双因素Vasicek中期限结构形态的分类

收益率和远期曲线导数的终点符号不同；对于前向曲线，它是16 MARTIN KELLER Reselequal到limx的标志→∞eλxxf（x）=w（y，y）。对于收益率曲线，它等于收益率（y，y）=limx的符号→∞x个xY（x）=-y- y-a+a+2ρaa,确定半空间T±屈服。总的来说，有多达2=16个半空间组合（W±、W±、S±、T±屈服）导致屈服曲线上的不同限制，2=8个半空间组合用于正向曲线。半空间的实际配置，以及交叉口的数量和形状，取决于模型状态，即尺度接近与尺度分离，以及相关参数ρ的符号。对所有病例的全面分析超出了本文的范围，但我们在量表近端正相关病例中添加了一些细节，如图1所示。我们考虑两个分析前向曲线的示例案例：（a）在交叉点W上-∩ W-∩ S+这对（w，w）有两个负号。因此，通过定理4.5，符号序列xf是[+-]的子序列。的终止符号xf等于w的符号，因此也是负数。这使得[+-]和[-]可能作为符号序列xf，对应于ShapeShamped和Reverse。最后一半空间S+将初始符号限制为+并选择驼峰前进曲线的唯一剩余可能性。（b） 在交叉口W上-∩ W+∩ S+该对（w，w）具有符号序列[-+]。从定理4.5中，我们得到了相同的限制符号seq(xf） [+-]如案例（a）所示。初始标志和终点标志的限制也是相同的，因此在这种情况下，前向曲线也必须驼峰。半空间的所有其他交点都可以用相同的方法进行分析。

对于屈服曲线，情况（a）中的分析必须如下所示：（a’）来自定理4.5，限制符号seq(xY） [+-]，且收益率曲线的初始符号必须在S+上为正。这就为收益率曲线的导数留下了可能性[+-]和[-]，对应于humpedor反向曲线。与前向曲线相反，曲线的终点符号没有限制。与半空间T+Yield相交选择驼峰曲线，与T相交-Yield选择反向曲线。在比例接近、正相关的情况下，这种类型的分析会导致所有交点的曲线形状都是唯一的，W除外+∩W-∩S+(∩ T+产量）。仅对于这部分状态空间，该方法无法区分异常形状和HD形状，见图1.5.2。严格、强大和∑-可实现性。定理2.3的结果可以通过引入严格性、强性和∑-可达到性的概念来加以简化。定义5.1（严格且可实现性强）。（a） 如果我们能找到参数向量p，则称正向曲线的形状S为严格可实现∈ P，这样x 7→ f（x；Zt，p）在所有t>0的情况下都以严格正概率获得形状S。事实上xf等于wwas，这是导致toCor的关键观察结果。4.6.双因素VASICEK模型中的期限结构形状17（b）具有k个局部极值的正向曲线的形状S称为强可达到，如果对于任何0<r<··<rk，我们可以找到参数向量p∈ 展开状态向量z∈ R、 这样x 7→ f（x；z，p）的形状为S，其局部极值位于r，rk。换句话说，很强的可达性意味着位置（而不是振幅！）前向曲线的极值可以任意选择。同样的术语也适用于收益率曲线x 7→ Y（x；z，p）。备注5.2。

我们注意到，在（a）中，风险中性度量Q下的概率与统计度量Pare下的概率没有区别，因为Q和P是等效的。它也没有区别是否考虑“全部t>0”或“部分t>0”，因为在瓦西塞克模型中，zt和zt定律对于任何t，t>0都是等效的。定理2.3的另一个强化可以通过改变P中的并非所有参数，而只是其中的一个子集来实现。为了表述这些结果，我们在去掉波动率参数（σ、σ、ρ）的情况下编写PforP，并引入协方差矩阵的参数空间∑：=Σ =σρσσρσσσ, σ, σ∈ [0, ∞), ρ ∈ [-1, 1].∑的其他限制由∑ρ<0、∑ρ=0等表示。我们现在可以引入∑-可达到性的概念：定义5.3。如果对于任何参数向量p，则前向曲线的形状S称为∑-可达到∈ P、 我们可以找到协方差矩阵∑∈ ∑和状态向量∈ R、 这样x 7→ f（x；z，（p，∑））具有形状S。相同的术语适用于屈服曲线x 7→ Y（x；z，（p，∑）。结合定义5.1，我们还获得了严格和强∑-可达到性的概念。我们提出的定理2.3的第一个推论涉及∑- 期限结构曲线的可获得性强。推论5.4。（i） 在定理2.3的所有情况下，即使仅限于正则协方差矩阵，给定的形状也是∑-可达到的。（ii）在（a）和（b）情况下，形状是强可达到的，甚至是强∑和∑ρ=0-可达到的。（iii）在情况（c）中，除了可能的DH、HDH、DHD和HDHD之外，所有形状都是强可附加的，甚至∑和∑ρ<0-可实现。第二个推论涉及严格的可达到性。推论5.5。

（i） 定理2.3（a）的形状是严格可达到的，甚至严格∑ρ>0-∑ρ=0-∑ρ<0-可达到。（ii）定理2.3（b）的形状是严格可达到的，甚至是严格∑ρ>0和∑ρ=0-可达到的（iii）定理2.3（c）的形状，除了DH和DHD之外，是严格可达到的，甚至是严格∑ρ<0-可达到的。备注5.6。我们给出了一个支持Cor.5.4的启发式论证，旨在解释为什么（共）方差参数和状态向量的变化足以获得列出的形状：18 MARTIN KELLER-Restelo对于HDH的强可获得性，是TM（a）情况下最复杂的形状。2.3，需要四个自由度：三个自由度用于局部极值，另一个自由度用于在HDH和DHD之间进行选择。参数空间∑ρ=0有两个自由度，状态空间Ralso有两个自由度，匹配所需的四个自由度如果（c）为Thm。2.3最复杂的形状HDHD需要五个自由度。参数空间∑ρ<0提供了其中三个，状态空间R提供了两个在案例（b）中，两因素过程的正相关性与均值回归量表的接近度导致了如此多的正信息，以至于并非所有五个自由度都可以利用。现在，我们解释了如何从定理2.3的证明中获得推论5.4和5.5中更强的结论，定理2.3在第。4.3. 首先，观察到在证明的所有步骤（i）-（vii）中，我们已经证明了方程组（4.5）可以通过选择合适的协方差参数（σ，σ，ρ）和状态向量（z，z）来求解，并且没有必要修改P中的任何剩余参数。

这表明，在所有情况下，可达性都可以增强为∑-可达性。接下来，请注意，在证明的步骤（i）-（v）中，我们使用定理3.8找到了一个D-多项式Д+或Д-, 求解（4.5）后，等于xf，前向曲线的导数。定理3.8允许我们预先确定所有零ESR<····<rkofИ±，从而确定前向曲线极值的位置。这同样适用于xY，收益率曲线的导数。这表明，在（i）-（v）情况下，我们获得了强∑-可达性。此外，请注意，在所有情况下（i）-（v），选择ρ=0是有效的。因此，我们甚至得到了强∑ρ=0-可达到性。这就完成了Cor.5.4所需的参数。Cor 5.5的内容源自一个扰动参数。例如，考虑Thm证明中的案例（iii）。2.3：在这里，我们可以找到参数σ=ρ=0，σ>0和状态向量（z，z）∈ R、 它生成与shape HD相对应的符号序列[+-+]。假设扰动σ= , ρ= ± 和z= z±, z= z±具有 在一些小集合中，[0，δ）仍然产生相同的符号序列[+-+]和shapeHD。然后，我们可以得出结论：o形状HD是严格∑-可实现的，因为（Zt，Zt）以严格正概率访问（z，z）的任何小邻域；oHD也是∑ρ>0-∑ρ<0-可达到的，因为我们将ρ=0的条件放宽为ρ= ±; 并且o考虑正则矩阵∑是有效的，因为我们将条件σ=0放宽为σ= .下面给出了必要的微扰引理。将相同的论点应用于证明中的每一个案例（i）-（v），得出第5.5条第（a）和（b）部分。对于情况（vi）和（vii），请注意引理只能应用于D-多项式Д+，而不能应用于Д，其在[0]的边界处有一个零，∞) 不是一个极值多项式。这产生了第5.5条第（c）部分。引理5.7（微扰引理）。

设φ=Pni=1aiφibe是笛卡尔系统D=（φ，…，φn）在子区间X上的一个非零dpolymial 在双因素VASICEK模型19中，哪些术语结构形状符合条件seqnXi=1aiφi！\'在X的边界上没有零。然后存在（bi）i=1。。。n∈ {-1、+1}和δ>0，这样符号seqnXi=1aiφi！”符号seqnXi=1aiφi！对于所有人 ∈ [0，δ）和i=ai+bi。证据首先，我们证明了序列（bi）的选择可以使. . . 一n] “[一……一]。为此，定义b，b如下：ai>0==> bi：=+1ai<0==> bi：=-1ai=0==> bi：=+1如果包含aiborderson的零块至少有一个aj>0，-1其他。很容易看出，强符号的数量和方向在（a）中发生变化, . . . , 一n） 与（a，…，an）中的所有 ≥ 0，即我们有. . . 一n] “[一……一]， ≥ 0、设置φ=Pni=1aiφi.然后根据定理3.6（5.1）符号seq（φ)  [答. . . 一n] “[a…an]”符号seq（φ），表示所有 ≥ 0，我们已经证明φ符号更改不能超过φ。这仍然需要证明，等价性对于足够小的. 设k为φ的强符号变化数。显然，我们可以找到r，Rk使得序列φ（ri）i=0，。。。，交替符号的kis。每个区间（ri，ri+1）必须包含φ的精确零。设置δ：=最小值=0，。。。，k |φ（ri）| Pnj=1maxi=0，。。。，k |φj（ri）|。那么，δ>0且对于所有 ∈ [0, δ)1.-φ（ri）φ（ri）=φ（ri）- φ（ri）φ（ri）≤|φ（ri）|nXj=1bjφj（ri）≤≤ Pnj=1 |φj（ri）|φ（ri）|<1。这表明序列φ（ri）i=0，。。。，khas与φ（ri）i=0，…，相同的交替符号，。。。，k因此φ至少有与φ相同数量的零，对于所有 ∈ [0，δ）。再加上（5.1），这就完成了证明。20 MARTIN KELLER Reselappendix A.笛卡尔系统上的辅助结果 应给出R。我们设置x=（x，…，xk）∈XK和k（X）：=x个∈ Xk:x<。

<xk.从[BE95]开始，我们采用紧凑符号（A.1）Dφ, . . . , φkx，xk公司:= det公司φ（x）φ（x）。φk（x）。。。。。。。。。φ（xk）φ（xk）。φk（xk）.一个重要的特例是Vandermonde行列式，对于任何实（γi）i=1，。。。，K评估为（A.2）D1，x，x，xk公司-1γ, . . . , γk=k-1Yj=1（γj- γj-1） ，参见例如【Hog13，Ch.22.4】。对于可微分函数φ，φk，我们还引入了沃伦斯基行列式（或简单的沃伦斯基行列式）（A.3）W（φ，…，φk）（x）=det1φ（x）φ（x）···φ（k）（x）1φ（x）φ（x）···φ（k）（x）。。。。。。。。。。。。1φk（x）φk（x）····φ（k）k（x）.[Kar68，第2章，§2]讨论了（A.1）和（A.3）中两个行列式之间的关系以及“衍生行列式”的中间概念。A、 1。具有指定零的D多项式。定理3.8的证明。设笛卡尔系统D=（φ，…，φn）在X上，一组规定的零r=（r，…，rn）-1) ∈ n-给出1（X）。我们证明了D多项式（A.4）φ（x；r）=Dφ, φ, . . . , φnx，r，注册护士-1.是定理3.8中所需的插值多项式。首先，观察当x=rif或任何i=1，…，确定性消失，n- 因此φ（x，r）在每个ri处都有一个零，这表示（a）。其次，由于D是笛卡尔系统，行列式在X中的所有其他点都必须是非零的。点X穿过内部零点，改变了行列式中两列的顺序，因此显示了φ（X；r）的符号，如（b）。权利要求（c）现在遵循定理3.6，因为φ（x；r）有n- 1符号更改，必须在（3.3）中保持等效性。为了准备其他结果，我们注意到系数a，插值D-多项式φ（x；r）的另一个可以直接从（A.4）中确定。扩展第一列中的行列式得到φ（x，r）=nXi=1ai（r）φi（x），双因素VASICEK模型中的期限结构形状21，其中（A.5）ai（r）=(-1） 1+iDφ, . . .

，φi-1，φi+1，φnr，注册护士-1..因为（φ，…，φn）是笛卡尔系统，所以右边的行列式是严格正的。这表明φ（x，r）的系数必须有交替信号，从+。A、 2。E的笛卡尔性质。引理4.2的证明。为了证明Esep、Eprox和Ecritare笛卡尔系统在[0，∞), 这足以证明Dgαk，gαx，xk公司> 0对于任何αk>…>α≥ 0和x=（x，…，xk）∈ k-1[0, ∞). 我们的出发点是gα的表示（4.2），表示为Дα（x）=e的积分-αx相对于总正的kernelK（x，y）=yx{x≤y} 。从[Kar68，Ch.3，Eq.（1.11）ff]和Ki：=K（x，yi），我们得到thatDKKkx，xk公司=y···ykx··xk{0≤y≤x个≤y≤x个···≤xk}对于任意x，y∈ k（0，∞). 将其与组成公式[Kar68，Ch.3，Eq.（1.2）]相结合，我们得到（A.6）Dgαk，gαx，xk公司==ZxZxx···Zxkxk-1y·ykx·xkDДαk，Дαx，xk公司戴迪···戴克。因为（Дαk，…，Дα）是笛卡尔系统，所以被积函数是严格正的。此外，整合领域有严格的积极措施。我们得出结论，对于任何x=（x，…，xk），左手边是严格正的∈ k（0，∞), 因此E是笛卡尔系统，在（0，∞). 仍需将此属性扩展到左闭区间[0，∞). 根据[Kar68，Ch.2，Thm.2.3]，可以很好地证明Wronskian W（gαk，…，gα）（0）对于任何k都是严格正的。我们首先计算泰勒展开式α（x）=xZxye-αydy=∞Xk=0(-α） k（k+2）xkk！，由指数函数的泰勒展开式得出。我们得出结论，gα在零处的k阶导数由（A.7）g（k）α（0）给出=(-α） kk+2。因此，我们得到零处的Wronskian由（A.8）W（gαk，…，gα）（0）=（k+1）！-kD公司1，x，x，xk公司-1.-αk。

, -α.22 MARTIN KELLER Restelth后者是Vandermonde行列式，其计算结果为qk-1j=1（αj+1-因此，αj）andis严格为正。A、 3。插值多项式的进一步结果。引理A.1。设αn>…>α≥ 0，并考虑笛卡尔系统d=（Дαn，…，Дα），其中Дα（x）=e-αx。设f（x，r）=Pni=1ai（r）Дαi（x）是r的插值D多项式（A.4）∈n-那么它的系数满足，对于任何i，j∈ {1，…，n}，（A.9）limr→0ai（r）aj（r）=(-1） （一）-j） αi+1- αi-1（αi+1- αi）（αi- αi-1） （αj+1- αj）（αj- αj-1） αj+1- αj-按照惯例，应省略包含α或αn+1的术语。相同的结果适用于D，替换为e=（gαn，…，gα），其中gα（x）=xZxye-αydy。证据将（A.5）与[Kar68，Ch.6，Eqs.（1.3），（1.4）]相结合，我们得到了LIMR→0ai（r）aj（r）=(-1） （一）-j） limr公司→0天^1n，~ni+1，~ni-1.^1r，注册护士-1.D^1n，^1j+1，Дj-1.^1r，注册护士-1.== (-1） （一）-j） W（Дn，…，Дi+1，Дi-1.^1）（0）W（Дn，…，Дj+1，Дj-1.φ) (0).AsИα（x）=e-αx，Wronskian行列式变为Vandermonde行列式，即W（Дn，…，Дi+1，Дi-1.^1）（0）=D1，x，x，xn公司-1.-αn，-αi+1，-αi-1.-α=αi+1- αi-1（αi+1- αi）（αi- αi-1） n个-1Yk=1（αk- αk-1） ，类似地，对于j，计算它们的比率，得到（A.9）。对于g，证明是逻辑的，使用（A.8）来评估沃伦斯基。引理A.2。考虑笛卡尔系统D4，prox=（Д2λ，Дλ+λ，Д2λ，Дλ）在[0，∞). [0]中存在一个0的邻域N，∞), 使得插值D多项式的系数f（x；r）=a2λ（r）Д2λ（x）+aλ+λ（r）Дλ+λ（x）+a2λ（r）Д2λ（x）+aλ（r）Дλ（x）满足（a.10）aλ+λ（r）pa2λ（r）a2λ（r）< 2.r∈ N∩ [0, ∞).这同样适用于双因素VASICEK模型23Proof中的D、E4、Proxan和E.TERM结构形状。

将引理A.1应用于D4，prox，我们计算limitslimr→0aλ+λ（r）aλ（r）= 2.2.-λλlimr公司→0aλ+λ（r）aλ（r）= 2通过平方根和乘法，我们得到limr→0aλ+λ（r）pa2λ（r）a2λ（r）= 2r2-λλ.当λ<λ<2λ时，右侧严格控制在0和2之间。由于（A.5），插值D-多项式f（x；r）的系数连续依赖于r∈ [0, ∞), 和（A.1）如下。D，E4，prox和E的证明是很好的。参考文献[和87]Tsuyoshi Ando。完全正矩阵。《线性代数及其应用》，90:165–2191987。【BE95】Peter Borwein和Tam\'as Erd\'elyi。多项式和多项式不等式，第161卷。Springer Science&Business Media，1995年。[BM07]Damiano Brigo和Fabio Mercurio。利率模型理论与实践：有英里、通货膨胀和信贷。施普林格科学与商业媒体，2007年。约翰·C·考克斯、乔纳森·E·英格索尔和斯蒂芬·A·罗斯。利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2）：385–4081985。Franziska Diez和Ralf Korn。vasicek利率模型的收益率曲线形状、度量变换以及养老金产品模拟的应用。《欧洲精算杂志》，第1-30页，2019年。[DS00]戴强和Kenneth J Singleton。短期结构模型的规格分析。《金融杂志》，55（5）：1943-1978，2000。莱斯利·霍本。线性代数手册。查普曼和霍尔/CRC，2013年。约翰·赫尔和艾伦·怀特。利率衍生证券定价。《金融研究回顾》，3（4）：573–59219990年。塞缪尔·卡林。总积极性，第1卷。斯坦福大学出版社，1968年。[Kij02]Masaaki Kijima。再次考察了期权价格的单调性和凸性。MathematicalFinance，12（4）：411–4252002。[KK13]Ralf Korn和Elke Korn。期权Bewertung和投资组合优化：ModerneMethoden der Finanzmathematik。