Volterra型分数阶随机变量的大偏差原理

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英文标题：
《Large deviation principle for Volterra type fractional stochastic
  volatility models》
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作者：
Archil Gulisashvili
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study fractional stochastic volatility models in which the volatility process is a positive continuous function $\\sigma$ of a continuous Gaussian process $\\widehat{B}$. Forde and Zhang established a large deviation principle for the log-price process in such a model under the assumptions that the function $\\sigma$ is globally H\\\"{o}lder-continuous and the process $\\widehat{B}$ is fractional Brownian motion. In the present paper, we prove a similar small-noise large deviation principle under weaker restrictions on $\\sigma$ and $\\widehat{B}$. We assume that $\\sigma$ satisfies a mild local regularity condition, while the process $\\widehat{B}$ is a Volterra type Gaussian process. Under an additional assumption of the self-similarity of the process $\\widehat{B}$, we derive a large deviation principle in the small-time regime. As an application, we obtain asymptotic formulas for binary options, call and put pricing functions, and the implied volatility in certain mixed regimes.
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中文摘要：
我们研究了分数阶随机波动率模型，其中波动率过程是连续高斯过程的正连续函数$\\ sigma$。Forde和Zhang在这样一个模型中建立了对数价格过程的大偏差原理，假设函数$\\ sigma$是全局H{o}lder连续的，过程$\\ widehat{B}$是分数布朗运动。本文在$\\ sigma$和$\\ widehat{B}较弱的限制下，证明了类似的小噪声大偏差原理$. 我们假设$\\ sigma$满足一个温和的局部正则条件，而过程$\\ widehat{B}$是一个Volterra型高斯过程。在过程$\\widehat{B}的自相似性的另一个假设下，我们导出了小时间范围内的大偏差原理。作为应用，我们得到了二元期权、看涨期权和看跌期权定价函数的渐近公式，以及某些混合制度下的隐含波动率。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Large_deviation_principle_for_Volterra_type_fractional_stochastic_volatility_models.pdf (399.78 KB)

2022-6-1 15:29:33 上传

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关键词：volterra 随机变量 Volt Vol err

VOLTERRA型分馏随机波动率模型的大偏差原理。我们研究了分数阶随机波动率模型，其中波动率过程是连续高斯过程b的正连续函数σ。Forde a和Zhang在函数σ为全局H¨older连续且过程b为分数布朗运动的假设下，建立了该模型中对数价格过程的大偏差原理。本文在σ和bb的较弱限制下，证明了一个类似的小噪声大偏差原理。我们假设σ满足一个局部正则条件，而过程bb是一个Volterra型高斯过程。在过程b的自相似性的附加假设下，我们推导出了小时间范围内的大偏差原理。作为应用，我们得到了二元期权、看涨期权和看跌期权定价函数的渐近公式，以及某些混合区域的隐含波动率。AMS 2010分类：60F10、60G15、60G18、60G2 2、41A60、91G20。关键词：大偏差，Volterra型高斯过程，分数随机波动率模型，自相似，隐含波动率。1.引言本文研究了波动过程是分数阶随机过程连续函数的随机波动模型。这类过程的典型例子有分数布朗运动、黎曼-刘维尔分数布朗运动和分数奥恩斯坦-乌伦贝克过程。我们建立了分数阶模型的小噪声和小时间大偏差原则，并刻画了期权定价函数的渐近展开式中的领先项和各种制度下的隐含波动率。在过去几年中，分数随机波动率模型变得越来越流行。

在本文中我们感兴趣的分数模型中，资产价格过程满足以下随机微分方程：dSt=Stσ（bBt）d（(R)ρWt+ρBt），S=S>0，0≤ t型≤ T、 （1）其中，sis是初始价格，而T>0是时间范围。过程W和Bin（1）是独立的标准布朗运动，ρ∈ (-1，1）是相关系数。我们还使用了标准符号‘ρ=p1-ρ. （1）中假设σ是R上的连续函数，a ndbB是一个连续的分数随机过程，与过程B生成的过滤相适应（参见（12）中对B的定义）。方程（）在过滤概率空间上考虑(Ohm, F、 {Ft}0≤t型≤T、 P），其中{Ft}0≤t型≤t俄亥俄大学数学系，俄亥俄州雅典市，邮编：45701；电子邮件：gulisash@ohio.eduis由W和B生成的过滤。（1）中的过程σ（bB）描述了分数模型中波动性的随机演化。接下来我们将讨论最常见的分数过程。分数布朗运动：设H为0<H<1的数。分数布朗运动≥ 0是一个中心高斯过程，协方差函数为byCH（t，s）=t2H+s2H-|t型- s | 2H, t、 s≥ 0.（2）科尔莫戈罗夫（Kolmogorov）在[50]中首次隐式考虑了BH过程，曼德尔布罗特（Mandelbrot）和范内斯（van Ness）在[58]中对BH过程进行了研究。常数H称为赫斯特p参数。众所周知，过程BH具有固定增量。如果H=，则过程为标准布朗运动。分数布朗运动具有Volterra型表示，即BHt=ZtKH（t，s）dBs，t≥ 0。（3）对于<H<1，核KHin公式（3）由kh（t，s）=cH定义H-s-HZtsuH公司-（u）-s） H类-duχ{s<t}，（4）当0<H<时，核KH如下：KH（t，s）=cH“tsH-（t-s） H类-+- Hs-HZtsuH公司-（u）-s） H类-du#χ{s<t}。

（5） 在（4）和（5）中，函数χ{s<t}定义如下：χ{s<t}=（1，如果0≤ s<t<∞否则，当数字cH>0是由cH=vuut2HΓ给定的规范化常数时- HΓH类+Γ(2 -2H）。它来自（3）茅草（t，s）=ZTKH（t，u）KH（s，u）du。（6） （3）中的Volterra型表示被称为BH的Molˇcan Golosov表示（见[61]，第135页）。更多详细信息和解释见【16、63、25】。备注1。如果H=，则过程bh是标准布朗运动。更精确地说，B=B。在这种情况下，对于所有0，K（t，s）=1≤ s≤ t型≤ T、 注意，公式（5）适用于h=。Riemann-Liouville分数布朗运动：对于0<H<1，Riemann-Liouville分数布朗运动定义为ht=Γ（H+）Zt（t-s） H类-dBs，t≥ 0。（7）该随机过程由L'evy在[52]中引入。（7）中的过程比分数布朗运动简单。然而，Riemann-Liouville分数布朗运动的增量缺乏平稳性。关于Rh过程的更多信息可以在[56，65]分数Ornstein-Uhlenbeck过程中找到：对于0<H<1且a>0，分数OrnsteinUhlenbeck过程由UHT=Zte给出-a（t-s） 胸径，t≥ 0（8）（见[9，46]）。（8）中出现的随机积分可以使用分部积分公式和随机Fubini定理来定义。此给定值为BHt- 阿兹特-a（t-s） BHsds（例如，见【9】中的提案A.1）。因此，UHt=ZtbKH（t，s）dBs，0≤ t型≤ T、 （9）其中bkh（T，s）=KH（T，s）- 阿兹策-a（t-u） KH（美国）du，0≤ s<t≤ T、 （10）回想一下，我们用KH表示与分数布朗运动相关的核（参见（4）和（5））。公式（9）提供了过程UH的Volterra类型表示，而functionbKHin（10）是与UH相关的Volterra类型内核。我们的下一个目标是简要介绍分数随机波动率模型。

Comte和Renault的论文【13】中介绍了第一个具有随机波动性的连续时间分数模型。在文献[13]中，σ（x）=exandbB是分数OrnsteinUhlenbeck过程，具有Hurst参数H>（长时间的情况）。[10，11]中使用了相同的过程bb和更一般的函数σ。在文献[72]中，函数σ由σ（x）=eβ+kx给出，其中β和k是常数，而过程bb如下：bBt=δBHt公司- BHt公司-δ, t型≥ 在前面的等式中，常数δ>0被解释为观测时间标度，而过程b是分数噪声。文[1]介绍了一个分数阶模型，其中函数σ满足一定的有界性和可微性条件，而过程b是由Riemann-Liouville fBm驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程。[37]和[38]分别介绍了不相关高斯和高斯自相似模型。在这种模型中，σ（x）=x |，而b是一般高斯过程（[37]），或高斯自相似过程（[38]）。Gathereal、Jaisson和Rosenbaum在开创性的论文【31】中分析了波动性的高频时间序列。他们声称，波动率类似于fBm的指数，H大约等于0。1、在【5】中，引入了一个粗糙的Bergomi模型。这种模型的一个简单例子如下：σ（x）=exandbB等于0<H<的Riemann-Liouville fBm。研究该模型的其他论文有[43，44]。在[44]中使用的roughBergomi模型版本中，processbB是一个非中心的Riema nn-Liouville分馏布朗运动。本文只考虑中心Volterra型过程bb。

然而，在我们看来，对于具有非中心过程的分数模型bb，获得类似的结果应该是不困难的。在[26]中，函数σ满足全局H¨older条件，而B是0<H<的fBm。在[27]中，研究了一个粗糙模型，其中函数σ满足一定的光滑性和有界性条件，processbB是分馏布朗运动的Muravlev表示。[29，30]中考虑的粗糙模型使用光滑、有界且具有有界导数的函数σ，并使用缩放分数OrnsteinUlenbeck过程作为过程b。本文[6]讨论了粗糙随机波动模型，其中函数σ是光滑的，而可接受的过程bb是volterra型高斯过程。在一篇重要的论文[4]中，粗糙路径和正则结构被用来研究分数模型。[4]中使用的函数σ满足一定的光滑性条件，而过程bb是黎曼-刘维尔分数布朗运动。此外，本文[4]讨论了更复杂的分数模型。在[8]中，引入并研究了有趣的分数随机波动率模型。其中，对数波动率采用Cauchy p过程建模，即中心平稳高斯过程，自相关函数由a（t）给出=1+| t | 2α+1-β2α+1，t∈ R、 在哪里-< α<和β>0。在某种意义上，参数α描述了波动率的粗糙度，更准确地说，模型的粗糙度指数由H=2α+1给出。此外，参数β表征了模型的记忆特性。必须强调的是，在上述volatilitymodel中，粗糙度和记忆是解耦的。在更标准的随机波动率模型中，依赖于赫斯特参数H，这种解耦效应是不存在的。

在这些模型中，波动率的粗糙度和记忆特性用相同的参数H表示。【8】的作者还研究了基于柯西过程或布朗半平稳过程的更复杂的非高斯波动率模型（更多信息可在【8】中找到）。通过参考所谓的分数赫斯顿模型，我们完成了分数随机波动率模型的不完整概述。在这种模型中，方差过程是CIR过程（平方根过程）的分数形式。部分赫斯顿模型可以追溯到孔德、科廷和雷诺（见[12]）。[12]中的方差过程是应用于CIR过程的Riemann-Liouville分数积分算子。[32]中使用了类似的方差过程，而[22，23]中使用了Riema nn-Liouville分馏积分算子来修改Heston模型中方差的随机微分方程。在[42]中，介绍并研究了Volterra H eston模型。在此模型中，Riemann-Liouville核被更一般的Volterra型核所取代。接下来，我们将对本文件所取得的成果进行评论。其中获得的主要结果（下面的定理13和18）证明了分数模型的小噪声和小时间大偏差原则，这是在Fordean和Zhang的论文[26]中建立的。Theorem13包含对数价格过程X=对数S的小噪声大偏差原则，而Theorem18处理的是小时间版本。与文献[26]中使用的限制相比，本文中对σ和bb施加的限制相当温和。我们假设函数σ是局部ω-连续的，其中ω是给定的连续模。我们还假设processbB是Volterra型高斯过程（见第2节定义3）。

在[26]中，函数σ满足全局H¨older条件，而过程b是分数布朗运动。对于一类特殊的粗糙波动率模型，在[4]中获得了与thosein[26]类似的大偏差原则。在[44]中，建立了粗糙Bergomi模型的大偏差原则。分数阶随机波动率模型的渐近分析已成为金融数学的一个热门研究领域。这种分析的一个重要部分是研究期权定价函数的小型到期行为和隐含波动率。在[26]中，Forde和Zhang获得了在混合小到期小对数货币制度下，看涨期权定价函数和隐含波动率的渐近公式。利用定理13和18中的大偏差原理，我们在更一般的情况下推导出类似的渐近公式（见第7节）。从上述文献中可以提取出关于分数模型理论中各种质量的小成熟度渐近的大量信息。本文的结构如下。在第二节中，我们研究了高斯过程，它具有Volterra型表示，核满足L中的H¨older条件。我们称这种过程为Volterra型高斯过程。我们的定义基于[40，41]中Volterra型过程的定义。请注意，在[40，41]中对Volterra型过程施加了额外限制（见下面备注4中的条件（c））。本文件中未使用此限制。在第2节中，我们还表明分馏布朗运动、黎曼-刘维尔分馏布朗运动和分馏朗斯坦-乌伦贝克过程都是Volterra型过程（见Lemma8）。在第三节中，我们讨论了分数随机波动率模型，并对资产价格过程的鞅性进行了评述。

在第4节中，我们给出了我们的主要结果（定理13和18）。Theorem13包含Volterra型随机波动率模型缩放版本的小噪声大偏差原理。该定理推广了[26]中的一个相应定理（见[26]附录B中的（4.16）和定理4.8的证明）。然而，在[26]中没有使用额外的缩放。虽然定理13的证明结构基本上与[26]中的相应断言相同，但在本文所考虑的案例中存在各种不同之处。第一个困难是过程B增量特性的平稳性损失（分数布朗运动具有此特性，而本文中使用的更一般的Volterra型高斯过程不具有此特性）。另一个困难是，由于我们对函数σ的限制是局部的，而且相当温和，因此在证明定理13时需要更明确地选择停止时间。在第4节中，我们还利用定理13导出了一个小时间大偏差原理。我们使用了另一个假设，即在这个推导过程中，processbB是自相似的（参见定理18）。第5节讨论了以下问题：如果我们去掉原木价格随机微分方程中的漂移项，大偏差原理是否仍然相同？我们在第5节中表明，对前面问题的回答是肯定的。第6节包含在T=1的情况下小噪声大偏差原理的证明（一般情况在第4节中公式化定理13后讨论）。最后，第7节提供了分数Volterra型随机波动率模型中二元期权、看涨期权和看跌期权定价函数以及隐含波动率的渐近公式。2.

VOLTERRA型高斯过程固定时间范围T>0，并且假设K是[0，T]上的Lebesgue可测函数，使得ztztk（T，s）dtds<∞（平方可积核）。对于这样的核，线性算子K:L[0，T]7→ 由Kh（T）=RTK（T，s）h（s）ds定义的L[0，T]是紧的。算子K称为希尔伯特·施密特积分算子。本文将假设∈[0，T]ZT | K（T，s）| ds<∞.SetM（h）=sup{t，t∈ [0，T]：| T-t型|≤h} ZT | K（t，s）-K（t，s）| ds，0≤ h类≤ T、 （11）用C[0，T]表示区间[0，T]上连续函数的空间。函数f的范数∈ C【0，T】表示如下：| | f | | C=支持∈[0，T]| f（T）|。下一站是众所周知的。引理2。如果limh↓0M（h）=0，那么K是从L[0，T]到C[0，T]的压缩线性算子。设0<α≤ 1、函数f∈ 如果存在C>0以致| f（T），则称C[0，T]为指数α的H¨older连续- f（s）|≤ c | t- s |α表示所有t，s∈ [0，T]。所有函数的空间都是指数α连续的，用Cα[0，T]表示。该空间配有由| | | | |·| |α=| | f | | C+supt，s定义的标准| |·| |α∈[0，T]，t6=sf（T）- f（s）| t- s |α是一个Banach空间。不难证明，对于某些α∈ （0，2），M（h）=O（hα）灰分↓ 0，则算子K从L[0，T]连续到Cα[0，T]。对于某些α∈ （0，2），M（h）=o（hα）作为h↓ 0，然后K:L[0，T]7→ Cα[0，T]是一个紧线性算子。我们不会在本文件中使用前面的陈述。假设BB是以下形式的中心高斯过程：bBt=ZTK（t，s）dBs，0≤ t型≤ T、 （12）其中K是平方可积核，B是标准的布朗运动。由{eFt}0删除注释≤t型≤t工艺B产生的过滤增强（见【48】，定义7.2）。