离散时间投资组合优化

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英文标题：
《Discrete time portfolio optimisation managing value at risk under heavy
  tail return distribution》
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作者：
Subhojit Biswas and Diganta Mukherjee
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We consider an investor, whose portfolio consists of a single risky asset and a risk free asset, who wants to maximize his expected utility of the portfolio subject to the Value at Risk assuming a heavy tail distribution of the stock prices return. We use Markov Decision Process and dynamic programming principle to get the optimal strategies and the value function which maximize the expected utility for parametric as well as non parametric distributions. Due to lack of explicit solution in the non parametric case, we use numerical integration for optimization
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中文摘要：
我们考虑一个投资者，其投资组合由一个风险资产和一个无风险资产组成，他希望根据风险价值最大化其投资组合的预期效用，假设股票价格回报率服从厚尾分布。利用马尔可夫决策过程和动态规划原理，得到了参数分布和非参数分布的最优策略和最大化期望效用的值函数。由于在非参数情况下缺乏显式解，我们使用数值积分进行优化
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Discrete_time_portfolio_optimisation_managing_value_at_risk_under_heavy_tail_ret.pdf (1.65 MB)

2022-6-25 07:33:09 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 离散时间 distribution Mathematical

离散时间投资组合优化管理重尾收益分布下的风险价值Subhojit BiswasIndian统计研究所，Kolkatasubhojit1016kgp@gmail.comDiganta慕克吉*印度统计研究所的抽样和官方统计，Kolkatadigantam@hotmail.comDecember2020年摘要我们考虑一个投资者，其投资组合由单一风险资产和无风险资产组成，他希望根据风险价值最大化其投资组合的预期效用，假设股票价格回报率的厚尾分布。利用马尔可夫决策过程和动态规划原理，得到了参数分布和非参数分布的最优策略和最大化期望效用的值函数。由于在非参数情况下缺乏显式解，我们使用数值积分进行优化。亮点o使用马尔可夫决策过程和动态规划获得已知分布的最优策略的递归关系o一旦接近终端位置，我们将建立更多的风险资产或清算风险资产o在非参数情况下，我们使用数值积分来找到最优策略的递归关系o在这种情况下，我们获得的值函数具有广泛的函数，对于投资组合财富关键词也是如此：投资组合优化、马尔可夫决策过程、参数分布、非参数分布AMS分类：91G10，91G80*我们感谢Mrinal K.Ghosh先生提出的有益意见和建议，这些意见和建议大大改进了博览会。通常情况下适用。当收益率为重尾时的投资组合优化2传记性笔记：Subhojit Biswas先生在印度统计研究所完成了质量、可靠性和运营研究硕士学位。

此前，他在哈拉格布尔印度理工学院完成了仪器工程理学学士学位。研究方向为数学金融学、最优化和应用数学。在来攻读硕士学位之前，他在巴克莱银行工作了3年。目前在JPMorganChase工作。Diganta Mukherjee博士是加尔各答印度统计研究所抽样和官方统计部门的教授，他在加尔各答印度统计研究所完成了他的BStat、MStat和博士学位（经济学）。研究兴趣是福利与发展经济学和金融学。曾任教于贾瓦哈拉尔·尼赫鲁大学、埃塞克斯大学、ICFAI商学院。在国内外期刊上发表了80多篇文章，著有四本书。曾参与过与印度ZF和世界银行ZF各部委的大型企业住房项目。担任MCX、RBI、SEBI、NSSO、NAD（CSO）的技术顾问。1简介1.1背景和动机风险管理在金融界无处不在。当投资者购买低风险ZF债券而非风险较高的公司债券，银行在发放个人信贷额度之前对个人进行信用检查，股票经纪人在其投资组合中购买期权和期货等资产，以及基金经理使用投资组合和投资多元化等策略来减轻或有效管理风险时，就会发生这种情况。风险管理不足可能会导致严重后果，例如2007年的次级抵押贷款崩盘，引发了由糟糕的风险管理决策导致的巨大衰退。在金融领域，与风险和投资组合管理相关的投资组合绩效衡量实际上是风险管理。投资风险的一个常见定义是偏离预期结果，我们可以用市场参数作为基准。偏差可以是正的，也可以是负的。

投资者如何衡量风险？投资者使用各种策略来确定风险。风险价值（VaR）是最常用的风险指标之一，是对金融实体或资产组合的真实性的统计衡量。它被定义为在给定的时间范围内，在预先定义的置信水平上，预期低于的最大美元金额。市场上还使用了其他风险度量指标，如夏普比率或预期缺口。如上所述，我们在本文中的主要关注点是风险价值（VaR）。考虑一位有兴趣在管理VaR的同时优化投资组合回报的投资者。有充分的证据表明，金融资产的回报率往往表现出严重的尾部，以至于即使是回报分布的第一时刻也可能不存在（见Campbell et al.，1997）。在本文中，我们考虑使投资组合的中位收益最大化的投资策略，从而将VaR控制在给定的较低分位数水平。我们考虑了交易成本的影响，并对已知和未知的收益分布进行了分析。1.2文献综述利率风险免疫是固定收益投资组合管理的关键问题之一。近年来，风险度量（如风险价值和条件风险价值）被用作形成最优投资组合的工具，受到了广泛关注。Mato（2005）的文章旨在讨论这个问题。Harmantzis et al.（2006）的论文利用历史数据，实证检验了在收益率存在重尾的情况下，不同模型在衡量VaR和S方面的表现。日收益率采用经验（或历史）、高斯或广义帕累托（当收益率为重尾3（EVT）分布时，极值理论投资组合优化的峰值超阈值（POT）技术）建模。

Kim et al.（2012）使用多元市场模型评估金融风险和投资组合优化，假设回报遵循多元正态回火稳定分布（即多元正态分布和回火稳定隶属度的混合）。有几位作者考虑了提款约束下的最优投资组合问题。Grossman和Zhou（1993）首次在有限时间范围内对这一问题进行全面研究，将单个风险资产建模为具有恒定波动率的几何布朗运动（对数正态模型）。用动态规划方法求解财富预期效用的长期增长率最大化问题。Cvitanic和Karatzas（1995）简化了Grossman和Zhou（1993）的分析，并将结果扩展到存在多重风险资产的情况。萨缪尔森（Samuelson，1975）的开创性论文提出了一种利用托卡斯特动态规划进行投资组合选择的思想。A"it-Sahalia和Lo（1998）的论文提出了一个想法，即对期权价格中隐含的状态价格密度使用非参数估计器。Lwin等人（2017）在非参数背景下对均值VaR投资组合优化进行了研究。本文研究了在现实交易场景中广泛使用的具有六个实际约束的组合优化问题。Wozaba（2012）的论文提出了VaR约束的Markowitz风格的投资组合选择问题的概念，这里所考虑的资产回报率的分布以许多场景的形式给出。采用数值分析方法解决了这一问题。当效用函数为二次函数时，Sukono等人（2017）的论文描述了如何使用平均VaR投资组合优化。

在Chow（2014）的论文中，作者设计了一种利用马尔可夫决策过程解决条件方差问题的算法。Bhatnagar等人（2013）的书为我们提供了如何使用随机递归算法解决优化问题的思路。Bauerle和Rieder（2019）的论文考虑了统计马尔可夫决策过程，其中决策者对模型模糊性具有风险厌恶。模型模糊度由一个影响过渡定律和成本函数的未知参数给出。风险规避可以通过熵风险度量或风险平均值来衡量。Minimax优化用于解决此问题。Tang（2018）的论文使用近似动态规划建立了具有交易成本的多时间段投资组合的aMarkov决策模型。Archibald andPossani（2019）的论文使用非零和博弈分析了企业家和投资者之间的合同，其中企业家关心公司生存，投资者关心期望净现值最大化。本文探讨了金融公司的不同设置。Li et al.（2018）的论文分析了过去五年的SCI 300指数数据，并使用蒙特卡罗模拟和历史模拟计算了五年指数的VaR并检验其有效性。本文将研究结果与中国市场经济相结合，对中国金融市场的金融风险管理提出了一些建议。Regis和Artes（2016）的论文的主要贡献是，通过调查客户-机构关系中不同状态转换的特征，分析多状态马尔可夫模型在信用卡风险评估中的应用，从而生成各种用途的评分模型。

它为马尔科夫决策过程在金融市场中的应用提供了不同的方向。Fu（2019）的论文研究了连续时间马尔可夫决策过程（MDP）中平均报酬的方差优化问题。它假设状态空间是可计数的，动作空间是Borel可测空间。本文的主要目的是在确定性平稳策略空间中找到方差最小的策略。Perez et al.（2016）的论文研究了结合连续时间跳跃市场和可违约证券的aportfolio优化问题，并通过转化为马尔可夫决策过程提供了数值解。本文还分析了几种效用函数族下的分配策略，并与以前得到的结果进行了比较。41.3我们的贡献在这篇文章中，我们考虑了一个投资者，他担心在控制风险价值（VaR）的同时，在处理股价回报的重尾分布时，什么时候应该增持股票或清算股票。投资者的投资组合有一项风险资产和一项无风险资产。我们在离散时间内考虑这个问题，然后应用一般的马尔可夫决策问题公式。马尔可夫决策过程理论和算法主要用于确定具有最大预期总回报的策略。

我们尝试确定两种情况下的策略，即已知分布和未知分布。帕累托分布、威布尔分布和逆高斯分布用于参数情况，对于非参数情况，我们使用核密度估计器拟合数据并进行数值积分。1.4论文的组织在第2节中，我们概述了我们的投资组合优化方法，其中我们离散了财富方程，并应用了一般的马尔可夫决策问题公式。因此，它已成为一个动态规划问题。考虑到已知分布（第3节）和未知分布（第4节），我们试图找到最佳策略。已知的候选分布为帕累托分布、威布尔分布和逆高斯分布。在第3节第3.4小节中，我们还对这三种分布以及文献中常用的其他两种分布（混合正态分布和方差γ，如上所述）进行了比较优度的讨论。对于非参数情况，使用核密度估计器拟合数据并进行数值积分。我们在有交易成本和无交易成本的不同情况下解释结果。第5节总结了本条。2方法我们使用一种风险资产，持有一个无风险的银行账户，回报率为r。在某个时间点，我们将πtof总可投资财富M投资于风险资产，其余投资于银行账户（因此πt∈ [0，M]）。我们可以将财富方程表示为lt=πtSt+（M-πt）r.（1）重尾分布不允许我们利用布朗运动和Hamilton-JacobiBellman（HJB）方程的性质来求解随机微分方程，以获得连续时间内的最优策略和值函数。

为了在这种情况下获得解决方案，我们将该问题转化为一个离散域，然后应用一般马尔可夫决策问题（MDP）公式。由于我们有一个固定的时间范围，它被视为一个有限时间范围的马尔可夫决策过程。有限域问题的马尔可夫决策过程理论和算法主要涉及确定策略π*预期总回报最大。Weseek a policyπ*其中（参见Puterman，2005）vπ*N（s）≥ vπN（s），其中s∈ S是自然状态。使用有限期策略评估算法来计算vπN。首先，让uπtdenote在决策阶段t，t+1，t+2，…，使用策略π获得的总预期回报，。。。，N-1、如果决策时期的历史是HTU，则uπ定义为πt（ht）=πEhtN-1.∑n=tWn+WN,当回报率为重尾5时的投资组合优化，其中Wn表示回报。uπ和vπ之间的区别在于，vπ不包括整个过程中的奖励，而uπ通常包括决策时代t以后的奖励。在这里，我们可以使用（Puterman，2005）中的算法，如下所示。考虑公式uπt-1（ht-1） =重量-1（st-1，dt-1（ht-1)) +∑j∈标准贯入试验-1（j | st-1，dt-1（ht-1） ）uπt-1（ht-1，dt-1（ht-1） ，j）。t，t+1，….期间政策π的期望值，。。。。，当t纪元的历史为ht时-1，等于通过选择动作dt（ht）立即接收的值-1） 加上剩余时间段的预期奖励。如果动作dt（ht），则第二项包含在决策时刻t+1处于状态j的概率的乘积-1） isused和在t，t+1，…，期间使用政策π获得的中位数总回报，。。。，N当纪元的历史为ht=（ht-1，dt-1（ht-1） ，j）。对所有可能的j求和，得到用uπt表示的期望值-1（ht-1） =重量-1（st-1，dt-1（ht-1） ）+πEht-1{uπt（ht-1，dt-1（ht-1） ，Xt）}其中，Xt确定时间t的状态。

这些方程的解对应于最优值函数，它们也为确定最优策略提供了依据。u*t型-1（ht-1） =supπ∈πHRnuπt-1（ht-1） o，其中HR是随机历史相关政策。将上述方程的R.H.S展开，我们得到uπ*t型-1（ht-1） =supa∈AstnWt公司-1（st-1，a）+∑j∈标准贯入试验-1（j | st-1，a）uπt（ht-1，a，j）o.（2）在我们的场景中，我们有策略π，它是状态-动作耦合之间的映射。作为两种备选方案，无论是将资金投入股票还是从股票中提取资金，这一行为都是有限的，同时状态在不同的时间段是不同的，因此我们可以用最大值来代替上确界，我们的优化问题采用以下形式：最大值π：s-> a、 s∈（t，t+1，…t-1） nuπt-1（ht-1） O受P（Lt）约束-1> Q0.05 | Lt>Q0.05）≥ 0.95，可以进一步重写为，最大化π：s-> a、 s∈（t，t+1，…t-1） 西北地区-1（st-1，a）+∑j∈标准贯入试验-1（j | st-1，a）uπt（ht-1，a，j）受P（Lt）约束-1> Q0.05 | Lt>Q0.05）≥ 0.95.在本文中，我们始终考虑VaR的分位数为0.05。约束方程将有助于确定每个时刻每个最优策略π之间的递归关系，该最优策略将有助于使值函数最大化。基本上，我们将对前面提到的价值函数使用（2），回报是财富从一个时间段到另一个时间段的变化。Wt公司-1=Lt-1.-收益率为重尾6且每个πt的LtPortfolio优化-1在一段时间内获得Wt的最大值-1的计算结果反过来有助于最大化uπt-1、uπt-1=（Lt-1.-Lt）+∑p（t-1 | t）uπtuπt-1=（Lt-1.-Lt）+E（uπt）（3）3已知回报分布的示例和数值结果对于数值说明，使用的数据是股票“Entergy Corporation”在2009年8月31日至2013年8月30日期间的每日收盘价（Quantopian，2018）。