半参数实现的非线性条件自回归期望值

然而，该框架不依赖AL或任何收益分配假设。另一个是t=rtut；τ、 这出现在计量方程中，并用于获取众所周知的杠杆效应。再次，如果ut；τ是的倍数√然后，我们将像往常一样，E（t）=0，但要保持零平均不对称项（t-E（）），我们需要知道E（）=Ertut；τ.此二阶矩信息不包括在已实现的ES CARE框架中。因此，我们将其替换为经验估计E（）≈\'，是平方乘法误差的样本平均值。我们注意到E（t-如果“”是无偏估计，则保留“0”。因此，术语Δt+δ（t-“（）仍然会对波动性产生不对称反应，以应对回归冲击。此外，δ的符号预计与已实现GARCH模型的符号相反，因为预期ut；对于较低的分位数水平，τ为负，例如本文中考虑的α=1%。受Gerlach、Chen和Chan（20 11）中非线性分位数动力学的激励，实现的ES CARE框架进一步扩展到阈值非线性规范。除了非线性期望值（VaR）分量外，还引入了非线性ES自回归分量。这得益于拟议的ES CAREframework，该框架直接包含ES自回归组件。

该模型被命名为Realized Threshold ES CARE（Re Threshold ES CARE）：Re Threshold ES CARE：ut；τ=β+βXt-1+βut-1.τ、 zt公司-1.≤ c，β+βXt-1+βut-1.τ、 zt公司-1> c、（9）ESt；α=β1 +τ(1-2τ)α+ β1 +τ(1-2τ)αXt公司-1+βESt-1.α、 zt公司-1.≤ c，β1 +τ(1-2τ)α+ β1 +τ(1-2τ)αXt公司-1+βESt-1.α、 zt公司-1> c，Xt=ξ+φ|ut；τ|+τt+τ（t- E（））+ut，zt是一个阈值变量，选择自激，例如zt=rt，c是阈值，在本文中设置为0。4似然和贝叶斯估计4.1 ES-CARE似然函数与ALTaylor（2017）扩展了Koenker和Machado（1999）的结果，将ES纳入等式（10）中给出的等效似然函数中。此处注ut；τ=第3节中讨论的QT。l（r；θ）=nXt=1对数（α- 1） ESt+（rt- ut；τ)(α - I（rt≤ ut；τ） ）αESt. （10） 4.2已实现（-阈值）-ES-CARE日志可能性，因为已实现的ES-CARE框架具有uti的测量方程。i、 d。~N（0，σu），实现ES护理的完整对数似然函数是对数似然函数的和l（r；θ）对于expectile和ES方程（如方程10）和对数似然l（x | r；θ）根据测量方程：l（r，X；θ）=l（r；θ）+l（X | r；θ）=（11）nXt=1对数（α- 1） ESt+（rt- ut-1.τ)(α - I（rt≤ ut-1.τ） ）αESt|{z}l（r；θ）-nXt=1对数（2π）+对数（σu）+ut/σu|{z}l（X | r；θ），其中ut=Xt- ξ - φ| Qt |- τt- τ（t-\'t），t=1，n、 此外，非线性实现阈值ES-CARE的lo g-似然函数与实现ES-CARE模型相同，只是期望值（VaR）和ES的非线性动态变化不同。4.3最大似然估计我们为拟议的实际（-阈值）-ES-CARE模型采用了三步最大似然（ML）方法。在第一步中，对于已实现的ES护理，通过优化预期回归的伪似然，分别估计预期方程参数（β，β，β）。

为实现阈值ES护理，分别估计阈值预期回归模型（Gerlach和Chen，2016），以获得阈值预期方程参数（β至β）。在第二步中，随机抽样测量方程参数（ξ、φ、τ、τ、σu）和τ的多个起始值：使用10000个随机候选起始向量。最后，第一步中（阈值）分位数方程参数的估计值与第二步中随机抽样的候选样本相结合。选择对数似然函数（11）最大化的参数集作为Matlab中约束优化例程fmincon的起始值，以生成最终的ML估计。4.4贝叶斯估计根据鱼子酱（Gerlach，Chen a and Chan，2011）和CARE-X模型（Gerlach and Chen，2016）的有利估计结果，与相关的MLE相比，还考虑了贝叶斯估计。在给定似然函数和先验分布的情况下，贝叶斯算法可用于估计已实现ES护理和已实现阈值ES护理模型的参数。在这种情况下，采用了Gerlachand Wang（2016a）和Chen et al.（2017）中采用的自适应MCMC方法。MCMC模拟中使用了三个pa参数块：θ=（β，β，β，φ）用于已实现ESCARE，θ=（β，β，β，β，β，φ）用于已实现阈值ES护理，θ=（τ），θ=（ξ，δ，δ，σu），通过假设同一块内的参数在后面可能比块间的参数更密切相关，允许链条快速终止（例如，见Damien等人，20 13）。在可能的平稳性和正性区域，如π（θ），先验被选择为无信息的∝ I（A），是区域A上的f或θ。在“老化”期间，采用Chen等人（2017）中的“历元”方法。

对于初始“epoch”，Metropolis算法（Metropolis et al.，1953）采用3个高斯建议分布的混合，以及随机游走平均向量，用于每个参数块。每个混合元素中每个块的建议va r-cov ma trix为Ci∑，其中C=1；C=100；C=0.01（允许非常大（i=2）和非常小（i=3）的跳跃），∑初始设置为2.38√（di）Idi。这里Dii是块（i）的尺寸；IDI是维度di的单位矩阵。随后调整协方差矩阵，目标接受率为23.4%（如果di>4，或35%（如果2≤ di公司≤ 根据Roberts、G elman和Gilks（1997）的算法，标准值为4，如果di=1，则为44%。为了增强链的收敛性，在第一个历元结束时，例如20000Iterations，在丢弃第一个（例如2000个）迭代后，计算每个参数块的协方差矩阵，该协方差矩阵用于下一个历元（例如20000个迭代）的提案分布。在每个历元之后，计算该历元中每个参数链的标准偏差，并与前一历元的标准偏差进行总体比较。这一过程一直持续到参数标准偏差的平均绝对百分比变化小于预先规定的阈值（本文采用10%）。在实证研究中，平均需要6-10个时期才能观察到低于10%的绝对百分比变化；因此，在本文的实证部分中，这些链作为磨合期运行到总计120000-200000次迭代中。

使用“独立”的Metropolis Hastingsalgorithm运行12000次迭代的最终纪元，为每个块使用三个高斯建议分布的混合。每个块的平均向量设置为该块的第一个历元迭代的样本平均向量（在丢弃前2000次迭代之后）。每个元素中的建议var cov矩阵为Ci∑，其中C=1；C=10 0；C=0.0 1，∑是该块最后一次历元迭代的样本协方差矩阵（在丢弃前2000次迭代后）。该最终纪元被用作样本期，所有估计和推断（以及预测）都是通过后验平均值进行的。5已实现（-阈值）-ES-CARE模拟研究进行模拟研究，以比较已实现阈值ES-CARE类型模型的贝叶斯方法和最大似然估计的特性和性能，包括参数估计、提前一步的VaR和ES预测精度。为了比较MCMC和ML方法的偏差和精度性能，在复制的数据集上计算平均值和均方根误差（RMSE）值。1000个重复收益序列由以下特定的平方根实现（-阈值）-GARCH模型模拟，具体为模拟模型1和2。n=1900近似为7个指数实证研究的平均样本量（固定），详情如表4所示。

为了与预测研究相匹配，并在类似情况下为估计员找到属性，模拟研究中选择了n=1900作为样本量。模拟模型1rt=phtε*t、 （12）pht=0.02+0.10Xt-1+0.85 pHT-1，Xt=0.1+0.9pht- 0.02ε*t+0.02（ε*2吨- 1） +ut，ε*ti。i、 d。~ N（0，1），uti。i、 d。~ N（0，0.3）。仿真模型2rt=phtε*t、 （13）pht=0.05+0.20Xt-1+0.80 pHT-1，rt-1.≤ 0，0.10+0.10Xt-1+0.75 pHT-1，rt-1> 0，Xt=0.1+0.9pht- 0.02ε*t+0.02（ε*2吨- 1） +ut，ε*ti。i、 d。~ N（0，1），uti。i、 d。~ N（0，0.3）。为了计算相应的已实现ES CARE真参数值，需要从仿真模型1映射到已实现ES CARE。此外，给定Φ-1（α）作为标准高斯逆cdf，我们有ut；τ=Qt=√htΦ-1（α），然后√ht=ut；τΦ-1(α). 然后，用ε*ti。i、 d。~ N（0，1），我们有t=rtut；τ=rt√htΦ-1(α)=ε*tΦ-1(α). 将其替换回模拟模型1，相应的RealizedES护理规范可以写为：ut；τ= 0.02Φ-1(α) + 0.10Φ-1（α）Xt-1+0.85ut-1.τ、 （14）ESt；α= 0.02Φ-1(α)1 +τ(1 - 2τ )α+ 0.10Φ-1(α)1 +τ(1 - 2τ )α|rt公司-1 |+0.85ESt-1.α、 Xt=0.1-0.9Φ-1（α）|ut；τ| - 0.02Φ-1（α）t+0.02Φ-1（α）（t-Φ-1（α））+ut，允许计算或读取真实参数值。这些真值显示在表1中。类似地，与仿真模型2相对应的已实现阈值ES CAREmodel的参数真值也得到了类似的推导，如表2所示。也可以计算τ参数的真值。对于每个数据集，都可以准确地计算出真实的样本内提前一步的α级VaR和ES预测；i、 e.瓦特；α=ut；τ=Qt；α=√htΦ-1（α）和ESt；α= -√htφ（Φ-1（α））α，其中φ（）是标准正常pdf。

通过方程式（5）中VaR和ES之间的一对一关系，可以精确计算出该模型中τ的true值：0.001461。VaR预测为VaRn+1=√hn+1Φ-1（α），相应的真实ES预测isESn+1=-√hn+1φ（Φ-1（α））α，其中φ是标准高斯pdf，为每个数据集计算；1000多个数据集的平均值在表1和表2的“真”列中表示为VaRn+1和sn+1。一次使用adaptiveMCMC方法，一次使用ML估计器，实现的ES-CARE和实现的阈值ES-CARE模型分别适用于模拟模型1和2生成的1000个数据集。表1总结了已实现ES护理的估计结果，其中方框表示最小bia s（最接近真实值的平均值）和最大精度（最小RMSE）方面的首选模型。首先，在这种情况下，MCMC和ML都生成了相对准确的参数估计和VaR&ES预测，这证明了第4节讨论的两种方法的有效性。对于所有9个参数和两个VaR&ES预测，与ML相比，偏差结果明显有利于MCMC估计。此外，MCMC方法对9个参数中的7个以及VaR和ES预测的精度更高。值得注意的是，所提出的框架可以生成非常接近真实τ估计，这证明了所提出框架的有效性。如第3节所述，ES-CARE模型具有简单的线性τ（1-2τ）ατ函数，与ES CAViaR Mult模型中的指数函数相比，该函数可能更容易估计，精度更高。如图所示，两种方法的τ的RMSE值相当，且远小于ES CAVia R-Mult的γ值（此处未显示模拟结果）。

在测量方程中，MCMC对ξ和φ产生了明显更好的估计结果，这两个参数是已实现GARCH框架中最重要的两个参数。如表2所示，MCMCstill证明了其与ML相比的优势。自适应MCMC和ML都能产生准确的参数估计和VaR&ES预测结果。然而，与表1中VaR和ES预测的RMSE结果相比，观察到的RMSE值增加，这是由于评估更复杂的框架所带来的挑战。就偏差结果而言，MCMC受到5个参数以及Vars和ES尾部风险预测的支持。