期望效用框架下的投资组合选择问题

（4.8）另见【19】。与[20]中的概率模型一样，我们假设α（0）=0。假设α（k）为cla ss Cn，我们将寻找方程（4.8）的解α（k）的泰勒型近似：α（k）≈nXj=0kjj！α（j）（0）（4.9）我们用u′（w+α（ku+x））来近似驱动u′（w+α（ku+x））≈nXj=0u（j+1）（w）j！αj（ku+x）j（4.10），其中，乘以ku+x，得到：（ku+x）u′（w+α（ku+x））≈nXj=0u（j+1）（w）j！αj（ku+x）j+1。（4.11）考虑到定义2.1的条件（c），从（4.11）中得出：T（A，（ku+x）u′（w+α（ku+x）））≈nXj=0u（j+1）（w）j！αjT（A，（ku+x）j+1）通过前面的等式，一阶条件（4.8）的形式为：nXj=0u（j+1）（w）j！（α（k））jT（A，（ku+x）j+1）≈ 0.（4.12）（4.12）是未知α（k）中的一个n阶方程。在大多数情况下，很难找到精确解，因此将搜索不同形式的α（k）近似计算。在以下小节中，我们建立了α（k）的近似计算公式，其中显示了效用函数u的绝对风险厌恶和谨慎性指标。这些指标定义如下：ru（w）=-u′（w）u′（w）（绝对风险规避的Arrow-Pratt指数[1]，[27]）（5.1）Pu（w）=-u′′（w）u′′（w）（金球审慎指数[22]）（5.2）3.2基于绝对风险规避和审慎的最优配置我们将考虑优化问题（4.5），保留第3.1小节中的所有符号。我们将搜索最优分配α（k）的近似形式：α（k）≈ α（0）+kα′（0）+kα′（0）=kα′（0）+kα′（0）。（5.3）本文的两个主要结果通过风险厌恶和谨慎确定了α′（0）和α′（0）的近似值。命题3.1α′（0）≈uT（A，x）ru（w）。证据

对于n=1，等式（4.12）得到公式u′（w）T（A，ku+x）+α（k）u′（w）T（A，（ku+x））≈ 0（5.4）根据定义2.1，我们有T（A，ku+x）=ku+T（A，x）=ku+Ef（A），导出关于k的方程式（5.4），并考虑（D）我们将获得u′（w）u+u′（w）[α′（k）T（A，（ku+x））+2α（k）uT（A，ku+x）]≈ 0设置k=0，考虑到α（0）=0，我们有u′（w）u+u′（w）T（A，x）α′（0）≈ 0。从紧跟α′（0）的位置≈-uT（A，x）u′（w）u′（w）=uT（A，x）ru（w）。命题3.2α′（0）≈Pu（w）（ru（w））T（A，x）（T（A，x））u。证据对于n=2，方程式（4.12）变为′（w）T（A，ku+x）+u′（w）α（k）T（A，（ku+x））+u′（w）（α（k））T（A，（ku+x））≈ 我们记得T（A，ku+x）=ku+Ef（A）=ku。考虑（D）：u′（w）u+u′（w）[α′（k）T（A，（ku+x）+2α（k）uT（A，ku+x）]++u′（w）[2α（k）α′（k）T（A，（ku+x））+3（α（k））uT（A，（ku+x））]≈ 再对k进行一次推导，设置k=0，并考虑环α（0）=0和Ef（A）=0，我们将得到：u′（w）α′（0）T（A，x）+u′（w）（α′（0））T（A，x）≈ 0从中获得α′（0）≈ -u′′（w）u′′（w）T（A，x）T（A，x）（α′（0））。考虑到命题3.1、等式（5.1）和等式。（5.2），它将遵循：α′（0）≈Pu（w）（ru（w））T（A，x）（T（A，x））u。本文的以下第一个主要结果建立了T模型解的第一个近似值。定理3.3最优分配α（k）可近似为：α（k）≈uru（w）T（A，x）k+uPu（w）（ru（w））T（A，x）（T（A，x））kProof。用命题3.1和3.2中的近似值替换（5.3）中的α′（0）和α′（0）a。备注3.4由于Ef（A）=0，因此T（A，x）=V arT（A）和T（A，x）=SkT（A），因此根据定理3.3，最优分配α（k）可近似为α（k）≈uru（w）V arT（A）k+uPu（w）（ru（w））SkT（A）（V arT（A））k。

（5.5）如（5.5）所示，α（k）表示为：o箭头Pratt指数ru（w）和谨慎指数Pu（w）oT-方差V arT（A）和T-偏度SkT（A）。让我们展示一些解决方案的示例。例3.5我们考虑效用函数u（w）=waa，其中a 6=0。简单计算表明ru（w）=1-哦；Pu（w）=2-哦；Tu（w）=3-aw（5.6），从中得出RU（w）=w1-一Pu（w）（ru（w））=2-a（1-a） w（5.7）替换定理5.3中α（k）表达式中的gru（w）和pu（w）（ru（w）），我们发现α（k）≈kuw（1-a） T（a，x）[1+ku2-a1级-在（A，x）（T（A，x））]（5.8）处，我们假设加权函数为f（γ）=2γ，A是一个三角形模糊数A=（b，α，β），Ef（A）=0，T是示例3.2中的D-运算符tf。根据【31】，备注2.1，（a）和（b），我们有T（a，x）=V arT（a）=α+β+αβ（5.9）T（a，x）=SkT（a）=19（β-α)+αβ(β-α） （5.10）则公式（5.8）变为α（k）≈18kuw（1-a） （α+β+αβ）[1+9ku（2-a） 1个-a57（β-α)+9αβ(β-α） （α+β+αβ）]（5.11）在对称三角模糊数a=（b，α）的情况下，我们有b=0，α=β，公式（5.11）变成α（k）≈6uw（1-a） αk.（5.12）例3.6假设可变形函数u为HARA型（See[20]，第3.6节）：u（w）=ζ（δ+wγ）1-γ、 对于δ+wγ>0（5.13），根据[20]，第3.6节：ru（w）=（δ+wγ）-1和Pu（w）=γ+1γ（δ+wγ）-1如下所示：ru（w）=δ+wγ，pu（w）（ru（w））=γ+1γ（δ+wγ）。将（5.5）ru（w）和pu（w）（ru（w））中的值替换为上述值，最佳分配α（k）将近似为：α（k）≈ ku（δ+wγ）V arT（A）+（ku）γ+1γ（δ+wγ）SkT（A）（V A rT（A））（5.14）假设加权函数f的形式为f（t）=2t，t∈ [0, 1]. 风险A是一个三角形模糊数A=（b，α，β），Ef（A）=0，T是一个算子T。通过（5.9）和（5.10），在这种情况下，公式（5.14）将得到形式：α（k）≈ 18u（δ+wγ）α+β+αβk++uγ+1γ（δ+wγ）19（β-α)+αβ(β-α） （α+β+αβ）k。

（5.15）在以下小节中，我们将根据以下参数证明最优配置α（k）的近似计算公式：o与效用函数u相关的风险规避、谨慎和节制指标；o与模糊数相关的T方差、T偏度和T峰度。3.3绝对风险规避、谨慎和节制方面的最优配置，以确定节制指标Tu（w）=-uiv（w）u′′（w）出现在最优解α（k）中。我们将写出n=3的公式（4.9）：α（k）≈ kα′（0）+kα′（0）+3！kα′′（0）。（6.2）本文的第三个关键结果建立了α′′（0）的近似计算公式。它强调了α′（0）、α′（0）（见命题3.1和3.2）与α′（0）之间的依赖关系。证据见附录。命题3.7α′′（0）T（A，x）+6α′（0）u-3Pu（w）[α′（0）α′（0）T（A，x）+3u（α′（0））T（A，x）]++Tu（w）Pu（w）（α′（0））T（A，x）≈ 利用命题3.7的依赖关系，我们将给出以下最佳解α（k）的近似计算公式。因此，本文的第二个主要结果确定了我们模型最优解的近似值。定理3.8α（k）≈kuru（w）T（A，x）+（ku）Pu（w）（ru（w））T（A，x）（T（A，x））--（ku）ru（w）（T（A，x））+（ku）（Pu（w））（ru（w））（T（A，x））（T（A，x））+（ku）Pu（w）（ru（w））（T（A，x））-（ku）Tu（w）Pu（w）（ru（w））T（A，x）（T（A，x））。证据根据（5.3）和定理3.3，kα′（0）+kα′（0）≈kuru（w）T（A，x）+（ku）Pu（w）（ru（w））T（A，x）（T（A，x））（6.10）x（6.2），在（6.2）的组分中，表示（6.10），3！出现kα′′（0）。

我们将使用命题3.7中的α′（0）、α′（0）和α′′（0）之间的依赖关系来计算该项。我们回顾了命题3.1和3.2中α′（0）和α′（0）的近似值：α′（0）=uru（w）T（A，x）；α′′（0）=uPu（w）（ru（w））T（A，x）（T（A，x））（6.11）考虑到（6.1 1）一个简单的计算表明o3！k6α′（0）u=（ku）ru（w）T（A，x）o3！k3Pu（w）α′（0）α′（0）T（A，x）=（ku）（Pu（w））（ru（w））（T（A，x））T（A，x））o3！k9Pu（w）u（α′（0））T（A，x）=（ku）Pu（w）（ru（w））（T（A，x）o3！k（α′（0））T（A，x）Tu（w）Pu（w）=（ku）Tu（w）Pu（w）（ru（w））T（A，x）（T（A，x））将命题3.7的恒等式乘以3！考虑到上述四个等式，它如下：3！kα′′（0）T（A，x）+（ku）ru（w）T（A，x）--（ku）（Pu（w））（ru（w））（T（A，x））（T（A，x））-（ku）Pu（w）（ru（w））T（A，x）+（ku）Tu（w）Pu（w）（ru（w））T（A，x）≈ 0。从这个方程中，我们找到了3的值！kα′′（0）：3！kα′′（0）≈ -（ku）ru（w）（T（A，x））+（ku）（Pu（w））（ru（w））（T（A，x））（T（A，x））+++（ku）Pu（w）（ru（w））（T（A，x））-（ku）Tu（w）Pu（w）（ru（w））T（A，x）（T（A，x））。将（6.2）中的kα′（0）+kα′（0）替换为（6.10）和（3）中的值！kα′′（0）与上述计算值，α（k）的近似值如下所示。我们通过风险y资产的四个一阶中心矩重写了第二个主要结果。推论3.9α（k）≈uru（w）V arT（A）k+（u）Pu（w）（ru（w））SkT（A）（V arT（A））k+(-uru（w）（V arT（A））+u（Pu（w））（ru（w））（SkT（A））（V arT（A））++uPu（w）（ru（w））（V arT（A））-uTu（w）Pu（w）（ru（w））KT（A）（V arT（A）））k.证明。

由于Ef（A）=0，我们将得到T（A，x）=V arT（A），T（A，x）=SkT（A）和T（A，x）=KT（A）。花冠y 3.9的α（k）的近似表达式相当复杂。因此，表示f=ru（w）V arT（A）；F=Pu（w）（ru（w））SkT（A）（V arT（A））；F=ru（w）（V a rT（a））；F=（Pu（w））（ru（w））（SkT（A））（V arT（A））；（6.12）F=Pu（w）（ru（w））（V a rT（a））；F=Tu（w）Pu（w）（ru（w））KT（A）（V A rT（A））。从推论3.9中，我们将获得：备注3.10最优分配α（k）的近似值将用以下公式计算：α（k）≈ kuF+（ku）F- （ku）[F-F-F+F]（6.13）为了获得α（k）的近似值，我们将首先计算：F，F使用公式（6.12），则这些公式将在（6.13）中替换。例3.11我们用初始数据考虑可能性投资组合问题（4.4）：o权重函数为f（t）=2t，t∈ [0，1]o代理的效用函数为u（w）=wa，a>0。然后，通过示例5.5ru（w）=1-哦；Pu（w）=2-哦；Tu（w）=3-哦；ru（w）=w1-一Pu（w）（ru（w））=2-a（1-a） 此外，我们将有：（Pu（w））（ru（w））=（2-a） （1）-a） w；Tu（w）Pu（w）（ru（w））=3-a（2-a） （1）-a） w.在（6.12）中替换，其如下F=w1-aV艺术（A）；F=（2-a） w（1-a） SkT（a）（V a rT（a））；F=w1-a（V a rT（a））；F=（2-a） w（1-a） （SkT（a））（V a rT（a））；F=（2-a） w（1-a） （V第（a）条）；F=（3-a） w（2-a） （1）-a） KT（a）（V a rT（a））。假设风险A由三角模糊数A=（b，α，β）表示，T是D-算子T。那么V arT（A）和SkT（A）可以用公式（5.9）和（5.10）计算。根据【31】，备注2.1（2），对于KT（A），我们有以下值：T（A，x）=KT（A）=βα+5（α+β）+2αβ（α+β）替换上述F-F表达式中的V arT（A）、SkT（A）和KT（A）的值，我们发现它们的以下形式：F=w1-aα+β+αβ，F=（2-a） w（1-a） [19（β-α)+αβ(β-α） ]（α+β+αβ），F=w1-a（α+β+αβ），F=（2-a） w（1-a） [19（β-α)+αβ(β-α） ]（α+β+αβ），F=（2-a） w（1-a） （α+β+αβ），F=（3-a） w（2-a） （1）-a） 1458αβ+1215（α+β）+2×18αβ（α+β）（α+β+αβ）。替换获得的F值。

，Fin（6.13），一个获得最优分配α（k）的近似值。4结论性意见本文在可能性欧共体理论的框架下讨论了风险资产为模糊数时的最优投资组合问题。本文的第一个贡献是引入了特殊的期望算子，称为D算子。通过保持效用函数对参数的部分可验证性来定义，这将允许研究优化问题的一阶条件。本文的第二个贡献是在欧氏理论中与D算子T相关的一个可能性投资组合选择问题的公式。第三个贡献是证明了一个近似公式，用于解决与投资组合问题相关的优化问题，该公式基于投资者的参考指标（风险厌恶、谨慎、节制）和与T相关的可能性矩。一个悬而未决的问题是，在D运营商的背景下，研究具有两种风险类型的模型：将投资风险从标准模型中分离出来，使之成为背景风险。投资风险和背景风险都可以是随机变量或模糊数，因此我们总共有四个模型。对于每四个背景风险模型，我们应该找到相应优化问题的近似值，以便在特定情况下，t=t可以找到[19]中的结果。文献[21]定义了Jensen型算子，这一概念极大地扩展了预期效用算子。它们不仅可以作用于模糊数，还可以作用于随机模糊数、2型模糊集、2型模糊集等。即使Jensen型算子不是线性的，它们也允许发展新的风险规避理论。

特别是在[21]中，证明了一个非常普遍的Arrow-Pratttype定理。引入Jense n型算子的线性条件和一些类似于（D）、（D）的公理，我们可以得到DJensen型算子的概念，它应该扩展我们的D-算子。对于D-Jensen-typeoperators，本文结果的推广是一个开放的问题。附录：命题3.7证明。对于n=3，一阶条件（4.12）得到公式u′（w）T（A，ku+x）+u′（w）α（k）T（A，（ku+x））+u′（w）（α（k））T（A，（ku+x））+uiv（w）3！（α（k））T（A，（ku+x））≈ 从上一节我们知道t（A，ku+x）=ku。