半参数实现的非线性条件自回归期望值

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英文标题：
《Semi-parametric Realized Nonlinear Conditional Autoregressive Expectile
  and Expected Shortfall》
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作者：
Chao Wang, Richard Gerlach
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  A joint conditional autoregressive expectile and Expected Shortfall framework is proposed. The framework is extended through incorporating a measurement equation which models the contemporaneous dependence between the realized measures and the latent conditional expectile. Nonlinear threshold specification is further incorporated into the proposed framework. A Bayesian Markov Chain Monte Carlo method is adapted for estimation, whose properties are assessed and compared with maximum likelihood via a simulation study. One-day-ahead VaR and ES forecasting studies, with seven market indices, provide empirical support to the proposed models.
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中文摘要：
提出了一个联合条件自回归期望值和期望短缺框架。该框架通过加入一个度量方程进行扩展，该方程建模了已实现度量和潜在条件期望之间的同时依赖关系。非线性阈值规范被进一步纳入所提出的框架中。采用贝叶斯马尔可夫链蒙特卡罗方法进行估计，并通过仿真研究对其性能进行了评估，并与最大似然法进行了比较。为期一天的VaR和ES预测研究，以及七个市场指数，为提出的模型提供了实证支持。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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PDF下载：
--> Semi-parametric_Realized_Nonlinear_Conditional_Autoregressive_Expectile_and_Expe.pdf (632.12 KB)

2022-6-25 06:22:34 上传

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关键词：半参数 自回归 期望值 非线性 econometrics

澳大利亚悉尼大学商学院商业分析学Richard GerlachDisciplin e，半参数实现非线性条件下的期望值和期望短期模型Schao Wang。本文提出了一个条件自回归期望值和期望短缺的联合框架。该框架通过加入一个度量方程进行扩展，该方程模拟了已实现度量和潜在条件期望之间的同时依赖关系。非线性阈值规范进一步纳入拟议框架。采用贝叶斯-马尔可夫链-蒙特卡罗方法进行估计，并通过仿真研究对其性质进行了评估，并与最大似然法进行了比较。提前一天的VaR和ES预测研究，以七个市场为单位，为提议的模型提供了实证支持。关键词：期望值、风险价值、预期缺口、非线性、已实现测度、马尔可夫链蒙特卡罗。1引言风险价值（VaR）被许多金融机构用作重要的风险管理工具。VaR将市场风险表示为一个数字，已成为一种标准的风险度量指标。然而，VaR无法衡量极端（违规）回报的预期损失。预期差额（ES，Artzner et al.，1997，1999）计算低于其分布分位数（VaR）的收益的平均值，是一个比VaR更为一致的度量。因此，近年来，ES越来越广泛地用于尾部风险度量，是BaselAccord III（巴塞尔委员会，2010）中出现的一个重要变化，预计将在2019年1月1日之前发生。

然而，与VaR相比，现有的建模研究要少得多。近二十年来，高频数据的可用性使得能够计算各种已实现的波动性度量，包括已实现的波动性（RV）：Andersen andBollerslev（1998），Andersen e t al.（2003）；和实现范围（RR）：Martens和vanDijk（2007）、Christensen和Podolskij（2007）等。目前，实现的波动性度量在计算准确的波动性估计和预测方面起着关键作用，例如，Hansen、Huang和Shek（2011）的RealizedGARCH模型以及Giot a和Laurent（2004）a和Clements、Galvao和Kim（2008）的早期wo r k模型。分位数回归型模型，例如Engle和Manganelli（2004）的条件自回归风险值（CAViaR）模型，是预测VaR的一种流行的半参数方法。Gerlach、Chen和Chan（2011）将鱼子酱模型推广到完全没有非线性家族。此外，已实现的度量已被应用到分位数回归框架中。71zikeˇs和Barunik（2014）研究了金融资产未来收益率和波动率的条件分位数如何随各种实际测量值而变化。Avdulaj和Barunik（2017）探讨了收益的非线性，并提议使用Copulas将已实现的指标与非线性分位数回归框架结合起来，以解释和预测财务收益的条件分位数。然而，鱼子酱模型不能直接估计和预测ES。Taylor（2008）提出了一种直接估计分位数和期望值并隐式估计ES的半参数模型，称为条件自回归期望值（CARE）模型。Gerlach和Chen（2016）将日常范围纳入护理框架，进一步扩展到完全非线性家庭。

再次证明，已实现的措施能够为护理类型模型提供额外的效率（Gerlach、Walpoleand Wang，2017）。为了选择合适的期望级别，需要对计算相对昂贵的核心类型模型进行网格搜索过程（取决于模型复杂性和网格大小）。作为替代方案，Taylor（2017）提出了一个联合ESandQuant-ile回归框架（ES-CAViaR），该框架利用非对称拉普拉斯（AL）密度构建一个似然函数，其最大似然估计（MLEs）与通过最小化联合损失函数f或VaR和ES获得的似然函数一致。Fisslerand Ziegel（2016）开发了一系列关联VaR和ES系列的jo int损失函数（或“评分规则”），这些函数与真实VaR和ES系列严格一致，即它们被真实VaR和ES系列唯一最小化。根据Fissler和Ziegel（2016）的连接损失函数中的特定函数选择，可以证明这种损失函数与Taylor（2017）提出的所有对数似然函数的负值完全相同。Patton、Ziegel和Chen（2017）通过采用广义自回归评分（GAS）框架（Creal、Koopman和Lucas（201 3）和Harvey（2013））并利用Fisslerand Ziegel（2016）中的损失函数，为VaRand ES提出了新的动力学模型。在本文件中，受Engle和Manganelli（2004）以及Taylor（2008、2017）的启发，首先提出了一个联合条件自回归预期和预期短缺（ES-CARE）框架。其次，对所提出的模型进行了扩展，添加了一个度量方程，以纳入已实现的度量来驱动尾部风险动态（R ealizedES CARE）。第三，将所提出的框架扩展到非线性定量和自回归规范，以建模波动不对称性（已实现阈值ESCARE）。

该模型采用自适应贝叶斯MCMC算法进行估计和预测。为了评估拟议的已实现ES护理和已实现阈值ES护理模型的绩效，通过实证研究评估了相关VaR和ESForecast的准确性。在包括2008年GFC在内的长期预测期内，结果表明，与Taylor\'s CARE和ES CAViaR模型以及一系列传统竞争模型相比，所提出的实现（-阈值）-ES CARE表现良好。本文的组织结构如下：第2节回顾了ES鱼子酱和护理模式。第3节正式确定了建议的ES-CARE、已实现的ES-CARE和已实现的阈值ES-CARE模型。第4节介绍了用于参数估计的关联似然和自适应贝叶斯MCMC算法。第5节讨论了模拟研究。实证结果见第6节。第7节总结了本文并讨论了未来的工作。2 ES CAViaR和CA RE MODELSKoenker和Machado（1999）表明，当假设数据是在分位数处具有模式的条件对称拉普拉斯（AL）时，分位数回归估计量等效于最大似然估计量。如果RTI是第t天和第r天的数据（rt<Qt|Ohmt型-1） =α，则QT模型中的参数可以使用基于：p（rt）的alikelihood估计|Ohmt型-1) =α(1 - α） σexp(-（rt- Qt）（α- I（rt<Qt）），对于t=1，其中σ是一个干扰参数。Taylor（20 17）扩展了这一结果，将相关的ES量纳入LIKELIHOOD表达式中，注意到EST和动态σt之间的联系，从而得出条件密度函数：p（rt|Ohmt型-1) =α(1 - α） EStexp-（rt- Qt）（α- I（rt<Qt）αESt, （1） 允许建立并最大化似然函数，给定Qt、ESt的模型表达式。

Taylor（2017）认为，所得似然函数的负对数对于Qt是严格一致的，联合考虑，例如，它属于Fissler和Zeigel联合开发的VaR&es的严格一致函数类别（2016）。Taylor（20 17）合并了两个不同的ES分量，它们描述了VaR和ES之间的动态，也避免了ES估计值与相应的VaR估计值交叉，如模型（2）（ES CAViaR Add:ES CAViaR with a additive VaRto ES component）和模型（3）（ES CAViaR Mult:ES CAViaR with a multiativeVarto ES component）：ES CAViaR Add:Qt=β+β| rt-1 |+βQt-1，（2）ESt=Qt- 重量，重量=γ+γ（Qt-1.- rt公司-1） +γwt-1如果rt-1.≤ Qt-1，重量-1另一方面，其中γ≥ 0, γ≥ 0, γ≥ 0在Taylor（2017）中受到限制，以确保Va R andES系列不会交叉。ES鱼子酱组合：Qt=β+β| rt-1 |+βQt-1，（3）ESt=wtQt，wt=1+exp（γ），其中γ是无约束的。此外，对于α=1%，ES鱼子酱添加模型的wtcomponent具有如图1所示的样本估计。此步骤函数行为发生在rt之后-1.≤ Qt-1在精确模型中，只有1%的观测值发生。这种行为在长期内表现出VaR和ES之间的持续差异，并且在aRt中表现出巨大的持续跳跃- ESt，似乎不直观，可能需要改进。此外，theES CAViaR-Mult模型有一个简单的乘性VaR-ES比率分量，而框架中的参数γ没有直接的计量经济学解释。2.1 ExpectileExpectle与分位数密切相关。

Aigner、Amemiya和Poirier（1976）定义的τ水平预期μτ可通过最小化以下Asym0 200 400 600 800 1000 1400 1600 1800 20000.550.60.650.70.750.80.850.90.95来估计。图1：使用标准普尔500的ES鱼子酱添加模型估计的样本wtplots。度量最小二乘（ALS）方程（Taylor，2008）：nXt=1 |τ- I（rt<uτ）|（rt- uτ），（4）此处估算uτ不需要分布假设。如第1节所述，ES定义为ESα=E（Y | Y<Qα），代表Y的预期值，条件是Y的集合比Y的α级分位数更极端，表示为Qα。Newey和Powell（1987）以及Taylor（2008）表明，这种关系可以表述为：ESα=1 +τ(1 - 2τ )ατuτ，（5）其中uτ=Qα，例如，uτ出现在Y的分位数水平ατ。因此，可以使用μτ来估计α级分位数Qα，然后按比例t来估计相关的ES。Taylor（2008）提出了与Engle和Manganelli（2004）的鱼子酱模型类似的护理类型模型，其中滞后回报驱动预期值，并雇佣ALS进行估计。该模型的一般对称绝对值（SAV）形式为：CARE-SAV：ut；τ=β+β| rt-1 |+βut-1.τ，其中rtis为返回值，ut；τ是τ水平的预期值和rtis每日回报，均在t天。护理型模型可提前一步预测ut；τ（期望值），可以通过适当选择τ来用作VaR估计。可以使用方程（5）进一步缩放VaR估计，以生成在CAViaR框架下无法直接计算的ES预测。然而，选择适当的预期水平τ需要基于违规率（VRate，收益率超过VaR估计值）或分位数损失函数进行网格搜索（Gerlach和Wang，2016b）。

具体而言，对于τ的每个网格值，可以找到CARE方程参数β的ALS估计量，从而得出关联Vrate（τ）。^τ设置为τs.t的网格值。VRate最接近所需的α。在实际应用中，这种网格搜索方法的计算成本可能会很高（取决于模型的复杂性和网格的大小），而性能可能会受到网格大小和间距的影响，而网格的大小和间距通常是根据第3章第3.1节提出的ES-CARE模型确定的。在本文中，我们首先提出了一种新的ES-CARE框架，受Engle和Manganelli（2004年2月）和Taylor（2008年、2017年）的启发，共同高效地估算和生成评估与评估预测。如等式（5）所示，给定ES与τ水平期望值（α水平分位数）的关系，我们得到：uτ=Qα=ESα1+τ（1-2τ）ατ（6）将方程式（6）放入下面的护理模型中：ut；τ=β+β| rt-1 |+βut-1.τ、 我们有：ESt；α1 +τ(1-2τ）ατ=β+β| rt-1 |+βESt-1.α1 +τ(1-2τ）ατ，因此ES的自回归框架可导出为：ESt；α= β1 +τ(1 - 2τ)ατ+ β1 +τ(1 - 2τ )ατ|rt公司-1 |+βESt-1.α、 因此，提出了新的ES-CARE模型：ES-CARE：ut；τ=β+β| rt-1 |+βut-1.τ、 （7）ESt；α= β1 +τ(1 - 2τ)α+ β1 +τ(1 - 2τ)α|rt公司-1 |+βESt-1.α、 从ατ中删除下标τ以简化表示法。模型（7）中总共有4个参数需要估计：β、β、β和τ。τ是基于定义的[0，α]约束。虽然文献中没有从理论上考虑平稳性条件，但从逻辑上讲，必要条件是β<1，因此ut；τ和ESt；α不发散；但这并不是稳定的充分条件。β、β和β没有其他限制。值得注意的是，1+τ（1-2τ）ατ因子相当于鱼子酱-多框架（模型3）的1+经验（γ）因子。

然而，ES-CARE有一个简单的线性τ（1-2τ）ατ函数，与ES CAViaR Mult模型中的t heExp一元函数相比，该函数可能更容易识别，精确度更高。模拟研究实际上对这一点很有帮助。此外，估计的τ具有直接的计量经济学解释（预期水平），并可用于证明为什么ES-CARE模型比原始CARE模型更有效。后续章节将提供更多结果。新框架有几个很好的属性。与CARE模型相比，t hemodel可以在无需任何网格搜索的情况下同时估计VaR（expectile）、ES和expectile水平τ，从而显著加快了估计过程。此外，τ是在VaR和ES连接损失函数下估计的，例如方程（10），因此与现有的特别网格搜索相比，它是一个更具统计性的估计过程，可以潜在地提高VaR和ES估计和预测精度。关于改进的τ、VaR和ES结果，将在后面的章节中提供更多证据。此外，与Taylor（2017）中的ES CAViaR-Add模型相比，ES-CARE框架具有更为精简和动态的ES组件，可以潜在地应对图1中所示的挑战。此外，基于上述推导，保证ES和VaR（预期值）不会相互交叉。稍后，我们将提供更多的经验证据，与CARE和ES CAViaR相比，ES-CARE改善了VaR和ES预测性能。最后，ES-CARE模型对expectile和ES都采用了自回归规范，这使得完全非线性的t hr eshold expectile和ESautoregressive动力学得以发展。3.2实现的（-阈值）-ES-CARE模型Hansen、Huang和Shek（2012）提出了实现的GARCH（Re-GARCH）框架。

与传统的GARCH模型相比，Re-GARCH采用了一个度量方程，该方程捕捉了未观测波动率和已实现度量之间的同期关系。Re-GARCH与GARCHand-GARCH-X相比的优势已得到充分证明，例如参见Hansen、Huang和Shek（2012）、Watanabe（2012）和Gerlach以及Wang（20 16a）。通过在ES-CARE框架中引入一个测量方程，对预期和实现测量之间的关系进行建模，提出了实现ES-CARE（Re-ES-CARE）框架。Re ES保养：ut；τ=β+βXt-1+βut-1.τ、 （8）ESt；α= β1 +τ(1 - 2τ)α+ β1 +τ(1 - 2τ)αXt公司-1+βESt-1.α、 Xt=ξ+φ|ut；τ|+Δt+δ（t- E（））+ut，其中XT是在t天观察到的已实现度量，详情将在第6节中讨论。这里的测量方程是标准的时间序列形式，例如e（ut）=0，因此标准设置和uti的选择。i、 d。~ 测量误差取N（0，σu）。需要注意的是，ES-CARE模型和已实现ES-CARE模型的可能性都不是参数可能性或导致准度量MLE。在估计期间，似然假设α的给定值，因此直接针对条件回报分布的特定期望值（分位数），而不假设它是特定的分布形式。与ES CAViaR或已实现GARCH模型相比，该模型只有一个与回报相关的“错误”，在建议的RealizedES护理类型模型中有两个与回报相关的“错误”序列：一个是zt=rt-ut；τ、 假设其服从时变尺度的不对称拉普拉斯分布，因此可以基于此AL密度构造似然，以联合估计条件VaR和条件ES。