离散时间投资组合优化

约束方程再次类似于（4），可以比较我们在前几节中获得的帕累托分布和威布尔分布的最优策略。获得的平均值和形状参数如下（见表3）。表3应在此处使用700个返回数据点估计参数后，我们检查接下来的50个数据点是否来自相同的分布。我们得到了Kolmogorov-Smirnov统计量D=0.14623的值，该值小于D50，0.05=0.19206。由于D<D50，0.05，我们不能拒绝零假设，并得出结论，数据与逆高斯分布之间没有显著差异（u=0.0097，λ=0.0044）。投资组合优化当回报率为重尾13时，我们再次考虑三种可选利率。把分位数的值放在方程（4）中，把（1）中的财富值放在我们得到的同一个方程中，P（πt-第一个-1+（M-πt-1） r>0.00096，πtSt+（M-πt）r>0.00096）P（πtSt+（M-πt）r>0.00096）≥ 0.95取M=1，PSt公司-1> 0.00096+r（πt-1.-1） πt-1，St>0.00096+r（πt-1） πtPSt>0.00096+r（πt-1） πt≥ 0.951.95Φvuutλ0.00096+r（πt-1） πt0.00096+r（πt-1） πtu-1!!+ exp2λu！Φ-vuutλ0.00096+r（πt-1） πt0.00096+r（πt-1） πtu+1！！！-Φvuutλ0.00096+r（πt-1.-1） πt-10.00096+r（πt-1.-1） πt-1u-1!!+ exp2λu！Φ-vuutλ0.00096+r（πt-1.-1） πt-10.00096+r（πt-1.-1） πt-1u+ 1!!!≥ 0.95为了简单起见，让我们用这些符号表示以下术语yt=rλ/0.00096+r（πt-1） πt,燃气轮机=0.00096+r（πt-1） πt/u.然后，可以将所需条件重写为1.95Φ年初至今燃气轮机-1.+ 2.48×Φ-年初至今燃气轮机+1-Φ年初至今-1.燃气轮机-1.-1.+ 2.48×Φ-年初至今-1.燃气轮机-1+ 1≥ 0.95.Or，1.95Φytgt公司-年初至今+ 4.84Φ-ytgt公司-年初至今-Φ年初至今-1gt-1.-年初至今-1.-2.48Φ-年初至今-1gt-1.-年初至今-1.≥ 0.95. （13） 我们假设终端最优策略为0.1。

绘制（13）在非线性方程解算器的帮助下，我们可以注意到最优策略（图（7a））的变化，并观察到π的变化随时间呈非线性，并且对于所有利率都是相同的。r[图（7a）]应再次放在此处，以检查最优策略与交易成本之间的关联，我们已经实施了这两个场景。3.3.1无交易成本将从（13）中获得的π值放入（1）中，同时计算最大报酬Wt-1在从t过渡到t-1时，我们计算（3）中定义的值函数。如果我们绘制过去26天历史数据的价值函数（图（8a）），我们可以解释，随着时间的逐渐增加，价值函数的波动缓慢，但当其接近终点位置时，波动增加。总的来说，价值函数略微取决于利率r。

当利率最小时，则值函数获得的值最小，而对于最大利率，值最大。[图（8a）]最后应放在此处，当我们绘制过去26天历史数据中的投资组合财富时，可以推断，在整个时间段内，投资组合财富随着r的所有值的变化和增加而变化，但是，当收益率为重尾14时，投资组合优化的利率r最大时，投资组合财富也最大，当利率最小时，投资组合财富最小（图（9a））。【图（9a）】应放在此处3.3.2交易成本，当交易成本考虑到财富方程（1）修正toLt=πtSt+（1-πt）r-（πt-πt-1） r（14）使用（13）并取r（最优策略变化的交易成本率）=10%的值，我们绘制了过去26天历史数据的最优策略，并且可以观察到最优策略在整个时间段内呈非线性增长。曲线斜率的变化因利率不同而不同。当利率最小时，斜率变化最小；当利率最大时，斜率变化也最大。（见图（7b））。

这种情况类似于无交易成本的情况。[图（7b）]应放在此处。如果我们绘制过去26天历史数据的价值函数（图（8b）），我们可以看出，当我们将其与无交易成本情景进行比较时，价值函数具有类似的绘图。[图（8b）]最后应放在此处，当我们绘制过去26天历史数据中的投资组合财富时，可以解释为财富以类似于无交易成本情况的方式变化（图（9b））。[图（9b）]应放在此处3.4模型精度的比较在我们继续讨论非参数分析之前，我们在本节结束时简要讨论了我们所考虑的三个候选者与文献中讨论的其他几个常见候选者之间建模成功的比较。我们考虑了混合正态分布（如Kim et al.，2012），它可以很容易地适应厚尾（具有有限矩）、过度偏度和峰度。我们还考虑了方差Gamma，以考虑跳跃式回报分布（如Perez et al.，2016）。我们采用与上述相同的策略测试样本优度（一旦使用700个返回数据点估计参数，我们将检查接下来的50个数据点是否来自相同的分布）。这两个分布的估计结果如下：混合正态：我们考虑两个组分N（u，σ）和N（u，σ）。混合比例为π，两个平均值之间的标准差为δ=|u-u|/σ. 最后，BI是双峰指数δpπ（1-π） （参见表4）。表4所示为KS检验统计量D=0.083333，小于临界值0.12323。

因此，分布很好地拟合了数据。方差Gamma我们使用Nelder-Mead优化方法来估计最大似然误差（参见表5）。表5应在此处，KS检验统计量为D=0.2603，大于临界值。因此，此候选分布无法匹配样本外数据。投资组合优化当回报率为重尾15时，我们在下表中总结了比较（参见表6）。表6应该在这里，因此我们可以看到，混合常态表现最好，尽管它的成本要高得多，因为它需要估计六个参数，而我们所有的候选者只有两个参数。其中，逆高斯性能最好，其次是威布尔。方差Gamma表现最差，因为它无法描述手头的数据。4回报未知分布的示例和数值结果4.1无交易成本当股票价格回报的分布函数未知时，我们尝试使用核密度估计（KDE）拟合分布。这是一种估计随机变量概率密度函数的非参数方法。KDE是基于我们选择的有限数据样本的一个基本数据平滑问题。如果我们有（x，x…..xn）作为来自未知分布f的独立单变量样本，那么我们可以写出[fh（x）=nhn∑i=1Kx个-xih公司其中K是非负函数的核，h>0是称为带宽Markovich（2007）的平滑参数。使用KDE函数，我们得到以下参数估计值（参见表7）。表7应该再次出现在这里，我们为r取三个不同的值。现在，（4）可以再次用于确定投资组合财富的条件概率。

展开我们得到的，P（πt-第一个-1+（M-πt-1） r>Q0.05，πtSt+（M-πt）r>Q0.05）P（πtSt+（M-πt）r>Q0.05）≥ 0.95便士St公司-1> Q0.05+r（πt-1.-M） πt-1，St>Q0.05+r（πt-M） πtPSt>Q0.05+r（πt-M） πt≥ 0.95FQ0.05+r（πt-M） πt-FQ0.05+r（πt-1.-M） πt-1.1.-FQ0.05+r（πt-1.-M） πt-1.-F≥ 0.95（15）取M=1000，现在借助R-Studio中的标准数值积分求解（15），我们得到了如图（10a）所示的关系。我们可以观察到，在过去26天的历史数据中，最优政策的变化并不那么频繁。投资者会将资产保持在特定状态一段时间。此外，对于最低利率，波动峰值最小；对于最高利率，波动峰值最大。[图（10a）]应放在此处。如果我们认为终值为0.001，并绘制值函数[图（11a）]，它会发生变化，但当它接近终值位置时，它会先减小，然后增大。更改终值不会在值函数的行为中产生任何差异。此外，利率在地块中几乎没有意义，只有当利率处于波动状态时才能看到意义。[图（11a）]应放在此处绘制投资组合财富[图（12a）]我们观察到财富会发生变化，但当财富接近终点位置时，财富会以与价值函数相同的方式增加。当收益率为重尾16时，改变终值并不会使投资组合优化在投资组合财富的行为上产生任何差异。

此外，当投资组合财富保持不变时，利率的变化对地块的影响很小，在波动期间不会产生任何影响。【图（12a）】应放在此处4.2，交易成本绘制交易成本对最优策略的影响。我们可以看出，波动与非交易成本情景相似，但利率r没有影响。（见图（10b））。当我们考虑流程中涉及的交易成本并绘制价值函数（图（11b））时，应将[图（10b）]放在此处。我们观察到，它会增加和减少，但随着它向终端位置移动，价值函数变得稳定。利率r对波动没有影响。[图（11b）]也应放在此处，当我们绘制投资组合财富时（图（12b）），我们观察到投资组合财富会发生变化，但利率r不会产生影响。[图（12b）]应放在此处5结论我们提出了一个新的投资者目标框架，以处理股票价格回报的重尾分布，并试图根据管理风险价值（Var）。正如我们所知，重尾分布不存在矩，分位数是解决投资组合优化问题的唯一方法。在我们提出的投资组合优化方法中，我们将财富方程离散化，并应用一般的马尔可夫决策问题公式。因此，它已成为一个动态规划问题。

我们考虑两种可选方案进行优化，其中分布已知，而分布未知。在已知的分布情况下，我们将帕累托分布、威布尔分布和逆高斯分布用于股票价格的回归，并找出了分位数；当分布未知时，我们使用核密度估计器来找出分位数。在这两种情况下，我们都显示了最优策略和最大化总期望回报之间的递归关系，即每个时间点的值函数。最优政策告诉我们何时建立风险资产，何时清算风险资产。在我们有交易成本的情况下，它将不允许投资者频繁且幅度不大地改变其政策。因此，价值函数和投资组合财富几乎是不变的，但当我们接近最终头寸时，我们会建立更多的风险资产或将其清算。在密度函数未知的情况下，我们得到的价值函数具有广泛的波动，投资组合财富也是如此。因此，投资者应该知道何时对风险资产进行清算，并在风险资产上积累资金。在这种情况下，我们使用标准的数值积分方法来求解并得到最优策略的递归关系。我们还展示了交易成本将如何影响政策的实施。在这里，当存在交易成本时，最优策略的变化也不会那么频繁。考虑到交易成本的存在与否，当利率上升或下降时，结果也符合一般直觉。我们还对我们的三个候选分布和文献中常见的两个其他分布的样本外绩效进行了比较讨论，即：。

混合正态和方差γ。我们发现，当收益率为重尾17（只需估计两个参数，而不是六个参数）时，我们的候选人的表现接近混合正态分布，计算负担更少。而方差gamma根本无法拟合数据。因此，我们所考虑的分布函数似乎非常适合于实证工作。由于财务回报数据中存在大量的尾部，我们希望我们提出的方法对从业者有用。我们在本文中没有解决的另一个问题是如何在这种类型的分析中合并多个风险集。在没有矩的情况下，挑战将是用适当的关联度量取代协方差函数，并进行投资组合优化。我们将在今后的工作中讨论这个问题。参考文献[1]John Y.Campbell、Andrew W.Lo和A.Craig MacKinlay（1997），“金融市场的计量经济学”，普林斯顿大学出版社。[2] Martin L.Puterman（2005）《离散随机动态规划》，79-82，Wiley。[3] Miguel'Angel Martin Mato（2005）《固定收益投资组合优化中的经典和现代风险度量》，《风险金融杂志》，第6卷，第5416-423期。[4] Fotios C.Harmantzis，Linyan Miao&Yifan Chien（2006），《重尾风险价值和预期缺口模型的实证研究》，《风险金融杂志》，第7卷，第2期，第117-135页。[5] Young Shin Kim、Rosella Giacometi、Svetlozar T.Rachev、Frank J.Fabozzi和Domenico Mignaca（2012年），《用非高斯多变量模型衡量金融风险和投资组合优化》，《运营研究年鉴》，第201卷，第1期，第325-343页。[6] Grossman，S.J.&Zhou，Z.（1993）《控制提款的最佳投资策略》，数学。财务3（3），241–276。[7] Cvitanic，J.和Karatzas，I。

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