离散时间投资组合优化

使用下面的表达式return=（Pricet）计算此数据的返回-价格-1） 价格-1、我们选择了三个基准分布作为参数说明。第一个候选者是帕累托分布，它是幂律的典型例子，用于描述社会、科学、地球物理、精算和其他可观察现象。重点是描述一个社会中的财富分配，符合一个趋势，即大部分财富由一小部分人口持有。接下来，我们使用威布尔分布，它是三种典型极值分布之一（Frechet和Gumbell是另外两种。详情请参阅Embrechts et al.，1997）。最后一个候选对象是逆高斯，这是带跳跃建模过程的常见候选对象。由于金融资产回报率如今被认为具有不连续性（以离散跳跃的形式），因此使用基于征税过程的分布已获得普遍认可。有关详细信息，请参见Kyprianou等人，2005年。逆高斯分布是这类分布的一种流行候选。3.1帕累托分布对于具有帕累托（I型）分布的随机变量，X大于某个数字X的概率由f（X）=Pr（X>X）给出=λxαx≥λ，1 x<λ，帕累托I型分布的特征是一个尺度参数λ和一个形状参数α，即尾部指数。当这个分布被用来模拟财富的分布时，参数α被称为帕累托指数。我们将在数据集中设置帕累托分布，并使用最大似然估计（MLE）估计帕累托分布的尺度和形状参数。

帕累托分布参数α和λ的似然函数，给定一个独立样本x=（x，x，…，xn），isL（α，λ）=n∏i=1αλαxα+1i=αnλnαn∏i=1xα+1因此，对数似然函数为`（α，λ）=n lnα+nαlnλ-（α+1）n∑i=1lnxiPortfolio优化当收益率为重尾7时，可以看出`（α，xm）随λ单调增加，即λ的值越大，似然函数的值越大。因此，由于x≥λ、 我们得出结论，bλ=minixit为了找到α的估计量，我们计算相应的偏导数并确定其为零的位置， ` α=nα+nlnλ-n∑i=1lnxi=0α的最大似然估计为：bα=n∑iln（xi/bλ）参数的预期标准误差为σ=bα√nn在拟合帕累托分布中的收益后，我们计算参数和标准误差，然后计算分布的分位数Q0.05。约束为，P（Lt-1> Q0.05，Lt>Q0.05）P（Lt>Q0.05）≥ 0.95（4）根据数据校准的比例和形状参数如下（参考表1）。表1应位于此处，用于判断我们校准练习的样本外性能，一旦使用700个返回数据点估计参数，我们将检查接下来的50个数据点是否来自相同的分布。为此，我们使用单样本Kolmogorov-Smirnov统计量来检验样本是否来自帕累托分布。Kolmogorov–Smirnov统计量化了样本的经验分布函数和参考累积分布函数之间的距离。

假设零假设成立，数据服从aPareto分布，我们使用以下检验统计量：n个独立同分布（i.i.d.）有序观测值的经验分布函数fn定义为fn（x）=nn∑i=1I[-∞,x] （Xi）其中我[-∞,x] （Xi）是指标函数，如果是Xi，则等于1≤ 否则等于0。给定累积分布函数F（x）isDn=supx | Fn（x）的Kolmogorov–Smirnov统计量-F（x）|。我们得到的检验统计量值D=0.16816，小于5%水平D50的临界值，0.05=0.19206。由于D<D50，0.05，我们不能拒绝无效假设，并得出结论，数据分布与帕累托分布之间没有显著差异（λ=85.34364，α=10346.37374）。利率（每日）被视为三个备选值之一。这是0.00008（相当于收益率为2%的重尾8%时的年度投资组合优化）、0.00014（3.5%）和0.00024（6%）。把分位数的值放在方程（4）中，把（1）中的财富值放在我们得到的相同方程中，P（πt-第一个-1+（M-πt-1） r>5×10-6λ，πtSt+（M-πt）r>5×10-6λ）P（πtSt+（M-πt）r>5×10-6λ )≥ 0.95取M=1 we getPSt公司-1>5×10-6λ+r（πt-1.-1） πt-1，St>5×10-6λ+r（πt-1） πtPSt>5×10-6λ+r（πt-1） πt≥ 0.95为了简单起见，让我们用以下常数表示上限和下限，Kt=5×10-6λ+r（πt-1） πt当约束变为sktrkt时-1αλα（x+λ）α+1dx1-KtRαλα（x+λ）α+1dx≥ 0.95（5）求解（5）并将λ和r的值设为0.00014，我们得到了t到t-1，πt的最优策略之间的递推关系-1.≤πt（19.1977πt+1）。（6） 类似地获得了r的其他值的表达式。绘制（6）对于我们在R-Studio中获取的过去26天的历史数据，我们可以看到不同R值的最佳策略是如何变化的。

参考[图（1a）]我们注意到，随着时间从起始点开始增加，π中的波动会出现，但当到达终点时，它会随着时间急剧增加。当利率最小时，它达到的值最大；当利率r最大时，它达到的值最小。这在直觉上是合理的，因为较低的利率会推高对风险资产的投资。[图（1a）]应放在此处。最优策略的变化可能与交易成本有关，也可能与交易成本无关。我们在R-Studio中实现了所有数值计算的两个场景，试图从图中获得一些解释。3.1.1无交易成本将从（6）中获得的π值放入（1）中，同时计算最大报酬Wt-1在从t过渡到t-1时，我们计算（3）中定义的值函数。若我们绘制过去26天历史数据的价值函数（图（2a）），我们可以解释为，当它朝着终点位置移动时，价值函数中的波动增加得更多，对于最低利率，波动最大，对于最高利率，波动最小。[图（2a）]最后应放在此处，当我们绘制过去26天历史数据的组合财富时，可以解释为财富随着接近终端财富而逐渐增加和减少，但在达到终端位置之前，组合财富的价值先增加后减少。对于最高利率，投资组合的收益率最高，而对于最低利率，投资组合的收益率最低（图（3a））。

这意味着，当回报率为重尾时，投资组合优化9a更安全的投资组合（当银行利率较高时）更好。【图（3a）】应放在此处3.1.2交易成本，当交易成本考虑到财富方程（1）修正toLt=πtSt+（1-πt）r-（πt-πt-1） r（7）和使用（7）在优化练习中，递归最优策略修改为πt-2.≥ 0.999πt-1πt-0.0547πt-1.-0.002867+0.002868πt-1πt（8）我们可以看到，当考虑交易成本时，现在存在2阶差，其中r（最优策略变化的交易成本率）=10%。将从（8）中获得的π值放入（7），同时计算最大报酬Wt-1对于从t到t-1的转换，我们计算（3）中定义的值函数。当为过去26天的历史数据绘制最优政策时，我们可以看到，对于交易成本场景，利率对最优策略没有任何显著影响（图（1b））。

当考虑交易成本时，最优策略几乎是不变的，与无交易成本情景相比，最优策略处于较低水平，但当达到终端位置时，最优策略值的增加幅度大于无交易成本情景。[图（1b）]应放在此处。如果我们绘制红线（图（2b））表示的过去26天历史数据的价值函数，我们发现初始头寸的价值函数与无交易成本情景相比变化不大，而当接近最终头寸时，价值函数中的波动更大，没有显著影响由于利率的变化。[图（2b）]最后应放在此处，当我们绘制过去26天历史数据中的投资组合财富时，可以推断初始财富遵循与无交易成本情景相同的模式，但当其接近终端位置时，投资组合财富先减少后增加。利率变化不会产生显著影响（图（3b））。如果我们将其与无交易成本的情况进行比较，那么在交易成本情况下的影响更大。[图（3b）]应放在此处3.2威布尔分布接下来使用威布尔分布对财务回报分布进行建模，以预测所有风险措施。与其他分布相比，Weibull在VaR预测方面表现良好。威布尔随机变量的概率密度函数为，f（x；λ，α）=αλxλα-1e级-（x/λ）αx≥0,0 x<0，在本案例和所有后续案例中，我们还研究了交易成本率变化对我们的利率变量的影响。

由于我们无法检测到明显的差异，因此我们没有在这里报告这些结果。收益率为重尾10时的投资组合优化，其中α>0是分布的形状参数，λ>0是分布的尺度参数。我们将Weibull分布输入数据集，并通过以下方式使用最大似然估计来估计分布的规模和形状参数：给定参数λ的最大似然估计量αisbλα=nn∑i=1xαiα的最大似然估计量是以下等式中α的解0=∑ni=1xαilnxi∑ni=1xαi-α-nn型∑i=1lnxiThis方程仅隐式定义了bα，通常必须通过数值方法求解α。当x>x>···>x是N个以上样本数据集中的N个最大观测样本时，λ参数的最大似然估计量α为bλα=NN∑i=1（xαi-xαN）也给出了该条件，α的最大似然估计为0=∑Ni=1（xαilnxi-xαNlnxN）∑Ni=1（xαi-xαN）-NN型∑i=1lnxiAgain，这是一个隐式函数，通常必须用数值方法求解α。一旦我们得到估计的参数，我们计算分布的分位数Q0.05。约束方程再次类似于（4）。比例和形状参数如下（参见表2）。表2应再次列出，一旦使用700个返回数据点估计参数，我们将使用单样本Kolmogorov-Smirnov检验检查接下来的50个数据点是否来自同一分布。我们得到的D=0.152271小于D50,0.05=0.19206。由于D<D50，0.05，我们不能拒绝无效假设，并得出结论，数据与来自威布尔分布的数据之间没有显著差异（λ=1.2630，α=0.0104）。利率（每日）被视为帕累托的三个备选值之一。

把分位数的值放在方程（4）中，把（1）中的财富值放在同一个方程中，我们得到P（πt-第一个-1+（M-πt-1） r>0.00078λ，πtSt+（M-πt）r>0.00078λ）P（πtSt+（M-πt）r>0.00078λ）≥ 0.95取M=1，PSt公司-1> 0.00078λ+r（πt-1.-1） πt-1，St>0.00078λ+r（πt-1） πtPSt>0.00078λ+r（πt-1） πt≥ 0.95为了简单起见，让我们用以下常量表示上限和下限wt=0.00078λ+r（πt-1） πtPortfolio优化当收益率为重尾11时，约束变为重尾wt-1.0.01041.2630x1.26300.0104-1.e-x1.26300.0104dx1-wtR0.01041.2630x1.26300.0104-1.e-x1.26300.0104dx≥ 0.95（9）求解（8）并将λ和r的值设为0.00014，我们得到了t到t-1，πt的最优策略之间的递推关系-1.≥πt（1-13.08πt）（10）我们假设终端最佳点为0.00001。绘制（10）对于r Studio中过去26天的历史数据，我们可以看到最优政策是如何变化的（图（4a）），我们注意到，随着时间从初始点开始的增加，π的变化也与时间呈线性关系，并且对于所有利率都是相同的。r[图（4a）]应再次放在此处，以检查最优策略和交易成本之间的关联，我们已经实施了这两个场景。3.2.1无交易成本将从（10）中获得的π值放入（1）中，同时计算最大报酬Wt-1在从t过渡到t-1时，我们计算（3）中定义的值函数。如果我们绘制过去26天历史数据的值函数（图（5a）），我们可以解释，最初随着时间段的移动，值函数是恒定的，但一旦接近终点位置，波动就会减小。

总的来说，价值函数不取决于利率r。[图（5a）]最后应放在此处。当我们绘制过去26天历史数据中的投资组合财富时，可以观察到，在整个时间段内，投资组合财富波动非常小，但当利率r最大时，投资组合财富也最大，当利率最低时，投资组合财富最小（图（6a））。【图（6a）】应放在此处3.2.2交易成本，当交易成本考虑到财富方程（1）修正toLt=πtSt+（1-πt）r-（πt-πt-1） r（11）和使用（11）递归最优策略修改为πt-2=πt-1πt+πt-11.958πt-0.5107-6.680πt-1（12）递归方程的阶数为2，r（最优策略变化的交易成本率）=10%。将从（12）中获得的π值放入（11），同时计算最大报酬Wt-1对于从t到t-1的转换，我们计算（3）中定义的值函数。当为过去26天的历史数据绘制最优政策时，可以观察到最优政策在一段时间内保持特定值不变，但当其接近最终头寸时，需要清算资产。这里，利率对策略有明显的影响（图（4b））。

对于不同的利率，资产的清算是不同的。投资组合优化当回报率为重尾12在没有交易成本的情况下，利率对最优策略没有影响。[图（4b）]应放在此处。如果我们绘制过去26天历史数据的价值函数（图（5b）），我们可以看出价值函数一直在变化，并且没有利率的影响。[图（5b）]最后应放在此处，当我们绘制过去26天历史数据中的投资组合财富时，可以解释为财富在整个时间段内变化，并且在改变利率时没有显著差异（图（6b））。在无交易成本场景中，我们得到了不同的结果。[图（6b）]应置于此处3.3逆高斯分布在概率论中，逆高斯（IG）分布（也称为Wald分布）是一个支持（0，∞). 其概率密度函数由f（x；u，λ）=rλ2πxexp给出-λ（x-u）2ux对于x>0，其中u>0是平均值，λ>0是形状参数。使用最大似然估计计算参数如下：Xi~ IG（u，λwi），i=1,2，。。。，nwiknown（u，λ）未知且Xiindependent具有以下似然函数l（u，λ）=λ2πnn型∏i=1wiXi！expλun∑i=1wi-λ2un∑i=1wiXi-λn∑i=1wiXi！求解最大似然方程得到以下最大似然估计值bu=∑ni=1wiXi∑ni=1wi，bλ=nn∑i=1wixi-bubu和bλ是独立的，bu~ IGu，λn∑i=1wi！，nbλ~λχn-1将逆高斯分布拟合到数据集，并估计分布的平均值和形状参数，我们计算分布的分位数Q0.05。