粗糙Volterra随机波动率模型的分解公式

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英文标题：
《Decomposition formula for rough Volterra stochastic volatility models》
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作者：
Raul Merino, Jan Posp\\\'i\\v{s}il, Tom\\\'a\\v{s} Sobotka, Tommi Sottinen
  and Josep Vives
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The research presented in this article provides an alternative option pricing approach for a class of rough fractional stochastic volatility models. These models are increasingly popular between academics and practitioners due to their surprising consistency with financial markets. However, they bring several challenges alongside. Most noticeably, even simple non-linear financial derivatives as vanilla European options are typically priced by means of Monte-Carlo (MC) simulations which are more computationally demanding than similar MC schemes for standard stochastic volatility models.   In this paper, we provide a proof of the prediction law for general Gaussian Volterra processes. The prediction law is then utilized to obtain an adapted projection of the future squared volatility -- a cornerstone of the proposed pricing approximation. Firstly, a decomposition formula for European option prices under general Volterra volatility models is introduced. Then we focus on particular models with rough fractional volatility and we derive an explicit semi-closed approximation formula. Numerical properties of the approximation for a popular model -- the rBergomi model -- are studied and we propose a hybrid calibration scheme which combines the approximation formula alongside MC simulations. This scheme can significantly speed up the calibration to financial markets as illustrated on a set of AAPL options.
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中文摘要：
本文的研究为一类粗糙分数阶随机波动率模型提供了一种期权定价方法。由于与金融市场惊人的一致性，这些模型在学者和从业者之间越来越受欢迎。然而，它们也带来了一些挑战。最值得注意的是，即使是简单的非线性金融衍生品（如普通欧洲期权）也通常通过蒙特卡罗（MC）模拟进行定价，这比标准随机波动率模型的类似MC方案在计算上要求更高。本文证明了一般高斯-沃尔泰拉过程的预测规律。然后利用预测定律获得未来平方波动率的自适应预测，这是拟议定价近似的基石。首先，介绍了一般Volterra波动率模型下欧式期权价格的分解公式。然后，我们重点讨论了具有粗糙分数波动率的特殊模型，并推导了一个显式半闭近似公式。研究了一种流行模型——rBergomi模型的近似值的数值性质，并提出了一种混合校准方案，该方案将近似公式与MC模拟相结合。如一组AAPL选项所示，该方案可以显著加快金融市场的校准速度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：volterra 波动率模型 Volt Vol err

粗糙Volterra随机波动率模型的分解公式Raúl Merino1,4，Jan Pospísil* 2、TomásSobotka、Tommi Sottinen和Josep VivesFacultat de Matemátiques i Informática，Gran Via 585，08007 Barcelona，Spain，NTIS-信息社会新技术，西波希米亚大学应用科学学院，Univerzitiní2732/8，301 00 Plzeň，捷克共和国，瓦萨大学数学和统计系，邮政信箱700，FIN-65101 Vaasa，芬兰，VidaCaixa S.A.，投资风险管理部，C/Juan Gris，2-820014巴塞罗那，西班牙。收到日期：2019年8月1日摘要本文的研究为一类粗糙分数随机波动率模型提供了一种可选的期权定价方法。由于与金融市场惊人的一致性，这些模型越来越受到学术界和从业者的欢迎。然而，它们也带来了一些挑战。最值得注意的是，即使是作为普通欧洲期权的简单非线性金融衍生品，也通常通过蒙特卡罗（MC）模拟进行定价，这比标准随机波动率模型的类似MCschemes的计算要求更高。在本文中，我们证明了一般高斯-沃尔特拉过程的预测规律。然后利用预测定律获得未来平方波动率的自适应预测，这是拟议定价近似的基石。首先，介绍了一般Volterra波动率模型下欧式期权价格的合成公式。然后，我们重点研究了具有粗糙分数波动率的特殊模型，并导出了显式半闭近似公式。

研究了一种流行模型——rBergomi模型的近似值的数值性质，并提出了一种混合校准方案，该方案将近似公式与MC模拟相结合。该方案可以显著加快金融市场的校准速度，如一组选项所示。关键词：Volterra随机波动率；剧烈波动；粗糙Bergomi模型；期权定价；分解公式MSC分类：60G22；91G20；91G60JEL分类：G12；C58；C63*通讯作者，honik@kma.zcu.cz1引言众所周知，Black-Scholes模型的主要问题在于其对建模资产可用性的假设。与模型假设相反，已实现波动率时间序列倾向于集群，取决于现货资产水平，当然，在合理的时间框架内，它们不具有恒定的价值（参见Cont（2001））。为了处理上述不一致性，赫尔和怀特（1987）以及后来的赫斯顿（1993）分别提出了随机波动率（SV）模型。这些模型不仅假设资产价格遵循特定的随机过程，而且还假设资产回报的内在波动性也具有随机性。尤其是赫斯顿的后一种方法在从业者和学者眼中都很流行。

在过去20年中，已经提出了对该模型的一些修改：具有跳跃扩散动力学的模型（Bates1996；Du ffe、Pan和Singleton 2000），具有时间依赖性参数（Mikhailov和N"ogel2003；Elices 2008；Benhamou、Gobet和Miri 2010），具有小规模波动性（Comteand Renault 1998；Alòs、León和Vives 2007；El Euch和Rosenbaum 2019）和具有多个方面组合的模型（Pospísil和Sobotka 2016；Baustian、Mrázek、Pospísil和Sobotka2017）。Heston（1993）最初的定价方法曾多次被重新审视，例如Lewis（2000）、Attari（2004）和Albrecher、Mayer、Schoutens和Tistaert（2007），Kahl和J"ackel（2006）将重点放在半闭式formFourier变换解上，Alfonsi（2010）关于蒙特卡洛模拟技术，最后但并非最不重要的是Alòs（2012），他引入了期权定价近似的分析方法。该方法改进了Huland White（1987）引入的技术，并展示了如何在Heston（1993）模型下使用未来波动率的自适应预测来为欧洲期权定价。许多其他论文概括了这一观点，如Alòs、de Santiago和Vives（2015）；Merino和Vives（2015），或最近Merino、Pospísil、Sobotka和Vives（2018）发表的论文。在本文中，我们回顾了后一种方法，并提出了由分数布朗运动驱动的波动过程SV模型的近似技术。

这包括Gatheral、Jaisson和Rosenbaum（2014、2018）提出的指数粗糙分数波动率模型。虽然自最初的Hull and White（1987）模型提出以来，已经提出了许多SV模型，但似乎没有一个可以被视为通用的最佳市场实践方法。对于复杂挥发性表面的校准，几种模型可能表现良好，但可能会避免过度拟合，或者它们可能在Pospísil、Sobotka和Ziegler（2018）所述的意义上不稳健。此外，与隐含波动率表面具有良好拟合的模型可能与观察到的时间序列特性不一致。分数SV模型的先驱——Comte和Renault（1998），另见Comte、Coutin和Renault（2012）——假设所谓的Hurst参数在H∈ （1/2，1）这表明，斑点方差演化是一个持续的过程，即它具有长记忆特性。在Alòs、León和Vives（2007）中，一个具有H∈ （0，1）已显示。Gatherel、Jaisson和Rosenbaum（2018）以及Bayer、Friz和Gatherel（2016）对应与市场期权价格一致的粗略分馏效用模型进行了更详细的分析（Bayer、Friz和Gatherel2016），利用已实现的波动率时间序列，它们还可以提供优于其他几种模型的波动率预测结果（Bennedsen、Lunde和Pakkanen 2017）。Funahashi和Kijima（2017）提出了一种考虑两因素分数波动率模型的方法，该模型结合了粗项（H<）和持久性（H>）。最近，Alòs、Chatterjee、Tudor和Wang（2019）研究了对数正态分数SABR模型下目标波动率期权的近似值，他们使用Malliavin-caluculus技术推导了分解公式。

同时，El Euch、Fukasawa、Gatheral和Rosenbaum（2019）利用资产价格密度的Edgeworthexpansion研究了一类随机波动率模型的短期货币渐近性。以水文学家哈罗德·埃德温·赫斯特（Harold Edwin Hurst）的名字命名，有关分数布朗运动的更多信息，请参见第4.3节，例如Mandelbrot和Van Ness（1968）的文章。粗糙分数模型的一个典型问题在于其可操作性——在撰写本文时，似乎只有繁琐的模拟技术可用于普通欧洲选项。这是根据Alòs（2012）的工作制定定价近似值的动机，Merino和Vives（2015）以及Merino、Pospísil、Sobotka和Vives（2018）进一步推广了Alòs（2012）的方法。在不使用Malliavin演算的情况下，我们推导了在一般Volterra波动率模型下，特别是在一类具有粗糙分数波动率的模型下，欧式期权价格的分解和近似公式。因此，获得的结果比仅关注货币波动率偏斜的结果更好地理解了价格的整个表面。本文的结构如下。第2节专门讨论预备工作。在第3节中，我们提出了普通欧式期权公允价值的一般分解公式。在第4组中，我们提出了Volterra波动率模型。特别是在第4.1节中，我们证明了一般高斯-沃尔泰拉过程的预测规律，在第4.2节中，我们获得了指数沃尔泰拉波动率模型的分解公式，包括近似公式的误差界，在第4.3节中，我们提供了指数分形波动率模型（包括标准布朗运动情况）的特殊结果。在第5节中，我们提供了近似价格与蒙特卡罗模拟的数值比较。

所有获得的结果在第6.2节序言和符号S=（St，t∈ [0，T]）是一个严格正的资产价格过程，在市场选择的风险中性概率测度P下，遵循以下模型：dSt=rStdt+σtStρdWt+p1- ρdWt, （1） 其中Sis为当前价格，r≥ 0是利率，WT和WT是在概率空间上定义的独立标准维纳过程(Ohm, F、 P）和ρ∈ (-1, 1). 在下文中，我们将用fw和F分别表示W和W产生的过滤。此外，wede fine F：=FW∨ FW.波动过程σ是一个平方可积过程，假设它与W生成的过滤相适应，其轨迹被假设为a.s.cádlág和严格正的a.e。。请注意，ρ是价格和波动过程之间的相关性。在不丧失一般性的情况下，在以下各节中可以方便地更改变量Xt=log St，t∈ [0，T]和writext=r-σtdt+σtρdWt+p1- ρdWt. （2） 回想一下，Z：=ρW+p1- ρИW是标准的维纳过程。本文将使用以下符号：o我们将用BS（t，x，y）表示经典Black-Scholes模型下普通欧洲看涨期权的价格，该模型具有恒定的波动率y，当前对数股价x，成熟时间τ=t-t、 履约价格K和利率r。在这种情况下，BS（t，x，y）=exΦ（d+）- Ke公司-rτΦ（d-),其中Φ（·）表示标准正态律的累积分布函数，d±（y）=x- ln K+（r±y）τy√τ.o 在我们的设置中，看涨期权价格由vt=e给出-rτEt[（外部- K） +]其中Etis是关于σ的条件期望-代数Ft.o回想一下，从模型（2）的费曼-卡克公式中，运算符：=t+yx个+r-yx个- r（3）满意度LyBS（t，x，y）=0。o我们定义了运算符∧：=x、 ∧n：=nx，Γ：=x个- x个和Γ=Γo Γ.

特别是对于Black-Scholes公式，使用简单的计算，我们得到：ΓBS（t，x，y）=exy√2πτexp-d+（y）,∧ΓBS（t，x，y）=exy√2πτexp-d+（y）1.-d+（y）y√τ,ΓBS（t，x，y）=exy√2πτexp-d+（y）d+（y）- yd+（y）√τ - 1yτo我们定义：=Et“ZTtdhM，Miu#和ut：=ρEt”ZTtσudhM，W iu#，其中h·，·i表示二次协变量过程，M表示F-MT定义的鞅：=ZETσsds。（4） 3通用分解公式在本节中，我们提供了基于workof Alòs（2012）、Merino和Vives（2015）以及Merino、Pospísil、Sobotka和Vives（2018）的通用分解公式。特别是，我们恢复了Merino、Pospísil、Sobotka和Vives（2018）提出的一般随机波动率模型的结果。众所周知，如果随机波动过程独立于价格过程，则普通欧洲看涨期权的定价公式为vt=Et【BS（t，Xt，’σt）】，其中‘σ’是所谓的平均未来方差，由‘σt：=t’定义- tZTtσudu。当然，σ被称为平均未来波动率。我们考虑未来方差的自适应投影t：=ZTtEt[σu]du（5），平均未来方差asvt：=Et（(R)σt）=atT- T根据vt对vt进行分解。这种想法将与预期过程∑tin相关的预期问题转换为与适应过程vt相关的非预期问题。考虑到（4）中的定义，我们可以将vt=T- t型dMt公司+及物动词- σtdt公司.在本文中，我们将利用Alòs（2012）第406页中证明的下列引理。引理3.1。让0≤ t型≤ u≤ T和Gt：=英尺∨FWT。对于每n≥ 0时，存在C=C（n），如∧E（nΓBS（u，Xu，vu）| Gt）|≤ C（au）-（n+1），其中ATI由（5）定义。备注3.2。很容易看出，前面的引理适用于看跌期权和其他几种非路径依赖期权（例如，期权）。

间隙选项）。现在，我们使用Merino、Pospísil、Sobotka和Vives（2018）证明的通用分解公式。定理3.3（一般分解公式）。设bt是关于过滤FW的连续半鞅，设a（t，x，y）是C1,2,2（[0，t]×0，∞) × [0, ∞)) 函数，并让VT和MTE如上所述定义。然后我们就可以得出e的期望值-rTA（T，XT，vT）bt按以下方式：Ethe-r（T-t） A（t，XT，vT）BTi=A（t，XT，vT）Bt+Et“ZTte-r（u-t）yA（u、Xu、vu）但是- uvu公司- σudu#+Et“ZTte-r（u-t） A（u、Xu、vu）dBu#+Et“ZTte-r（u-t）x个- x个A（u、Xu、vu）Buσu- vu公司du#+Et“ZTte-r（u-t）yA（u，Xu，vu）Bu（T- u） dhM·，M·iu#+ρEt“ZTte-r（u-t）x、 yA（u、Xu、vu）BuσuT- udhW·，M·iu#+ρEt“ZTte-r（u-t）xA（u，Xu，vu）σudhW·，B·iu#+Et“ZTte-r（u-t）yA（u、Xu、vu）T- udhM·，B·iu#。证据见Merino、Pospísil、Sobotka和Vives（2018）中定理3.1的证明。使用之前的分解公式，我们发现推论3.4（BS分解公式）。在定理3.3的假设下，我们可以得到欧式期权价格Vtas的分解：Vt=BS（t，Xt，Vt）+ρEt“ZTte-r（u-t） ∧ΓBS（u，Xu，vu）σudhW·，M·iu#+Et“ZTte-r（u-t） ΓBS（u，Xu，vu）dhM·，M·iu#=BS（t，Xt，vt）+（I）+（II）证明。将定理3.3用于A（t，Xt，vt）=BS（t，Xt，vt）和B≡ 1，证明以一种前瞻性的方式进行。术语（I）和（II）不容易评估。因此，重要的是找到（I）和（II）的简单近似值，并估计误差项。为了找到这些近似值，我们将应用定理3.3找到（I）和（II）项的分解公式。

使用a（t，Xt，vt）=∧ΓBS（t，Xt，vt）和bt=Ut=ρEt“ZTtσudhW·，M·iu#可以找到项（I）的分解，使用a（t，Xt，vt）=BS（t，Xt，vt）和bt=Rt”ZTtdhM·，M·iu#可以得到项（II）的分解。在这个过程之后，我们可以通过vt=BS（t，Xt，vt）+∧ΓBS（t，Xt，vt）Ut+ΓBS（t，Xt，vt）Rt+t、 在哪里t删除错误项。条款t按照附录a中提供的σ皮重的一般设置。我们注意到，误差项将取决于假设的波动率动力学。4 Volterra波动率模型4.1一般Volterra波动率模型在本节中，我们将通用分解公式应用于模型（2），一般Volterra波动率过程定义为σt：=g（t，Yt），t≥ 0，（6）其中g：[0+∞)×R 7→ [0, +∞) 是一个确定性函数，使得σt等于L(Ohm×[0, +∞))Y=（Yt，t≥ 0）是高斯Volterra过程y=ZtK（t，s）dWs，（7）其中K（t，s）是一个核，使得对于所有t>0tZK（t，s）ds<∞, （A1）和FYT=FWt。（A2）Letr（t，s）：=E【YtYs】，t，s≥ 0，（8）表示过程Ytandr（t）的自协方差函数：=r（t，t）=E[Yt]，t≥ 0，（9）是方差函数（即二阶矩）。扩展Sottinen和Viitasaari（2017）中的定理3.1，使我们能够重新表述未来平方波动率的适应性预测。定理4.1（高斯-沃尔泰拉过程的预测定律）。Let（Yt，t≥ 0）是高斯-沃尔泰拉过程（7），满足假设（A1）和（A2）。然后，条件过程（Yu | Ft，0≤ t型≤ u） 是高斯函数，Fu可测平均函数^mt（u）：=Et[Yu]=ZtK（u，s）dWs，（10）和确定性协方差函数^r（u，u | t）：=Et[（Yu- ^mt（u））（于- ^mt（u））]=r（u，u）-ZtK（u，v）K（u，v）dv（11）用于u，u≥ t、 证明。让0≤ t型≤ u