瞬时市场波动率估计

如果（8）中的波动性被高估，3市场不变量8表1：testssec hTP rice的衍生工具月日TP ricehγiσγ相关p值的测试不变量γ=1，TV olumrei S-W K-SS&P E-mini 2016年9月71 26.23 0.850 0.122 0.807 0.029 0.908S&P E-mini 2016年12月71 20.43 0.832 0.084 0.899 0.990 0 0 0.999WTI 2016年12月42 7.27 0.905 0.132 0.461 0.001 0.123 WTI 2017年1月33 5.31 0.978 0.197 0.434 0.909 0.970美国10年期T-Note 2016年6月84 144.5 0.885 0.110 0.770 7 1.2×10-60.060美国10年期国债2016年9月86 136.1 0.919 0.111 0.679 0.194 0.974美国10年期国债2016年12月83 135.6 0.862 0.092 0.867 0.463 0.783德国欧元-德国2017年6月65 29.07 0.966 0.126 0.802 0.089 0.644德国欧元-德国2017年6月63 32.1 1 1 1.125 0.151 0.657 0.361 0.383这将使hγi>1，低估将使其小于1。这就是为什么，为了消除波动率计算偏差，我们可以使用较弱的零假设，即“γ值是正态分布的”。从结果中我们知道期望值大约为1，但这不是假设的一部分。新的零假设通过Shapiro-Wilk（S-W）和Kolmogorov-Smirnov（K-S）检验进行检验。测试方法的p值应高于切割值α=0.05，这意味着无效假设不会被拒绝。根据Kolmogorov-Smirnov检验，所有导数的γ值均为正态分布。Shapiro-Wilk测试拒绝两个数据集。Crude oil的结果表明，正态性检验是多么脆弱：1月份的合同具有良好的正态性，尽管12月份的合同没有通过Shapiro-Wilk正态性检验。

从这些结果中，我们可以得出结论，随机变量γ很可能正态分布在一个接近于1的期望值附近。此外，比率（8）在一组股票上进行了测试，这些股票是全球不同交易所主要指数的一部分：伦敦证券交易所（FTSE All Shares and FTSE 100）、东京证券交易所（Nikkei 2 25）、法兰克福证券交易所（DAX 30）、纳斯达克斯德哥尔摩证券交易所（OMX 30）和多伦多证券交易所（S&P/TSX 60）。从指数的所有组成部分中，仅选择TP大米<15分钟的流动股票进行分析。对2016年最后一个季度的报价和交易数据进行了处理，并对每种股票计算了三个月的平均TV销售额和TP价格。应该注意的是，富时100指数的结果数据已经显示在图2中。通过分析其他指数的类似图表，我们观察到，如果一只股票处于某种压力条件下（收益、公司新闻、重组），gamma值可能与预期值相差很大。后面的章节将为这一说法提供证据。对于股票，我们还将个别股票的平均值合并为交易所平均值。4瞬时波动率估计9这些计算结果如表2所示。过测线γi表示单个仪器上γ值的额外交换范围。此值非常接近值1：| 1-所有指数的hγi |<σγ，但DAX 30除外。我们还观察到，两个特征时间外汇指数之间存在很强的相关性，其范围从加拿大股票的0.676到德国股票的0.954。与导数的情况类似，我们也可以预期hγi值的正态分布。根据Kolmogorov-Smirnovtest，并非所有指数都拒绝了正态分布假设，但日经225指数拒绝了正态分布假设。

Shapiro-Wilktest还对瑞典OMX 30进行了调查。应该注意的是，正态性检验对异常值非常敏感：处于困境状态的股票很少会对整个交易所产生偏差。例如，日经指数（Nikkei）的股票不满足正态性检验，尽管它们显示出非常接近统一的hγi值以及特征时间之间的强相关性。表2:equitiesIndex Instruments测试不变量γ=1 TP ricehγiσγ相关测试总TP大米<15min sec hTP大米，TV olumrei S-W K-SFTSE所有股票630 253 338.4 0.938 0.154 0.848 0.083 0.518FTSE 100 95 169.7 1.060 0.093 0.944 0.224 0.854Nikkei 225 200 210.4 1.007 0.175 0.898 1.8*10-120.012DAX 30 30 3 0 78.8 1.115 0.100 0.954 0.126 0.870OMX 30 30 3 0 210.4 1.169 0.186 0.678 7.8*10-60.196S&P/TSX 60 60 3 4 95.2 1.264 0.299 0.676 0.340 0.709总体而言，我们可以说市场不变量（8）适用于各种市场的统计平均值。我们用于股票选择过程的唯一条件是工具的高流动性，其表现为相对较低（小于15分钟）的特征时间。4、瞬时波动率估计期内波动率估计量σiT可以通过σI从（2）中使用的价格的标准偏差计算得出(T）≡σ(T）hP r icei，（11），其中ang le括号，如前所述，表示历史平均值。利用市场不变量（8），区间波动率T可估计为σI(T）=hspre adihP r iceisVT等级(T）hVBIDi+hVASKis1+经验-hspreadi/T S-1.√hspreadi/T S. （12） 4瞬时波动率估计10将定义（11）与实际波动率的近似值（10）相比较，很明显σIis是实际波动率的近似值。公式（12）右侧的所有值（交易量的比例）不会随时间发生显著变化。

短时间间隔内的交易量可以通过tradingrate表示，这在每分钟的基础上也不会发生显著变化。因此，可以通过非常短的时间观察（实际上是很少的时间间隔）来估计流动性工具的波动性。这一特性在algo交易中很有价值，因为可以使用这种计算。由于估计的短期性质，我们将获得的值称为瞬时波动率。实践计算表明，公式（12）是反渗透的，可以修改为真正的瞬时值：平均价格可以替换为最后的交易价格，历史平均的spre ad和订单量可以替换为超过3-5个市场深度水平的平均值。如果交易量是根据交易量文件估计的，那么波动性可以通过订单和交易量文件的快照计算出来，这通常在交易平台上可用。4.1. 波动率对价差的依赖性（12）中的前两项与波动率的价差依赖性相关。非常直观的是，波动率与价差成正比：如果价格不变动，交易将采用静态最佳出价和最佳价格，而这与价差值不同（因此被称为“买卖反弹”）。因此，价格在时间间隔内发生变化P∝ 传播（12）中的第二项使得这种依赖性稍微小一些，并且是非线性的。点hspreadit S=1附近的泰勒展开显式显示了σI∝ hspreadi公司1.-hspre支洞S- 1..对于较大的摊铺，他将重新摊铺>> 1，波动率收敛于线性利差依赖σI∝hspre adi公司√.4.2. 波动率对交易量的依赖性实证研究表明，实际波动率对交易量的依赖性很强。

例如，Bogousslavsky和Collin Dufresne（2019）报告称，纽约证券交易所、美国运通和纳斯达克股票的实际波动率与日内成交量高度相关（与市场深度成交量呈负相关）。根据（12），波动率估计值取决于交易量σI∝sVT分级(T）hVBIDi+HVASKIT对交易量的依赖很容易解释：如果没有交易，价格将是静态的，不会导致波动。相反，大规模的激进购买订单将产生高交易活动，并可能增加价格（波动性）。4瞬时波动率估计11从另一方面来看，如果订单中有大量的交易量，则会影响价格变动：所有这些交易量都必须进行交易，以使价格变动。这种情况的一个极端例子是大额限购订单，它可以完全阻止价格下跌。因此，波动率与订单中的交易量成反比是符合逻辑的。市场为成交量依赖性创造了一个自然的测试：在英国，在伦敦证券交易所上市的股票也在小型交易所Chi-X、BATS和Turquoise进行交易。这些股票具有相同的ISIN代码，完全可以替代。由于没有套利，所有交易所的spo t价格对于同一种工具都是相同的，而交易量取决于交易所的受欢迎程度，可能会有一个数量级的差异。

根据公式（12），使用不同交易所的数据得出的波动率估计值应是可比较的，并与历史波动率一致。020460001/10/16 01/11/16 01/12/16 01/01/17 01/02/17 01/03/17 01/04/17波动率（%）BATS Chi-X伦敦证交所绿松石波动率巴克莱股份有限公司（Barclays PLC）的历史波动率图3：将巴克莱股份有限公司在不同交易所计算的瞬时波动率与历史波动率（实线）进行比较。蓝色虚线对应2017年2月23日，即年度报告日。图3显示，基于不同交易所的数据，对Bar c lays PLC股票的波动性估计得出了类似的结果，尽管该工具在伦敦证交所的股票交易量d是BATS交易量的7.8倍，是绿松石交易量的3倍。这5与已实现波动率和GARCH（1,1）12图表als o的比较表明，已实现波动率具有很强的响应性：该数据上的虚线显示了年度报告日期，当时巴克莱股份有限公司报告其2016年经营利润大幅增加。4.3。波动率对时间的依赖瞬时波动率对交易量的依赖隐含着时间依赖性。订单簿中的价差、价格和数量等变量取决于时间，但这一时间依赖性仅取决于固定不变值周围的一些随机波动。另一方面，如果交易率保持不变，交易量将随时间线性增长：VT raded(T）∝ T如果忽略成交量文件的影响（在交易开始和结束时更活跃的交易）或测量时间，则这种说法是正确的T很小。

那么瞬时波动率的时间依赖性仅为σI∝√T，这是随机游走模型预测的价格波动率测量的预期时间标度。如前所述，与已实现波动率和GARCH（1,1）相比，公式（12）允许立即估计波动率。它需要短时间的交易历史和订单簿信息，这对于日内时间段的波动性估计非常有用。很难将其与波动性的历史估计进行比较，因为它们处理的是更大的数据，通常是每日或每周的数据。与不变量的情况一样，实际波动率（10）可用于量化估计的准确性。图4比较了瞬时波动率与实际波动率以及RMetrix为R制定的GARCH（1,1）模型包的提前一天预测，以执行这些计算（包fGarch（20 13））。6月24日，英国宇航系统公司（BAE Systems）宣布退出欧洲参考咨询公司（Br exit EUreferendum）的结果后，波动率图表中间出现了一个峰值，这与市场受到的冲击相对应。瞬时波动率正确反映了这一天的波动率增加。GARCH结果正处于这种急剧的峰值，导致第二天出现波动峰值。可使用均方误差对波动性进行定量比较，均方误差由公式MSEI=NXi（σi，R）定义- σi，i），（13）如果在一年中的N个交易日进行求和，σi，Ris是第i天的实际波动率，σi，Iis是同一天的瞬时波动率。以类似的方式，可以计算arch（1,1）预测的均方误差。为了公平比较图4所示的数据，删除了6月24日的异常值。总体而言，2016年，M SEI=7.1×10-6尽管对于GARCH（1,1）模型，MSEGARCH=1.7×10-3，超过200倍，使其估计不太可靠。

5与已实现波动率和GARCH（1,1）13025507510001/02/16 01/04/16 01/06/16 01/08/16 01/10/16 01/12/16波动率（%）的比较BAE Systems PLC（BA..L）的GARCH（1,1）瞬时波动率已实现波动率图4:BA。。L与一日前GARCH（1,1）估计值（绿色直线）和5分钟不稳定预测值（蓝色直线）相比，实际波动率（橙色直线）。波动率以年率表示。5与实际波动率的比较和GARCH（1,1）14的差异在图表上可见：GARCH高估了今年上半年的波动率，然后每次波动率出现峰值，第二天GARCH都会有类似的波动。瞬时波动率没有这个滞后因子，因为它使用的是同一天的数据。公式（12）c的最终检验应是预测波动率值与实际波动率的直接比较。假设波动率在较短的时间间隔内不会发生变化，可以使用σi，Iasa对未来时间间隔的波动率进行预测。让我们引入一个随机变量ξi=riσi-1，I，（14），其中观察到的价格对数回报除以在前一时间步上计算的瞬时波动率。由于我们将价格回报除以其预计标准偏差，r和m变量ξ的分布应等于或可比于正态分布N（0，1）。当通过5分钟的观察预测5分钟的价格变动时，流动股票的这种分布的实际计算如图5所示。标准化收益率的标准偏差σξ=1.454意味着瞬时波动率未将实际波动率低估约45%。0.00.10.20.30.4-6.-5.-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4 5 6ξDensityBarclays Plc（2016年10月- 2016年12月）图5：使用历史5分钟数据预测未来5分钟价格回报的标准差时，随机变量ξi的分布。

蓝线表示σ（ξ）=1.454的拟合正态分布，绿线表示N（0，1）分布。6结论15这有两个方面：首先，理论值σξ=1很好地描述了小收益的分布；然而，重新调整后的σξ具有更宽的尾部，对于更大的价格变动更有效。其次，标准化收益的分布（14）显然是非高斯分布，因为微观结构偏差在这些时间间隔上发生。从Andersen、Bollerslev、Diebold和Labys（2000）编制的波动率特征图中可以清楚地看出：即使对于液体工具，在短时间内计算的实际波动率也可能显著高估波动率测量值。表3：根据不同预测期（列）使用的不同历史间隔s（行）计算的实现标准偏差σξ。历史/预测1分钟5分钟10分钟30分钟60分钟1分钟3.045 2.734 3.539 2.316 2.7775分钟1.454 1.446 1.434 1。42810 min 1.363 1.364 1.36130 min 1.343 1.27960 min 1.3802016年10月，收集了约10000个Bar clays Plc库存的一分钟观察值，并将其组合到表3中。该表表明，短期波动率预测有效，但其准确度有限。对于这一特殊数据，5-10分钟的观察足以估计短期价格波动的波动性，尽管一分钟的历史数据不足以做出可靠的波动性预测。结论SWE提供了一种新的短期波动率估计方法。它基于一个市场不变量，该不变量是在对algo模型进行研究时根据经验发现的。不变量代表市场的基本属性，并将工具的波动性与交易量、价差大小和订单中的交易量联系起来。

对来自不同国家的多种股票、在英国交易的可替代工具、衍生品进行了测试。结果表明，液体仪器的不变量成立。市场不变量在市场均衡状态下工作；如果交易工具处于压力状态，则可能会观察到与所获得公式的偏差。不变量可能会被不寻常的交换规则或做法所扭曲，但我们没有观察到此类市场。我们可以想到的另一个潜在修正是与隐藏流动性相关的修正，该修正可以很容易地纳入方程中。瞬时波动率公式由不变量推导而来。利用实际波动率，将其与GARCH（1,1）估计进行比较。比较表明，即时波动率在估计短期价格波动率方面是准确的，并且能够正确预测市场异常情况，这可能来自参考文献16公告和地缘政治事件。瞬时波动率可用于algo交易和forVIX交易者的准确波动率预测。不变量c也可用作处于应力状态的仪器的指示器。参考访问。Figlewski，《利用历史数据预测波动率》，财务部，工作论文系列，纽约大学斯特恩商学院，纽约，纽约，（1994）。T、 G.Andrsen，T.Bollerslev，F.X.Diebold，H.Ebens，《股票收益率波动率的分布》，金融经济学杂志61（2001），43–76。O、 Danyliv，B.Bland，A.Argenson，《从算法交易的角度看随机游走模型》，SSRN，https://ssrn.com/abstract=3436367C.Brownlees，R.Engle，B.Kelly，《通过平静和风暴进行波动性预测的实践指南》，风险杂志142（2011），3-22。D