleineschwingungen mechanischer systeme，第5卷，Akademie Verlag。Gilboa，I.和Schmeidler，D.，1989年。具有非唯一先验的Maxmin期望效用，《数学经济学杂志》，18（2），141–153。Glasserman，P.和Xu，X.，2014年。稳健的风险度量和模型风险，定量金融，14（1），29–58。Hansen，L.P.和Sargent，T.J.，2008年。《鲁棒性》，普林斯顿大学出版社。Harville，D.A.，1997年。《统计学家视角下的矩阵代数》，第1卷，斯普林格出版社。Kerkhof，J.、Melenberg，B.和Schumacher，H.，2010年。《模型风险和资本储备》，银行与金融杂志，34（1），267–279。Kullback，S.和Leibler，R.A.，1951年。关于信息和效率，《数学统计年鉴》，22（1），79-86。Lam，H.，2016年。随机系统的鲁棒灵敏度分析，运营数学研究，41（4），1248–1275。Li，D.和Ng，W.L.，2000年。最优动态投资组合选择：多期均值方差公式，数学金融，10（3），387–406。Markowitz，H.，1952年。投资组合选择，金融杂志，7（1），77–91。默顿，R.C.，1972年。

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