高斯收益下的最优动态策略

许多在实践中考虑动态策略的分析师和交易者会考虑持续改变策略，并且通常会对在改变策略时观察到的夏普比率或偏度变化是否具有统计意义持怀疑态度。3.1夏普比率的标准误差虽然有通用资产夏普比率的标准误差公式，但这些不是动态交易策略产生的特定夏普比率，因此，有可能对其进行重新定义。我们参考【Pav，2016】对夏普比率的机制进行了详尽的概述，特别是第1.4节，引用了许多关于标准误差的已知结果。具体而言，考虑到收益的渐近正态性，我们期待【Lo，2002】获得一般资产夏佩尔蒂奥标准误差的大样本估计。对于大小为Nand IID的样本，他得到了大样本分布cSR~ NSR，斯特德罗,所以一个标准误差，strlo=q（1+SR）/T，他建议应该用标准误差q（1+cSR）/T来近似。虽然Lo的估计可能适用于一般资产，但对于从动态策略得出的夏普比率，我们对估计夏普比率的可变性有了更明确的描述。对于相关的高斯信号和返回，我们得出以下结果滚动3.1（STDERS）。对于返回Rt~ N（0，σR）和信号Xt~ N（0，σX）与相关系数ρ和样本量T，标准误差由TDerrimplicated=（ρ+1）3/2q1给出-^ρT-2(8)≈ (1 -cSR）q1-2cSRT公司-2（9）对于| cSR |<√2/2.证据

众所周知，对于样本量为T的二元高斯过程，样本（Pearson）相关性的分布由^ρ给出~ fρ（ρ）=（T- 2)(1 - ρ） （T-1)/2(1 - ^ρ）（T-4） /2πZ∞dw（cosh（w）- ρ^ρ）T-1（10）近似方程式（10）中的标准误差ρarestderrρ=r1- ^ρT- 2（归于Sheppard，Pearson使用，参见，例如，【Hald，2008】）。结合定理2.3的结果，我们应用delta方法发现，我们对夏普比率的插件估计所产生的标准误差，cSR=^ρ√ρ+1由TDERR默示给出=企业社会责任 ρ·标准ρ=（ρ+1）3/2r1- ^ρT- 2.这给了我们等式（8）。如果我们用CSR来求解^ρ，我们就可以导出方程（9）。我们注意到，尽管Lo的标准误差非常接近我们对大样本量的估计，但我们估计的整个样本分布比N（0，stderlo）更加集中，可能导致99%或更高置信水平的置信区间更紧。我们可以看到，Lois给出的分布尾部比我们的要胖得多，如图（6）。Mertens给出了Lo的结果（【Mertens，2002年】）的一个补充，包括对倾斜度和过度峭度的调整：stderrMertens=1+^SR- γ·^SR+γ- 3·^SR. （11） 如果我们将偏度和多余峰度的插件估计值（即，来自方程式（6和7））转换为方程式（11），我们能够找到比Lo更严格的标准误差估计值。对于大多数较小的振幅相关性，该估计值与我们的标准误差估计值非常接近（见图（7）），对于较小的N和低相关性，Lo的标准误差实际上更为严格。对于较大的相关性，我们的标准误差非常严格。对于大样本量，它们之间几乎没有差异。

使用我们对γ和γ的估计，Mertens的近似总是比Lo的更紧；特别是对于相关性|ρ|<0.5，Mertens近似值似乎与我们的近似值几乎相同。尽管如此，在第5节中，weargue指出，如果度量值之间存在任何显著差异，我们的标准误差更适合动态策略。图5：基于不同样本大小的夏普比率和置信区间比较。我们注意到，尽管主要是为了更大的预测能力，但隐含置信区间在Lo范围内。图6:Sharpe比率完全分布虽然第95百分位显示了Lo的大样本标准误差和隐含标准误差之间的密切一致，但隐含标准误差的分布更为厚尾。3.2高动量的标准误差使用完全相同的程序，我们可以很容易地得出偏度和峰度的标准误差。就经典置信区间而言，我们考虑了适用于高斯（和非高斯）分布的[Joanes和Gill，1998]和[Cramér，1946]，注意到[Lo，2002]是夏普比率大样本限的更广泛结果。我们关注皮尔逊偏斜度和峰度，即γ=umu3/2γ=uu，尽管不难使用[Jones和Gill，1998]中给出的矩无偏估计来考虑偏斜度和峰度的其他定义，在这种情况下，这是从[Cramér，1946]开始的。鉴于这些定义，在假设基本回报率为正态（或相应地，使用大样本限制）的情况下，样本量为，标准误差为误差γ=q6（T-2） （T+1）（T+3）标准γ=q24T（T-2） （T-3） （T+1）（T+3）（T+5）在动态策略的情况下，使用我们对正常信号和正常回报的假设，我们能够得出以下结果：图7：基于不同样本大小和公式的标准误差。

忽略参数不确定性，Merten对Lo标准误差的调整将标准误差提高到几乎与暗示的一样紧密。在实践中，参数的不确定性会影响性能。推论3.2（更高的力矩标准误差）。对于返回Rt~ N（0，σR）和signalXt~ N（0，σX），相关系数ρ和样本量T，标准误差由TDERRγ=-6(^ρ-1） （ρ+1）5/2·q1-^ρT-2和标准γ=-48^ρ(^ρ-1） （ρ+1）·q1-^ρT-2对于|ρ|<1。我们依靠delta方法，认识到stderrγk=γk/ρ·stderrρ，k=3，4。考虑到以下易于计算的导数：γρ= -6(ρ-1)(ρ+1)5/2(12)γρ= -48ρ(ρ-1） （ρ+1）（13）正如我们从推论（3.2）中的公式中可以看出的那样，当ρ=1时，推导出的陡度和峰度的标准误差都会下降到零。虽然我们可以用k=3，4的γkf来求解ρ，但公式并不容易给出（尤其是对于峰度），我们相信，从相关性的角度来看，这种说法更容易使用。我们注意到，与【Lo，2002】中提出的使用我们定义的标准误差的论点不同，使用方程式（12）中所述的偏度和峰度标准误差的理由是，就大多数实际目的而言，回报并不接近正态，两个正态的乘积与动态策略更相关。我们在第5.4节“多重资产”中对此进行了详细阐述。我们考虑在我们的投资组合中增加更多独立赌注是否会带来多元化的好处，以及我们可以从中受益的程度。在上下文中，我们注意到动态策略组合的行为可能与单一策略非常不同。

例如，虽然ρ可以用γ或γ来表示，以从这些表达式中消除ρ，但与夏普比的标准误差不同，这些表达式太复杂，没有那么有用。图8：不同样本量的偏度标准误差，隐含vsGaussian隐含标准误差，尤其是偏度的标准误差通常大于正态分布的标准误差。我们认为隐含标准误差更适合动态策略。图9：不同样本大小的峭度标准误差，隐含与高斯隐含峭度标准误差有时比高斯情况更大，有时更紧。我们认为隐含的标准误差更适合于动态策略。Ho ffman Kaminski已经指出（【Ho ffman Kaminski，2016年】）虽然单一策略的偏斜度可以在[1.3,1.7]左右，峰度可以在[8.8,15.3]之间，但投资组合的偏斜度可以低至0.1。我们首先将N个独立收益视为N向量Rt~ N（0，σI），假设具有相同的方差。我们设计信号Xt~ N（0，γI）。内积Xt·Rthasa密度ψ，其矩母函数由【Simons，2006】：MN（t）=（1）给出- 2tσγρ- σγt（1- ρ))-第2页。由此我们可以很容易地得出四个矩：u，=Nσγρu=Nσγ（（N+1）ρ+1）u=N（N+2）σγρ（（N+1）ρ+3）u=σγ（N+6）（N+4）（N+2）Nρ+3（N+2）N（1- ρ） +6（N+f 4）（N+2）Nρ（1- ρ)这导致集中力矩σ=N（ρ+1）和uc=2Nρ（ρ+3），由此我们得出夏普比：SR=√Nρpρ+1最大化ρ上的SR导致√N√, 在测量夏普比率时，清楚地显示多元化的好处。偏度为γ=√N2ρ（ρ+3）（ρ+1）3/2如果我们考虑最大夏普，相应的偏度是γmax=8N（2N）3/2=√√n将按1的顺序显示减少/√N（正交）资产总数。这与大型多元化投资组合的预期一样。

在极限中，中心极限理论的简单应用应给出渐近正态性。有效地，引入更纯粹的正交资产将增加夏普比率，但会降低（相对理想的）正偏度。如果我们有多个可能相关的资产和多个可能相关的信号，我们认为最佳策略是执行典型相关分析（CCA），从而产生一组不相关的策略（使用和组合信号来加权资产组合）。由此产生的策略是不相关的，但具有不等的回报和方差。本节的许多结果将在衡量投资组合回报后适用。使用简单的均值-方差分析可以很容易地优化最终结果（重新加权独立策略的回报）。我们把细节留给另一项研究。虽然我们的优化器不太可能在CTA中使用，但值得注意的是，广泛多样的CTA（无论基础资产相关性如何）似乎具有适当的锐度，但正偏度相对较低，这与本节的讨论非常一致。我们这里关于最终夏普比率和偏度的简单结果当然取决于基础资产的独立性，当然也取决于信号本身，信号本身必须与各自的资产回报率相关。

虽然这不是一个完全自然的设置，但它暗示了引入纯粹正交风险源，或者在形成信号之前正交化（或尝试）资产回报，然后再重组为投资组合，可以获得收益，这可能会导致投资组合的属性远比多个非正交化资产的发现策略更令人满意。5高斯回报与高斯回报的乘积虽然我们认为高斯回报（和高斯信号）的假设是一种简化，但我们也认为这远比动态策略的高斯回报假设更现实。在本文中，我们考虑高斯（log）返回R~ N（0，σR）和高斯信号X~ N（0，σX）共同为高斯分布，共同构成动态策略St=XtRt的组成部分，我们研究其性质。要明确的是，我们的信号被认为没有远见，完全被认为是时间t的，而返回RTI是从t到t+δt。所有计算的期望都是无条件的，或者可以被认为是以t<t<t+δt为条件的。因此，每个元素、信号和返回都是随机变量。如果我们考虑以t为条件的期望，那么得到的策略回报率st将是微不足道的高斯分布。在无条件的情况下，产生的回报要有趣得多，也更相关。众所周知，CTA回报在我们关注的相关领域（即每日、每周、每月）通常是正偏斜和高度库尔托的，正如【Potters和Bouchaud，2005年】、【Hoffman Kaminski，2016年】和其他人所指出的那样。如果我们通过首先找到线性向量wand Vwith | w |=| v |=1来测量Farcononical相关性（来自【Hotelling，1936】，参见【Rencher and Christiansen，2012】），从而使ρ（w·R，v·X）最大化。

由此产生的相关性就是典型相关性。通过确定随后的单位向量wk和vk来定义正则变量，使得ρ（wk·R，wj·R）=δkj，ρ（vk·X，vj·X）=δkj，并且ρ（wk·R，vk·X）最大化，从而导致ρ（wk·R，vj·X）=rkδkj。解决方案是通过一个广义deigenvalue问题∑-1RR∑RX∑-1XX∑XRwk=rkwk∑-1XX∑XR∑-1RR∑RXvk=Rkvkw其中∑是（R，X）的分块相关矩阵，正则相关系数wk和vkare是具有相同特征值rk的向量。对应的规范策略组合，SCCAk≡（vk·X）（wk·R）每个都有回报和方差，如方程（1和2）所示，具有相应的相关性rk（即，由SR[Sk]=rk/qrk+1给出的夏普比率），并且由于其独立性，可以很容易地进行加权以优化投资组合夏普比率。当然，由于资产回报的独立性，对cannonicalstrategies进行加权的方法与风险平价投资组合类似。我们断言，该方法给出了信号和收益线性组合的最大夏普比，尽管我们将此证明留给后续的论文。长期回报率，渐近理论应该表明像偏斜这样的有利品质可能会消失。因此，尽管我们对源自eitheraptomotic理论（例如，【Lo，2002】）的结果进行了许多比较，或者使用了精确的正态性，但实际上，这种比较并没有逐项进行比较。显然【Lo，2002】适用于大样本，因为在中心极限定理（CLT）成立的条件下，可能存在这种情况，例如，弱依赖性，在越来越长的期限内求和回报，或者在大截面维度和越来越多的不相关资产的情况下。

对于动态策略，对于大量不相关的动态策略以及单个动态策略的长期回报（例如，年度或更长时间，非重叠），应期望渐近正态性。因此，我们认为我们的标准误差结果更适合于动态策略统计的假设检验。我们在附录a中讨论了将productmeasures建立为大样本限的策略，尽管渐近性超出了当前研究的范围。6结论：大部分资产管理行业以及许多非机构参与者都使用了完全系统的动态战略。与此同时，他们只是部分了解。许多基金和战略（例如，尤其是投资银行智能测试版或基于风格的产品）涉及对任何意义上都未优化的战略的投资。通过指数掉期支付的策略在适应性方面有很大的局限性，往往会导致非常不理想的最终结果。虽然在这些动态策略的理论性质方面已经得出了一些非常重要的结果，但仍有许多工作要做。鉴于该领域的大多数学术文献都考虑了更一般的分布，因此还没有建立和扩展这些结果的坚实基础。希望本文能为研究动态战略以及如何优化动态战略奠定基础。我们致力于了解它们的特性，而不是声称理解它们为什么工作（即为什么首先存在稳定的ACF）。鉴于已知大多数资产收益率具有非平凡的自相关，我们可以得出许多结果。

特别是，我们仅通过将众所周知的技术应用于动态战略，就得出了许多结果，例如：o战略回报可以显示为正偏态和leptokurtic。o夏普比可以表征，偏度和峰度也可以表征可以导出夏普、偏度和峰度的标准误差旨在优化夏普比率的策略应基于TLS，而不是最小化预测误差增加正交资产/风险的收益可以量化。其中一些项目在经验上是众所周知的，但其他项目则是全新的。同时，我们将结果扩展到类似于Mallow的Cpor AIC的过度匹配惩罚的推导，并可用于模型选择和预测样本内可能的样本外夏普比率（见[Koshiyama和Firoozye，2018]）。我们的研究不完整。我们相信，在以下领域有大量有趣的工作需要完成：o结合交易成本的最佳线性策略。o放松常态的最佳线性策略。o归一化线性信号（如z分数）和z分数的最佳非线性函数针对特定效用函数进行优化的非线性策略，可能包含平滑度约束，尤其是在放松常态时放松平稳性时的局部最优存在可能存在非平稳性或结构突变的自相关资产时的良好交易边界。我们注意到，我们的假设从来都不是完全现实的：固定ACF和高斯创新的平稳回报只能在理论上起作用，而不能在现实中起作用。许多定量交易者设计策略来克服处理现实世界数据问题和过度匹配问题的挑战。