均值-方差投资组合选择中的模型风险

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英文标题：
《Model risk in mean-variance portfolio selection: an analytic solution to
  the worst-case approach》
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作者：
Roberto Baviera, Giulia Bianchi
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper we consider the worst-case model risk approach described in Glasserman and Xu (2014). Portfolio selection with model risk can be a challenging operational research problem. In particular, it presents an additional optimisation compared to the classical one. We find the analytical solution for the optimal mean-variance portfolio selection in the worst-case scenario approach. In the minimum-variance case, we prove that the analytical solution is significantly different from the one found numerically by Glasserman and Xu (2014) and that model risk reduces to an estimation risk. A detailed numerical example is provided.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑Glasserman和Xu（2014）中描述的最坏情况模型风险方法。具有模型风险的投资组合选择可能是一个具有挑战性的运筹学问题。特别是，与经典优化相比，它提供了额外的优化。在最坏情况下，我们找到了最优均值-方差投资组合选择的解析解。在最小方差情况下，我们证明了解析解与Glasserman和Xu（2014）在数值上发现的解析解存在显著差异，并且模型风险降低为估计风险。给出了一个详细的数值例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Model_risk_in_mean-variance_portfolio_selection:_an_analytic_solution_to_the_wor.pdf (548.18 KB)

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关键词：投资组合选择 投资组合 Quantitative Optimisation Optimization

均值-方差投资组合选择中的模型风险：最坏情况下方法的解析解Roberto Baviera和Giulia Bianchi 2019年12月3日（）Politecnico di Milano，数学系，32 p.zza L.da Vinci，MilanoAbstractIn本文我们考虑Glasserman and Xu（2014）中描述的最坏情况模型风险方法。具有模型风险的投资组合选择可能是一个具有挑战性的运营研究问题。特别是，与经典优化相比，它提供了额外的优化。我们找到了最坏情景法中最优均值-方差投资组合选择的解析解，以及Glasserman和Xu（2014）中考虑的具有恒常平均向量附加约束的特殊情况的解析解。此外，我们还证明了在两种相关情况下——最小方差情况和对称性情况，即当所有资产具有相同的平均值时——交替模型和名义模型中的解析解是相等的；我们表明，这与模型风险降低为估计风险的情况相对应。关键词：模型风险、稳健投资组合选择、均值-方差投资组合、Kullback-Leiblerdivergence。JEL分类：C51、D81、G11。通信地址：米兰数学事务所Roberto BavieraDepartment of MathematicsPolitecnico di Milano32 p.zza Leonardo da VinciI-20133 Milano，ItalyTel+39-02-2399 4575传真+39-02-2399 4621roberto。baviera@polimi.it1引言Markowitz（1952）是第一个根据均值和方差引入最优投资组合选择的人。自从那篇开创性的论文发表以来，这个问题已经得到了广泛的研究（参见Liand Ng 2000及其参考文献）。

该标准以现代投资组合理论为基础，由于其将资产收益建模为高斯随机变量，因此其简单性被广泛应用于金融领域。这种投资组合选择的准确性关键取决于该模型的可靠性，即名义模型。模型风险是指因使用不够精确的模型而产生的风险。模型风险的定量方法是最坏情况方法，由Gilboa和Schmeidler（1989）在决策理论中引入。根据这种方法，可以考虑一类替代模型，并将最坏情况下遇到的损失降至最低。文献区分了估计风险和误认风险（见Kerkhof et al.2010）。总的来说，识别模型错误的脆弱性很有意义，因为模型错误不仅源于参数扰动（估计风险），还源于回报联合分布中的错误（误判风险）。统计分布之间的偏差可以通过Kullback和Leibler（1951）的相对熵来衡量，该相对熵也称为KL散度，由Hansen和Sargent（2008）在模型风险的背景下提出。Cala fiore（2007）研究了KL分歧下最优稳健投资组合的确定问题；考虑到离散设置，他提出了两种数值方案，以在平均方差和平均绝对偏差情况下找到最优投资组合。Glasserman和Xu（2014）在均值-方差情况下的连续设置中研究了该方法；作者确定了名义模型的最坏情况替代模型，并在数值上找到了这些情况下的最优投资组合选择。最近，Penev等人。

（2019）详细分析了平均标准偏差案例，表明该案例提供了半解析解。让我们简要总结一下存在模型风险的投资组合选择问题。让X∈ RN表示随机资产收益。与X相关的p.d.f，f（X）对应于标称模型，而p.d.f.～f（X）对应于替代模型。两个模型之间的KL偏差isR（|f，f）：=E[m（X）ln m（X）]（1），其中m（X）：=|f（X）/f（X）是度量值的变化，E[o]表示期望值w.r.t.f（X）。特别是，我们对标称模型周围半径η>0的球Pη内的替代模型感兴趣；i、 e.，其特点是KL散度低于或等于η。设Va（X）表示与X相关的风险度量，该度量取决于集合a上的投资组合权重；经典的最优投资组合问题isinfa∈AE【Va（X）】，（2）而最坏情况下的投资组合选择对应于NFASUPM∈PηE【m（X）Va（X）】。（3） 可以证明，它等价于对偶问题（参见Boyd和Vandenberghe 2004）infainfθ>0supmL（θ，a；m（X））（4），其中l（θ，a；m（X））=em（X）Va（X）-θm（X）ln m（X）- η是与（3）中约束最大化问题相关的拉格朗日函数。因此，在最坏情况下的投资组合选择中，必须解决三个嵌套优化问题，其中内部问题是有限维优化。虽然内部优化问题是功能分析中的一个标准问题，可以找到封闭形式的解决方案（参见Lam 2016），但其他两个问题的存在使得优化选择成为一个具有挑战性的运筹学问题。

Glasserman和Xu（2014）提出了一种数值方法来解决这个问题。在这项研究中，我们提供了一个解析解，并且从数值的角度证明了这个问题是有挑战性的。本文有三个主要贡献。首先，当资产收益率为高斯分布时，我们用最坏情况法解析求解模型风险优化问题。这一结果适用于比Glasserman和Xu（2014）数值求解的问题范围更广的一类问题。特别是，我们考虑o一种通用的均值-方差选择，而不仅仅是我们施加最坏情况均值等于标称均值的额外约束的情况（参见Glasserman和Xu 2014，第36页）；oθ的所有可能值，允许一个适定问题，并且我们不会将分析限制为“θ>0非常小”（参见Glasserman和Xu 2014，第31页）；i、 e.我们不只考虑小球Pη。其次，我们还提供了在替代模型中施加常数平均值附加约束的特殊情况下的解决方案：这是Glasserman和Xu（2014，参见公式（30），第36页）考虑的优化问题。第三，我们证明了在最小方差情况下和投资组合中所有资产均值相等的对称情况下，最优最坏情况投资组合与最优名义投资组合相同。此外，我们证明了在这些情况下，模型风险和估计风险是一致的：我们证明了在球Pη内的任何替代模型都可以通过参数变化获得。这一结果与Glasserman和Xu（2014，图1，第37页）的数值解不同。本文的其余部分结构如下。在第2节中，我们回顾了问题的表述。第3节，我们在均值-方差框架下给出了模型风险分析解。

在第4节中，我们详细研究了Glasserman和Xu（2014）所考虑的均值方差与固定均值的情况。在第5节中，我们重点讨论了备选模型中的最优投资组合与名义模型中的最优投资组合重合的情况，并提供了数值示例。第6节总结本文。2问题公式在本节中，我们回顾模型风险的最坏情况方法。设X表示模型的随机元素，a表示集合a上的参数向量范围；名义模型对应于解决名义测度中的优化问题（2），而替代模型对应于与替代测度相关的相同问题，用KL ball Pη选择，R（|f，f）<η；i、 e.在与标称模型的KL偏差小于正常数η的所有模型中。在最好的情况和最坏的情况下，优化问题变成infainfm公司∈PηE[m（X）Va（X）]最佳情况，infasupm∈PηE【m（X）Va（X）】最坏情况。在投资组合选择中，为了有一个稳健的衡量标准，我们对最坏情况的方法更感兴趣，因此，除非有不同的说明，否则在下文中，我们将重点关注与风险衡量标准的最高可能价值相对应的这种情况；在另一种情况下，经过必要的修改，类似的结果也成立。本节的其余部分组织如下。首先，为了澄清利息情况下使用的符号，我们总结了经典的均值-方差投资组合理论及其主要结果（Markowitz1952，Merton 1972）。

然后，按照Glasserman和Xu（2014）的注释，我们总结了在相当普遍的情况下最坏情况模型风险法的主要结果。2.1经典投资组合理论在本研究中，名义模型以n种风险证券为特征，这些证券被建模为资产回报向量X∈ RN分布为多元正态X~ N（u，∑），带∑∈ Rn×具有严格正对角元素的正有限矩阵。设a为portfolioweights的向量，在集合a中定义：={a:aT1=1}，其中1是所有1的RN中的向量。在均值-方差框架中，考虑风险的二次度量；i、 e.方差（乘以γ，一个积极的风险规避参数）与投资组合预期回报之间的差异（X）：=γaT（X- u）（X- u）Ta- aTX，γ>0。（5） 风险度量值isE[Va（X）]=γaT∑a- 在u。问题在于最小化所有投资组合a的风险度量值，权重为1。使用拉格朗日乘子，均值-方差投资组合选择问题可以写成∑a处的最小γ- u+α时1.- 在o（6），其中α是乘数。继Merton（1972）之后，我们引入了符号a：=1T∑-1uB：=uT∑-1uC：=1T∑-11 D：=BC- A.（7） 很容易证明B，C>0和D≥ 0（参见Merton 1972）。最优均值-方差投资组合（见Merton 1972，等式（9），p.1854）isa？nom=Aγ∑-1uA+1.-AγΣ-1C。（8） 有最优投资组合a吗？nomis最优前沿中两个投资组合的线性组合？：=Σ-1u/A和A？：=Σ-11/C，其中后者是最小方差的投资组合。这一重要结果也被称为两个共同基金定理。2.2最坏情况下的模型风险我们简要回顾了用于构建备选模型的模型风险公式。

特别是，我们关注最坏情况下的投资组合选择（3）；i、 e.考虑KL ball Pη内风险度量的最大值的值。该最坏情况问题等效于对偶问题（4），其中Va（X）定义在（5）中；在θ<0的最佳情况下，经过必要的修改，同样的结果也适用。评论Glasserman和Xu（2014）考虑了附加约束u=E[m（X）X]的特殊情况；在他们的情况下，等效于考虑风险vgxa（X）：=γaT（X），而不是（5- u）（X- u）Ta- u时，γ>0。（9） 在第4节中，我们表明，即使在这种特殊情况下，在均值-方差框架中得到的所有结果都成立。因此，我们必须考虑（4）中的三个嵌套优化问题。内部优化问题是功能分析中的标准问题。对于给定θ>0和给定a∈ A、 （4）ism中变量m（X）的内部最大化问题的解？θ、 a（X）=exp（θVa（X））E[exp（θVa（X））]。（10） 这一结果在文献中是已知的（参见Glasserman和Xu 2014，Hansen和Sargent2008）。有关完整的证明，感兴趣的读者可以参考Lam（2016，提案3.1）。不幸的是，其他两种优化方法更具挑战性，在相关文献中找不到封闭形式的解决方案。在讨论a和θ中的两个优化细节之前，有趣的是观察在内部最大化问题的最优解R（θ，a）上计算的熵的一些性质：=R（f m？θ，a，f）（11），其中R（|f，f）在（1）中定义。它们在下面的引理中陈述。任何（θ，a）s.t.m的引理1？θ、 （10）中的a（X）定义良好，对于任何投资组合a，R（θ，a）是θ>0的单调递增函数（θ<0时单调递减）。证据

见附录A让我们强调一下，前面的引理显示了一个一般性质，它不依赖于X的分布和风险Va（X）的度量。如引言中所述，在本文中，我们将X分布为一个多元正态X~ N（u，∑）和一般平均方差框架（即，采用（5）中定义的风险度量）。现在，我们推导出一个必要且有效的条件，在该条件下，度量值（10）的变化得到了很好的定义，并且我们在任何投资组合a的替代模型中发现了X的分布∈ A、 引理2 Let X~ N（u，∑），测量值m的变化？θ、 （10）中的a（X）当且仅当θ∈ [0，θmax（a）），其中θ<θmax（a）：=γaT∑a.（12），此外，对于任何a∈ A、 在替代模型中，f（X）对应于m？θ、 a（X），X作为多元正态r.v.分布，即X~ N（|u，|∑），其中|u=u- θИ∑a ∑=Σ-1.- θγa aT-1.（13）证明。首先，我们证明m？θ、 （10）中的a（X）定义良好。让我们观察到，测量值（10）发生明确变化的一个必要且有效的条件是E[exp（θVa（X））]是有限的。我们考虑X~ N（u，∑）和Va（X）如（5）所示，因此我们得到[exp（θVa（X））]=ZdXp（2π）ndet（∑）exp-θaTX-（十）- u）T ∑-1（X- u),其中∑-1:= Σ-1.- θγa是一个对称矩阵。当且仅当矩阵∑时，积分是有限的-1是积极的定义。为了证明这一事实，我们分两步进行：首先，我们计算∑的行列式-然后我们在特征值的符号上陈述一个性质。为了计算行列式，我们使用矩阵行列式引理（参见Harville 1997，定理18.1.1，第416页），该引理表示Σ-1.- θγaaT=1.- θγ在∑adet公司Σ-1.. （14） 因此，∑的行列式-当且仅当条件（12）成立时，1为正。如果det ∑-1正，则∑-1也是可逆的；我们将∑定义为其逆项。

我们已经验证了（12）是获得∑的必要条件-1，因此∑为正定义。我们现在证明了条件θ<θmax（a）也足以使矩阵∑-1积极定义。设λibe为∑的特征值。逆矩阵的特征值∑-1是倒数1/λi。让我们定义1/λ，即∑的特征值-以下不等式成立（参见甘特马赫和克雷1960，定理17，第64-66页）~λ≤λ≤~λ≤λ≤ ··· ≤λn≤λn。因为矩阵∑-1为正定义，1/λi均为正，因此∑-1有n个- 1积极的价值观。也有∑-1a正行列式（参见方程式（14）），我们得出结论，正定义和条件（12）是必要的，并且能够充分定义整个问题。在这种情况下，在完成平方后，我们得到e[exp（θVa（X））]=qdet（∑∧∑∑-1） 经验值-θaTu+θaT∑a.其次，我们考虑替代模型中X的密度f（X）。对于任何a∈ A、 它是▄f（X）=m？θ、 a（X）f（X），当且仅当m？θ、 a（X）定义明确。在这种情况下，f（X）是具有均值和方差（13）的高斯密度我们注意到，在最佳情况下，θ<0时，没有必要对θ施加任何附加条件；i、 e.替代措施已明确θ ∈ <-: 这是处理最佳案例方法时应考虑的唯一区别。条件（12）确定了θ的所有可能值的域，这些值允许一个适定问题，而不仅仅限于θ的小值和渐近结果，如Glasserman和Xu（2014，p.31）。在本文的其余部分中，我们考虑D定义的asD中的θ和a：=（θ，a）s.t.θaT∑a<γ. （15） 我们现在考虑（4）中的两个外部优化问题。首先，让我们定义在测量值（θ，a）的最佳变化中计算的拉格朗日函数：=Lθ、 a；m？θ、 a=θln E[exp（θVa（X））]+ηθ。