高斯收益下的最优动态策略

Wick\'stheorem已应用于从粒子物理到量子场论再到股票收益率的各个领域，最近有一些研究成果可扩展到非高斯分布（例如，高斯混合参见[Michalowicz et al.，2011]，二次型和椭圆分布的乘积参见[Kan，2008]），并通过中心极限定理将其应用于连续过程（见【Parczewski，2014】）。我们在动态（算法）交易策略的背景下使用了这些定理，以闭合形式找到了战略回报的前四个时刻的表达式。虽然并非所有交易策略科学研究的目的都是寻找封闭式表达式，但我们能够轻松描述最佳策略回报率，这一方向相对具有吸引力，并允许未来进行大量扩展。本文件分为关于一项资产的几节，在一个时期内进行考虑。对于异常信号，我们将表明在单周期夏普比、偏度和峰度上存在一个普适界。我们解释了总体最小二乘法或正交最小二乘法作为OLS策略优化的替代方法的作用。我们研究了这些动态策略测量夏普比标准误差的相应条件，改进了更常用的基于大样本理论的标准误差。我们还介绍了基度和峰度的标准误差，这与高斯回报的标准误差不同，并给出了有关多资产和多元化的一些基本结果。最后，我们讨论了productmeasures的作用，它比简单的高斯测度更适合于动态策略的研究。在附录中，我们给出了非零均值情况下夏普比率的闭式解。我们还讨论了在存在交易成本的情况下对优化的扩展。我们还涉及到多个时期的延伸。

正如我们所提到的，通过使用协方差惩罚（类似于Mallow的Cpor AIC/BIC）对过度拟合的进一步扩展已在[Koshiyama和Firoozye，2018年]中单独介绍。2单期线性策略我们考虑单个资产的（对数）回报率，Rt~ N（0，σR）在滞后k时返回自协方差函数，γ（k）=E[RtRt-k] ，以及相应的自相关函数（ACF），c（k）=γ（k）/γ（0），滞后k。我们的主要目标是使用基于线性投资组合权重（或信号）Xt=∑的策略∞akRt公司-kfor系数AK生成相应的动态策略返回SST=Xt·Rt（这里并且始终假设信号Xt仅具有适当的滞后信息）。示例策略权重包括指数加权移动平均SAK∝ λk，简单移动平均数ak=T[1，…，T]，来自ARMA模型的预测等。最重要的是，投资组合权重X是正态的，并且与收益率R共同正态。在附录B中，我们表明，对于导言中讨论的一组广泛的信号，当应用于高斯收益时，信号和收益是共同高斯的。我们将注意力限制在单一时期内的回报分布上。在许多动量策略的情况下，这段时间可能是一天，如果不是更长的话。对于更高频率的日间策略，这段时间可以更短。相关的担忧是，地平线（即一个时期）与重新平衡战略权重的地平线相同。如果每五分钟重新平衡一次权重，则单个周期应为五分钟。这是一个必要的假设，以确保信号和未来回报的联合正态性。

此外，这个假设将为我们的结果提供一些背景，这意味着动态线性策略的最大夏普比、最大偏度和最大峰度。我们感兴趣的是描述该策略无条件回报的时刻、估计量的相应标准误差，以及通过使用信号的非线性转换优化各种无量纲回报度量的方法，如夏普比率。我们的目标是查看该策略的无条件属性。在策略设计中避免预见性很重要，这会直接影响策略的条件属性（例如，条件密度涉及对当前观测信号的条件化，以确定收益的属性，这只是高斯分布）。在我们的研究背景下，我们关注的是我们策略的非条件回报分布的提前一段时间的回报，在这种情况下，信号和回报都是不可观察的，并且由此产生的分布（在我们的例子中，是两个正态的乘积）更丰富、更现实——对于感兴趣的读者来说，我们在附录G.2.1中对我们的框架进行了更详细的讨论。由于信号和回报的联合正态性，我们可以明确描述单期策略回报的特征（见【Cui等人，2016年】）。为了允许更大的可扩展性，我们倾向于只考虑结果分布的矩。可以使用Isserlis定理（Isserlis，1918）简单地描述这些特征，该定理给出了任何多变量非线性随机变量在均值和方差方面的所有矩。我们还提到了[霍尔丹，1942年]，他精心制作了高斯幂和乘积的非中心矩和中心矩。

虽然这是Isserlis定理的常规应用，但代数可以是中间的，所以我们引用了结果。定理2.1（Isserlis（1918））。如果X~ N（0，∑），则ne[XX···X2n]=2nXi=1Yi6=jE[XiXj]和[XX··X2n]-1] =0，其中所有（2n）上的QIs/（2nn！）X，X，…的唯一分区。X2ninto pairsXiXj。霍尔丹的论文引用了大量基于矩的结果，对每个法线的各种幂进行了计算。我们引用了相关结果。定理2.2（Haldane（1942））。如果x，y~ N（0，1），相关系数ρthenE[xy]=ρE[xy]=1+2ρE[xy]=3ρ（3+2ρ）E[xy]=3（3+24ρ+8ρ），因此xy的中心矩为u=ρ（1）u=1+ρ（2）u=2ρ（3+ρ）（3）u=3（3+14ρ+3ρ）（4），从这些单周期矩（以及给出σ（x）和σ（y）依赖关系的简单标度参数）我们可以表征夏普比、偏度等等。，也可以定义目标函数，以确定给定策略的某种最佳感。定理2.3（线性高斯）。对于单资产回报和单期策略，Rt~N（0，σR）和Xt~ N（0，σX）与相关ρ共同正态，夏普比为nbysr=ρp1+ρ，（5）偏度为γ=2ρ（3+ρ）（1+ρ），（6），峰度为γ=3（3+14ρ+3ρ）（1+ρ）（7），在附录中，我们将方程（5）和（6）扩展到非零均值的情况。证据定理2.2的简单应用为我们的策略St=Xt·Rt给出了以下前两个时刻：u=E[St]=E[X·R]=σXσRρ。u=V ar[St]=σXσR（ρ+1）。因此，我们可以得出夏普比的以下结果，夏普=u1/2=σXσRρσXσR√ρ+1=ρ√ρ+1此外，我们可以看到偏度，γ=u3/2=2ρ（3+ρ）（1+ρ）3/2最后，峰度由γ=u=3（3+14ρ+3ρ）（1+ρ）给出。如果我们将注意力限制在正相关上，所有三个无量纲统计量的ρ都是单调递增的。

因此，尽管相关性对夏普比、偏斜度和峰度的影响不同，但将其中一个统计数据最大化的策略将使其他统计数据最大化。我们在下面的图表中说明了相互依赖关系，描述了变量之间的关系。在图2中，蓝色阴影的直方图对应于相关范围({[-1.-0.5], [-0.5, 0], [0, 0.5], [0.5, 1]}). 我们注意到，相关性中的auniform分布映射为极端Sharpe比率的更高可能性，以及极端偏度和峰度的更高可能性。图2：相关性、夏普比、偏度和峰度成对关系。相关性中的均匀分布分为四个范围{[-1.-0.5], [-0.5,0]，[0,0.5]，[0.5,1]}如条形图中蓝色阴影所示。将相关性转换为SR、γ和γ后，频率不再均匀。倾斜范围[-23/2, 23/2] ≈ [-2.8, 2.8]. 与夏普比率不同，偏度对相关性的依赖往往会减弱，因此要实现90%的峰值偏度，只需实现0.60的相关性，而对于90%的峰值夏普，则需要0.85的相关性。峰度是一个偶数函数，最小值为9，最大值为15。实际上，相关性在很大程度上接近于零，由此产生的偏度和峰度明显小于最大值。虽然我们分析了策略St=XtRt的时刻，但实际已知的完整产品密度为封闭形式（见附录A，【Cui等人，2016年】和【Nadarajah Pogány，2016年】）。很明显，即使在不具有预测性的情况下，策略的分布也是轻量级的（当相关性为零时，策略的峰度为9）。

在ρ极限内→ 1，当考虑最优线性动态策略的设计时，策略的密度接近非中心χ，这是一种有效的最佳情况密度。具有有效滞后的优化策略（以及确保节约的手段）可能能够捕获均值回归和趋势，并产生更高的相关性。在这种相对较低的频率下，对于单一资产策略，0.5-1.5之间的年化夏普比率是最常见的（即相关性在3%到9%之间）。2.2优化：最大相关，总最小二乘许多算法交易者将解释策略优化有多大问题，考虑到过度匹配等问题。虽然这些问题是一个问题，但单纯使用仅是凭空捏造的策略同样存在问题，在没有明确使用优化的情况下（取而代之的是更多的吸引眼球的策略或以夏普比率为目标，而不是松散地，实际上是一种有点松散的心理优化练习）。实际考虑可靠和真实回报既不是高斯回报，也不是平稳回报。我们毫不犹豫地认为，使用优化和明确的效用函数作为起点是防止策略成为未经测试的启发式的一种手段。与大多数全权委托交易者的启发式（或经验法则）不同，启发式定量交易策略作为处理不确定性的一种手段占有一席之地（例如参见【Gigerenzer和Todd，1999年】），启发式定量交易策略具有完全武断的风险，或受到大量人为偏见的影响，与蒙尼克尔定量投资策略形成鲜明对比。图3：标准普尔500指数反转策略的EWMA策略夏普比率与α、MSE和相关性在使用优化的情况下，最常用的优化方法是最小化预测的均方误差（MSE）。

我们的结果表明，如果目标是最大化夏普比率，我们必须最大化相关性，而不是最小化信号和预测回报之间的Lnorm（或最大化可能性）。我们可以在图3和图4中看到，使用WMA和HW过滤器对各种参数应用于标准普尔500指数的策略的描述。如图3所示，EWMA滤波器的MSE和Sharpe比率之间的关系在MSE中不是单调的，而在相关性和Sharpe之间的关系中，它更接近于线性。对于HW（具有两个参数）的情况，在图4中，任何给定的均方误差都可能导致夏普比不均匀，有时范围非常广，这导致我们得出结论，优化是不适定的。与Sharpe的相关性明显接近于线性关系，较高的相关性几乎总是导致较高的Sharpe比率。对于具有（无约束）线性信号的一维预测问题，优化相关性相当于使用所谓的总体最小二乘回归图4：Holt-Winters策略Sharpe比率vs MSE以及S&P500反转策略（TLS）或正交距离回归的相关性，主成分回归的一种形式（参见，例如，【Golub和Van Loan，1980年】和【Markovsky和Van Hu ffell，2007年】）。在多变量情况下，它与典型相关分析（CCA）的关系更密切。与OLS不同，在OLS中，因变量被假设为有误差测量，自变量被假设为无误差测量，在总最小二乘回归中，因变量和自变量都被假设为有误差测量，目标函数通过最小化到固定超平面的正交距离的平方和来对此进行补偿。

这是变量误差（EIV）回归的一种简单形式，自19世纪70年代末以来一直在研究，与主成分分析密切相关。对于k回归系数，TLS将产生与前k正交的权重- 1主要成分。因此，如果我们认为信号X=Zβ是特征的线性组合，Z∈ Rka k维特征空间，然后我们注意到^βOLS=（ZZ）-1ZRbut^βT LS=（ZZ- σk+1I）-1Zr其中σk+1是T×（k+1）维矩阵X=[R，Z]的最小奇异值（即特征和返回的串联，参见，例如，[Rahman和Yu，1987]）。众所周知，对于OLS的情况，光滑或帽状矩阵^R=MR由mols=Z（ZZ）给出-1ztr（MOLS）=k，特征数。相反，MT LS=Z（ZZ- σk+1I）-1 ZAND有效地拥有比OLS更多的自由度，即tr（MT LS）≥ tr（MOLS）提取TLS估计值的一种更常见的方法是通过串联矩阵^X的主成分分析，其中^βT LSI选择在完全共线的情况下以相等的方式取消最不重要的主成分。因此，许多人认为TLS是一种反正则化方法，可能会导致对异常值的响应不太稳定（例如，参见[Zhang，2017]）。因此，对RegulativeDTLS进行了广泛的研究，通常使用加权岭回归（或Tikhonov）惩罚（有关这一大型研究的更多细节，请参见【Zhang，2017】中的讨论）。TLS在样本外表现的稳定性是我们在过度匹配惩罚研究中提出的一个问题（见[Koshiyama和Firoozye，2018年]）。虽然最大化相关性而不是最小化均方误差似乎是目标函数中一个非常微小的变化，但公式与标准OLS的公式不同。最终结果是一个线性拟合，它考虑了基础条件信息中的误差。

我们认为，当特征被适当归一化时，其影响应该相对较小，就像单变量时间序列估计的情况一样，尽管一些作者认为优化TLS不适合预测（例如，参见【Fuller，2009】第1.6.3节）。当我们寻求策略的夏普比率最大化时，目标不应该是预测，而应该是最佳权重选择。2.3最大夏普比、最大偏度、最小峰度令人惊讶的是，线性策略似乎存在最大夏普比。在正态信号和正态收益的情况下，最大夏普比是非中心χ分布的夏普比，由此产生的最大统计量为Rmax=√≈ 0.707γmax=2√2.≈ 2.828γmax=15.000虽然夏普比率的估计值似乎出人意料地低，但我们评论说，这是针对一个时期，针对一个再平衡。对于每日重新平衡的策略，如果我们天真地将夏普比率按年计算（按√252），我们得到了近似SRmax的最大锐度≈ 11.225，一个通常远远超出实际水平的水平。统计数据γmax和γmax在年化时不成比例，但在时间范围内仍然很大。我们注意到，通过考虑信号X的非线性变换，我们的正态性假设很容易放松，最终结果是最大夏普比边界放松。虽然这超出了当前论文的范围，但我们注意到，很容易显示简单的非线性策略，如果信号高于阈值，则长一个单位，如果信号低于阈值，则短一个单位-k、 即，fk（X）=X>k-根据阈值k的选择，X<kc可以显示具有任意大的夏普比。

启动如此任意高的夏普比率交易的可能性同样降低到可以忽略不计。在这种情况下，还知道tr（M）=tr（L），其中L=（ZZ- σk+1I）-我们知道σ（L）={λi/（λi）的奇异值- σk+1）}其中λi是Z的奇异值（或相应地，λi是ZZ的奇异值），λ≥ · · · ≥ λk>0（【乐阳，2012】）。由Wilkinson Interracingtheorem编制，λk≥ σk+1≥ 0（见【Rahman和Yu，1987】）。因此，tr（MT LS）=Xiλi（λi- σk+1）≥ k=tr（摩尔），等式i fσk+1=0（即，当R=100%，因此OLS和TLS重合时）。换句话说，tr（MT LS）≥ tr（摩尔）。所以，具有小的非零自相关的平稳收益可能会导致违反Hansen-Jagannathan（或良好交易界限）。从这些公式中也可以注意到，虽然夏普和偏度可能会改变符号，但峰度始终有界，并且最小值为9（即，多余峰度为6）。由于Jarque-Bera检验的理论值为，atJB（n）=n，因此得出的策略回报的正态性不是一个好的基本假设- k+1（γ+（γ- 3))≥（n）- k+1）（）=1.5（n- k+1），这是渐近χ（2）（即在0.99置信区间jb>9.210时拒绝正态性）。理论上，我们需要相对较小的样本才能拒绝正态性。3定义的标准误差鉴于我们对动态线性策略的许多相关统计数据进行了封闭式估计，因此考虑估计误差对夏普比率等数量的影响是有意义的。