双因素Vasicek中期限结构形态的分类

φim（xm）> 0对于任意m≤ n、 x<x<···<xmin x和i<i<···<imin{1，…，n}，则称为x上的笛卡尔系统。备注3.5。（i） 函数φ，…，的顺序，φnmatters和笛卡尔系统的置换不一定是笛卡尔系统。（ii）笛卡尔系统可以看作是X×{1，…，n}上的严格全正核（iii）单项式族（1，X，X，…，xn）是笛卡尔系统。（iv）指数函数族（exγ，…，exγn）是笛卡尔系统，且仅当γ<γ<···<γnAlso-Descartes系统具有变差递减特性：定理3.6（笛卡尔系统的变差递减特性）。设（φ，…，φn）为笛卡尔系统，设（a，…，an）∈ 注册护士。然后（3.3）符号seqnXi=1aiφi！ 【aa，···an】。双因素VASICEK模型中的期限结构形状9备注3.7。（i） 该定理是[KS66，Thm.3.1，4.4]（另见[BE95，Thm.3.2.4]），翻译成符号序列语言。（ii）著名的笛卡尔多项式符号规则，将该定理应用于笛卡尔系统（1，x，x，…，xn）；参见[BE95，3.2.E7]。给定笛卡尔系统D=（φ，…，φn），形式为φ（x）：=nXi=1aiφi（x）的函数称为D中的D-多项式。如果（3.3）中的等式成立，我们称之为φ极值。下一个结果涉及D-多项式的插值性质：定理3.8。设（φ，…，φn）是X上的笛卡尔系统，设r<r<···<rn-10亿欧元-1 X中的不同点。然后存在一个D-多项式φ（X）=Pni=1aiφi（X），所有ainon均为零，满足：oφ（ri）=0∈ 1.n-1;o φ在X内部的每个Ri处都有一个很强的符号变化。如果所有Ria都是X的内部点，则φ是极值，即符号seq（φ）\'[aa···an]。这一结果源于[KS66，Ch.I，Thm.5.1]或[BE95，3.1.E11]，但我们在第。

A、 1和A.3.4。主要结果的证明定理2.3及其推论的证明依赖于识别二维Vasicek模型中与屈服曲线和正向曲线相关的笛卡尔系统。下文第4.1节给出了这些笛卡尔系统，并允许应用上述总正性理论的结果。定理2.3的证明分为两部分：首先，在第4.2节中，我们证明了必要性，即无法获得定理2.3中给出的列表之外的任何术语结构形状。然后我们展示了效率，即所有列出的形状实际上都是可以实现的。第4.3.4.1节介绍了这一更困难的部分。瓦西塞克模型的笛卡尔系统。我们介绍了几个与二维Vasicek模型相关的笛卡尔系统。正如我们将要展示的，在这些系统中，正向曲线和收益率曲线的导数可以写成D多项式。下一个引理直接来自备注3.5（iv）和标度分离性质所隐含的指数顺序：引理4.1。以下函数族是[0]上的笛卡尔系统，∞):Dsep=（e-2λx，e-（λ+λ）x，e-λx，e-2λx，e-λx）如果2λ<λDprox=（e-2λx，e-（λ+λ）x，e-2λx，e-λx，e-λx）如果2λ>λDcrit=（e-2λx，e-（λ+λ）x，e-λx，e-λx）如果2λ=λ，请注意，dprox和d之间的唯一区别是第三个和第四个元素的顺序。折叠这些情况将生成边界情况Dcrit。为了分析屈服曲线形状，需要一个略有不同的笛卡尔系统：10 MARTIN KELLER Resellemma 4.2。

集合（4.1）gα（x）=xZxye-αydy=αxe-αx- 1+αxe-αx.以下函数族是[0]上的笛卡尔系统，∞):Esep=（g2λ，gλ+λ，gλ，g2λ，gλ）如果2λ<λEprox=（g2λ，gλ+λ，g2λ，gλ，gλ），如果2λ>λEcrit=（g2λ，gλ+λ，gλ，gλ）如果2λ=λ，请注意，gα（x）可以写成（4.2）gα（x）=Z∞K（x，y）e-αydy，其中K（x，y）=yx{y≤x} 。引入的核的形式为K（x，y）=φ（x）ψ（y）L（x，y），其中φ（x）=x，ψ（y）=y在（0，∞) 其中L（x，y）=1{y≤x} 。L（x，y）=1{y的总正性≤x} 如[Kar68，Ch.3，Eq.（1.10）ff]所示，合成核K（x，y）的总正性遵循[Kar68，Ch.1，Thm.2.1]。因此，系统E（…）是系统D（…）的完全正变换。这立即意味着它们是（0，∞), i、 （3.2）适用于非严格不等式。第A.2.4.2节给出了其“强”笛卡尔性质（包括边界点x=0）的完整证明。可达到性的必要条件。为了推导出期限结构形状不能满足的必要条件，我们在引理4.1和4.2中引入的笛卡尔系统中，将正向和收益率曲线的导数写成D多项式，并确定它们的系数。第一步是计算导数：引理4.3。Vasicek模型中正向曲线的导数由（4.3）给出xf（x）=uД2λ（x）+cДλ+λ（x）+wДλ（x）+uД2λ（x）+wДλ（x），其中Дα（x）=e-对于j，给出了αx和系数∈ {1，2}，byuj=σjλj≥ 0wj=wj（zj）=λj（θj- zj）-σjλj- ρλjσσλ和c=ρ（λ+λ）σσλ。收益率曲线的导数如下所示：xY（x）=xZxxf（y）ydy==ug2λ（x）+cgλ+λ（x）+wgλ（x）+ug2λ（x）+wgλ（x），（4.4），其中gα（x）由（4.1）给出。证据

从（2.5）中，我们获得xf（x；z）=-A（x）- z> B（x），双因素VASICEK模型11中的期限结构形状，评估为xf（x；z）=e-λxe-λx>-λθλθ-σρσσρσσσλ（e-λx- 1） λ（e-λx- 1)+zz公司重新排列后给出（4.3）。对于收益率曲线，（2.6）的差异给出xY（x；z）=x（A（x）- xF（B（x））+z>（B（x）- xR（B（x）））.与x相乘并取另一个导数x（xxY（x；z））=-xA（x）- xz>B（x）=xxf（x；z），它产生（4.4）。将这个结果与引理4.1和4.2相结合，我们得到以下结果：引理4.4。功能xf和xY分别是笛卡尔系统D和E中的D多项式，系数由o（u，c，u，w，w）在尺度近端情况下给出，由o（u，c，w，u，w）在尺度分离情况下给出，由o（u，c，w，u，w）在尺度临界情况下给出。我们现在可以使用笛卡尔系统的变差递减特性来推导对可实现的正向和屈服曲线形状的限制。定理4.5。如果ρ≥ 0，则前向导数和收益率曲线的符号序列，d∈ {xf，xY}，满足顺序（d） [+ww]（比例尺下接近）符号序列（d） [+w+w]（刻度分隔下）符号顺序（d） [+（u+w）w]（标度临界下）。如果ρ<0，则d的符号序列∈ {xf，xY}卫星信号序列（d） [+-+ww]（比例尺下接近）符号顺序（d） [+-w+w]（刻度分隔下）符号顺序（d） [+-（u+w）w]（标度临界下）。对于正向曲线，可通过使用以下终端标志的附加信息来加强该结果：xf。推论4.6。在定理4.5中\'’ 可替换为“T”’ 无论何时考虑xf。证据定理4.5随后将定理3.6应用于表4.4中给出的系数。在这样做的过程中，我们考虑到ujhas正号不考虑参数的选择，并应用了第节中描述的符号序列的缩减。

1.1得出右侧的表达式。对于推论，得到的关系可以从 toT公司 通过分析xf。从引理4.3我们得到了limx→∞xf（x）=0，但是，这不会产生关于终结符的信息。更确切地说xf必须由衰变最慢的分量确定，即wДλ（x）=we-λx.因此，终端12 MARTIN KELLER Reselsignxf等于w的符号，w是lemma 4.4所有序列中的最后一个符号。我们得出如下结论：(xf）不仅仅是一个子集，而是在右侧获得的所有符号序列的尾。利用定理4.5，我们得到了主要结果的第一部分，即定理2.3。定理2.3的证明——必要性。考虑前向曲线的情况。前向曲线的形状由以下符号序列确定：xf，这个符号序列受推论4.6的结果控制。因此，通过遍历滚动4.6的所有情况和wand w的四个可能符号组合，可以获得对可获得术语结构形状的限制。注意，我们只需要考虑严格的符号+和-，因为零可以从符号序列中省略，并且不会导致额外的形状。我们没有列出所有可能的组合，而是讨论了两种示例情况：o假设ρ≥ 0，w>0和w<0。在鳞片近端情况下，我们从推论4.6中获得，符号如下(xf）T [+-+].[+-+]可能的尾部序列是[+]、[-+]和[+-+]本身。这些情况对应于正常、驼峰和HD的形状，我们得出结论，在给定的参数限制下，无法获得其他前向曲线形状。

切换到缩放分离，推论4.6 Yieldsign seq(xf）T [+-+]\'[+-+]，并获得与比例近端情况相同的容许形状现在假设ρ≥ 0，w<0和w<0。鳞片近端病例推论4.6 Yieldsign seq(xf）T [+-]\'[+-]，使形状反向，驼峰形成为可能达到的形状。在比例分离的情况下，我们得到了符号seq(xf）T [+-+-]，这使得DH和HDH具有潜在的可实现性。在前向曲线的情况下，将相同的程序应用于所有其他情况会产生定理中给出的列表。如果ρ≥ 0，如果ρ<0，则与刻度分隔的情况类似。对于屈服曲线，我们将定理4.5应用于xY以相同的方式。尽管约束较弱 而不是经常, 结果（在遍历所有情况后）得到了相同的形状列表。请注意，相同的方法不适用于xY由于x趋于一致时的不同渐近行为。双因素VASICEK模型134.3中的期限结构形状。可实现性的充分条件。为了完成定理2.3的证明，我们需要证明效率，即所有列出的形状实际上都是可以实现的。在详细讨论之前，我们描述了证明的一般策略：给定具有k个局部极值的前向曲线的形状S。选择一个具有k+1元素的合适笛卡尔子系统D，我们可以应用定理3.8，在D中找到一个D多项式f，这样f有一个带有k符号变化的符号序列，它对应于形状S。用零填充系数列表，我们可以将f写为完整系统D中的D多项式，即。

asf（x）=a2λД2λ（x）+aλ+λДλ+λ（x）+aλДλ（x）+a2λД2λ（x）+aДλ（x），其中我们已将系数a与D的基函数一致地标记。将系数与（4.3）进行比较，如果我们能够证明σ方程组λ=a2λλ（4.5a）σλ=a2λ（4.5b）ρ（λ+σ），我们可以得出在Vasicek模型中可以获得形状Sλλ=aλ+λ（4.5c）λ（θ- z）-σλ- ρλσσλλ=aλ（4.5d）λ（θ- z）-σλ- ρλσσλ=aλ（4.5e）有一个解（σ，σ，ρ，z，z）∈ [0, ∞)× [-1，1]×R。使用引理4.2中适当的笛卡尔系统E，屈服曲线的参数是类似的。将可达性问题简化为方程组（4.5），我们需要讨论其可解性：很明显，无论何时（4.5a）–（4.5c）可以为（σ，σ，ρ）求解，那么（4.5d）和（4.5e）也可以为（z，z）求解。此外，（4.5a）和（4.5b）对于（σ，σ）的可解性仅取决于a2λ和a2λ的符号。因此，由于ρ的限制，只有（4.5c）的可解性是非平凡的∈ [-1, 1]. 这些基本观察结果总结在以下引理中：引理4.7。考虑（4.5）（a）中给出的方程组，如果a2λ<0或a2λ<0，则（4.5）没有解。（b） 如果a2λ=0且a2λ≥ 0，或如果a2λ≥ 0且a2λ=0，则（4.5）有一个解。在这个解中，σ=ρ=0或σ=ρ=0或两者兼而有之。（c） 如果a2λ>0且a2λ>0，则（4.5）有一个解当且仅当（4.6）ρ：=√λλ+λaλ+λ√a2λa2λ在[-1, 1].为了完成定理2.3的证明，我们将上述策略逐一应用于不同的形状：定理2.3的证明-效率。根据项结构曲线局部极值的个数k划分证明；之后，我们还需要区分定理2.3中给出的情况（a）、（b）和（c）。（i） 对于k=0，我们使用系统D=（Дλ）。我们将±λ=±1和所有其他系数设置为零。

这就产生了D-多项式Д±（x）=±Дλ（x）=±e-λx14 MARTIN KELLER RESELW，符号序列[+]和[-]。设定z=σ=σ=ρ=0，系统（4.5）可在两种情况下求解。我们得出结论，正态和逆态的形状是可以实现的。（ii）对于k=1，我们使用系统D=（Дλ，Дλ）。根据定理3.8，我们可以找到两个极值D-多项式Д+，Д-具有系数（a±λ，a±λ）和符号序列[+-]和[-+]。设置σ=σ=ρ=0，系统（4.5）可在两种情况下求解（z，z）。我们得出的结论是，形状倾斜和驼峰区域是可连接的。（iii）对于k=2，我们使用系统D=（Д2λ，Дλ，Дλ）。根据定理3.8，我们可以找到两个极值D-多项式Д+，Д-系数（a±2λ、a±λ、a±λ）和符号序列[+-+]和[-+-]。设置σ=ρ=0时，在Д+的情况下，系统（4.5）可解为（σ，z，z）。若为Д-系统无法解决，因为-2λ< 0. 我们得出结论，形状HD是可以实现的。此时，我们已经用ρ覆盖了比例近似情况下所有可达到的形状≥ 0，即定理的（b）部分。接下来，我们完成第（a）部分，即标度分离情况：（iv）对于k=2，我们可以选择使用系统D3，sep=（Дλ，Д2λ，Дλ），这是Dsep的子系统。根据定理3.8，我们可以找到两个极值DpolynomialsД+，Д-系数（a±、a±2λ、a±）和符号序列[+-+]和[-+-]。设置σ=ρ=0时，系统（4.5）可在以下情况下求解（z，σ，z）-. 如果是Д+系统，则无法解决，因为-2λ< 0. 我们得出结论，DH的形状是可以实现的。（v） 对于k=3，我们使用系统D4，sep=（Д2λДλ，Д2λ，Дλ），这是Dsep的一个子系统。根据定理3.8，我们可以找到两个极值D-多项式Д+，Д-具有系数（a±2λ、a±λ、a±2λ、a±λ）和符号序列[+-+-]和[-+-+]。设置ρ=0时，系统（4.5）可在ν+的情况下求解（σ，z，σ，z）。若为Д-系统无法解决，因为-2λ<0和a-2λ< 0.

我们得出结论，HDH是可以实现的。在这一点上，我们还涵盖了尺度分离情况下的所有可达到的形状（具有任意ρ），因此（a）部分已完成。最困难的病例是第（c）部分，即ρ<0的鳞片近端病例。这里，定理3.8不足以找到合适的D-多项式Д？，我们必须使用更专业的resultLemma A.2。（vi）对于k=3，我们使用系统D4，prox=（Д2λ，Дλ+λ，Д2λ，Дλ），这是Dprox的子系统。通过引理A.2，我们可以找到两组实数0<r+<r+<r+和0=r<r<ras以及具有以下性质的D-多项式Д+和Д：oД+和Д的零点正好位于点r+、r+、r+和r=0、r、r；oД+的符号序列为[+-+-]，而Д的符号序列为[-+-]；oД+和Д的系数都有符号序列[+-+-]。此外，系数（φ+和φ）满足aλ+λ√a2λa2λ< 2.但不是Dprox的笛卡尔子系统！双因素VASICEK模型中的期限结构形状15参见（A.10）。因此，应用几何算术平均不等式，我们得到（4.7）|ρ|≤√λλλ+ λaλ+λ√a2λa2λ< 通过引理4.7，这意味着方程组（4.5）是可解的。我们得出结论，HDH和DH的形状是可以实现的。（vii）对于k=4，我们使用全系统Dprox。与前一种情况一样，我们可以应用MMA A A.2分别找到两个具有规定零和符号序列[+-+-+]和[-+-+]的D多项式Д+和Д。Д的第一个零点位于边界点r=0处。此外，Д+和Д的系数都有符号序列[+-+-+]，不等式（4.7）成立。因此，引理4.7意味着方程组（4.5）是可解的，我们得出结论，HDHD和DHD的形状是可以实现的。完成第（c）部分后，还显示了定理2.3的最后一种情况。

如果ρ≥ 0，如果ρ<0，则与标度分隔的情况类似。5、其他结果5.1。期限结构形状的状态相关分析。使用与前一节相同的一般思想，也可以根据状态向量（z，z）进行期限结构形状的分析∈ R、 换言之，状态空间可以划分为几个区域，在这些区域中只能出现少数——通常只有一个——期限结构形状；见图1。我们使用四个方程来约束项结构的形状。两个是从定理4.5推导出来的，约束了期限结构的整体形状；另外两个是从收益率/远期曲线导数的起始符号和终止符号推导出来的。所有方程都是线性的，即状态空间的划分可以描述为半空间的交点。将asyi=zi参数化将很方便- θai=σi/λi。在此变量变化下，引理4.3中的量w，wf变为w（y，y）=-y- （a+ρaa）w（y，y）=-y- （a+ρaa）。这些线性函数确定半空间SW-我=（y，y）∈ R： wi（y，y）≤ 0, 我∈ {1，2}，以及，使用反向不等式，W+i。在每个可能的组合（W±，W±）上，对（W，W）有不同的符号组合，由此产生的对术语结构形状的限制可以从定理4.5中读取。第二对不等式由项结构曲线导数的初始和终端符号得到。这两个量都可以从引理4.3中推导出来。导数的初始（“起始”）符号与收益率和前向曲线相同，等于s（y，y）=u+u+c+w（y，y）+w（y，y）=-λy- λy，它给出了定义半空间S±的线性函数。