双因素Vasicek中期限结构形态的分类

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英文标题：
《The classification of term structure shapes in the two-factor Vasicek
  model -- a total positivity approach》
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作者：
Martin Keller-Ressel
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We provide a full classification of all attainable term structure shapes in the two-factor Vasicek model of interest rates. In particular, we show that the shapes normal, inverse, humped, dipped and hump-dip are always attainable. In certain parameter regimes up to four additional shapes can be produced. Our results apply to both forward and yield curves and show that the correlation and the difference in mean-reversion speeds of the two factor processes play a key role in determining the scope of attainable shapes. The key mathematical tool is the theory of total positivity, pioneered by Samuel Karlin and others in the 1950ies.
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中文摘要：
我们在双因素Vasicek利率模型中提供了所有可达到的期限结构形状的完整分类。特别地，我们证明了正态、逆态、驼峰、下倾和驼峰下倾的形状总是可以得到的。在某些参数范围内，最多可以生成四个附加形状。我们的结果适用于正向曲线和屈服曲线，并表明两因素过程的相关性和平均回复速度的差异在确定可获得形状的范围方面起着关键作用。关键的数学工具是塞缪尔·卡林（SamuelKarlin）等人在50年代首创的完全积极性理论。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> The_classification_of_term_structure_shapes_in_the_two-factor_Vasicek_model_--_a.pdf (612.12 KB)

2022-6-25 07:55:48 上传

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关键词：Vasicek ASIC 期限结构 SIC ASI

双因素VASICEK模型中期限结构形状的分类——一种总的积极性近似Martin KELLER Reselabstract。我们在双因素Vasicek利率模型中对所有可达到的期限结构形状进行了全面分类。特别是，我们表明，形状正常，反向，驼峰，下降和驼峰下降总是可以实现的。在某些参数范围内，最多可以生成四个附加形状。我们的结果适用于正向曲线和收益率曲线，并表明两因素过程的平均反转速度的相关性和差异在确定可获得形状的范围方面起着关键作用。关键的数学工具是塞缪尔·卡林（SamuelKarlin）和其他人在1950年代首创的全面积极性理论。内容1、导言22。符号和主要结果32.1。期限结构的形状32.2。双因素Vasicek模型32.3。期限结构的分类形状43。符号序列，总积极性和笛卡尔系统53.1。符号序列53.2。总积极性和笛卡尔系统74。主要结果的证明94.1。Vasicek模型94.2的笛卡尔系统。可达到性的必要条件104.3。可达到性的充分条件135。其他结果155.1。期限结构的状态相关分析形成155.2。严格、强和∑-可达到性16附录A。笛卡尔系统20A的辅助结果。1、规定零的D多项式20A。2、E 21A的笛卡尔性质。关于插值多项式的进一步结果22参考文献23日期：2021 6月15日。关键词和短语。收益率曲线、远期曲线、期限结构、Vasicek模型、利率、总正性、笛卡尔系统。2 MARTIN KELLER-Resel1。简介利率期限结构——以收益率或远期曲线的形式总结——是最基本的经济指标之一。

其形状编码了有关短期与长期投资偏好、流动性需求、央行决策预期和总体经济前景的重要信息。因此，一个给定的利率数学模型能够（重新）生成收益率和远期曲线的形状，这是一个自然的问题。在[Vasicek 77]中已经有一段专门讨论这个问题，Vasicek得出结论，在他的单因素模型中，可以获得正常（递增）、反向（递减）和驼峰（具有单个最大值）形状。Cox-Ingersoll-Ross模型和所有一维短期结构模型（包括带跳跃的短期利率模型）中也存在相同的形状分类，请参见【CIJR85，公式（26）f】，【KRS08，KR18】。对于时间同质多因素模型（如[DS00]的一个有效期限结构模型），似乎对可达到的期限结构形状的系统知识很少。一个值得注意的例外是[DK19]，其中已经表明，双因素Vasicek模型也可以生成下降曲线，但没有给出所有其他可获得形状的完整计数。对于时间不均匀模型，如Hull-White扩展Vasicek模型[HW90]，众所周知，任何初始项结构都可以完美拟合，因此，可以在校准时再现任何形状的项结构。然而，随着时间的推移，这个初始形状将消失，并且由于随机性的影响，该模型的行为将越来越像一个时间同质模型。因此，即使从Hull-White扩展模型来看，时间齐次短期利率模型中可附期限结构形状的分类仍然是一个相关问题。在此，我们首次在双因素Vasicek模型中对期限结构形状进行了全面分类。

在我们的主要结果定理2.3中，我们对收益率曲线和正向曲线的所有可实现形状进行了分类。正如预期的那样，一些额外的形状，如在一维情况下无法实现的倾斜曲线和驼峰倾斜曲线，在双因素模型中可以实现。我们从几个方面加强和扩展了这一主要结果：对于许多术语结构形状，我们可以确定它们出现的模型状态空间的确切区域。此外，我们还讨论了哪些形状保证具有严格的正概率（“严格可达性”），哪些形状的极值位置可以任意规定（“强可达性”）。我们的主要数学工具是全正性理论（参见[Kar68]），该理论与某些矩阵、函数系统和积分核的变差递减特性有关。全正性在数值插值、微分方程和随机过程中有着广泛的应用。在数学金融领域，它已被用于研究期权价格的单调性和凸性【Kij02】以及利率期限结构的主成分分析【SS06，LP07】。我们对期限结构形状分析的应用是新的，与[SS06，LP07]中的结果有根本不同。虽然本文的结果仅限于二维Vasicek模型，但我们认为，基本理论也可以应用于其他多因素利率模型。双因素VASICEK模型中的期限结构形状32。符号和主要结果2.1。期限结构的形状。在我们的术语中，术语结构指的是收益率曲线或远期曲线。术语结构的形状由术语结构曲线的局部最大值或最小值的数量和顺序确定。

在常见的金融市场术语中，本地最大值被称为“驼峰”，本地最小值被称为“低谷”。由于Vasicek模型（或大多数其他模型）产生的期限结构曲线是平滑的，很明显，可以通过考虑其导数方便地分析期限结构曲线的形状：导数的任何符号变化（从严格正到严格负或反之）对应于期限结构的局部极值；信号变化的类型（+到-或-到+）决定了极值的类型（驼峰或下降）。表2.1列出了基本形状及其常规名称。对于“高阶”形状，我们使用字母H表示驼峰，D表示倾角，例如，形状HDH对应于具有两个局部极大值的术语结构，由一个局部极小值交错。termstructureDescription符号序列的S形导数极大严格递增[+]逆严格递减[-]驼峰单局部最大[+-]下降单局部最小[-+]HD驼峰倾角，即局部最大后接局部最小[++]DH、HDH等。多个“倾角”和“驼峰”的进一步序列[…]表1：。术语结构2.2的形状。双因素Vasicek模型。Vasicek模型最初由[Vas77]作为单因素模型引入，而[DS00]在一个有效期限结构模型的框架内将其扩展到多因素。在这里，我们重点讨论二维情况，如在[BM07]中已详细讨论过。在二维Vasicek模型中，短期利率由t=Zt+Zt给出，其中因子过程的动力学Z=（Z，Z）由dzit=-λi（Zit- θi）dt+σidBit，i∈ {1, 2}.（2.1）在风险中性度量Q下，长期利率θ=（θ，θ）是真实的，布朗运动B，Bhave相关性ρ∈ [-1, 1]. 我们假设平均回复速度严格为正，顺序为λ<λ，即。

Zi是对长期结构具有主导影响的“慢”因素，Zt是对短期利率具有主导影响的“快”因素。4 MARTIN KELLER Reselfrom[DS00]，二维Vasicek模型中的债券价格可以写为（2.2）P（t，t+x）=等式经验值-Zt+xtrsds英尺= 经验值A（x）+Z>tB（x）式中，A和B表示常微分方程A（x）=F（B（x）），A（0）=0（2.3a）Bi（x）=Ri（Bi（s）），Bi（0）=0，i∈ {1，2}（2.3b），其中f（b）=λθb+λθb+b>σb，σ=σρσσρσσσ,（2.4a）Ri（b）=-λibi- 1，我∈ {1, 2}.（2.4b）微分方程（2.3b）显然可以用bi（x）=λi给出的解显式求解e-λix- 1., 我∈ {1, 2}.通过积分，（2.3a）的显式解由a（x）=σ4λ给出e-2λx+4e-λx- 2λx+3+σ4λe-2λx+4e-λx- 2λx+3+σσλλe-（λ+λ）xλ+λ-e-λxλ-e-λxλ- x个.最后，通过（2.2）和（2.3）asf（x；Zt）=-xlog P（t，t+x）=-A（x）- Z> tB（x），（2.5）Y（x；Zt）=-xlog P（t，t+x）=-A（x）x- Z> tB（x）x.（2.6）如果我们想强调这些曲线对状态向量Z之外的某个参数p的依赖性，我们写f（x；Z，p）和Y（x；Z，p）。我们对从f和Y导出的所有量使用类似的符号。2.3. 期限结构形状的分类。我们现在准备介绍本文的主要结果；双因素Vasicek模型中期限结构形状的分类。我们用P表示二维Vasicek模型的全参数空间，即P=θθ∈ Rσσ∈ [0, ∞), ρ ∈ [-1, 1], 0 < λ< λ,并介绍以下定义：定义2.1（可实现性）。如果我们可以找到参数向量p，则前向曲线的形状S称为可获得∈ P和状态向量z∈ R、 如x 7→ f（x；z，p）具有形状S。

同样的定义适用于屈服曲线7→ Y（x；z，p）。此外，平均回归参数λ<λ的两个速度之间的关系区别如下：双因素VASICEK模型定义2.2中的期限结构形状。二维Vasicek模型称为o尺度分离，如果2λ<λ，o尺度近端，如果2λ>λ，以及o尺度临界，如果2λ=λ。定理2.3。考虑二维Vasicek模型。（a） 在标度分离的情况下，以下屈服曲线和前向曲线形状是可连接的：正常、反向、驼峰、下降、HD、DH、HDH；无法获得其他形状。（b） 在比例近端情况下，以下屈服曲线和正向曲线形状可与ρ匹配≥ 0：正常、反向、驼峰、下降、HD；ρ不能得到其他形状≥ 0。（c）在标度近端情况下，ρ<0时，以下屈服曲线和正向曲线形状是可实现的：正常、反向、驼峰、下降、HD、DH、HDH、DHD、HDHD；ρ<0时，无法获得其他形状。在标度临界情况下，（b）适用于ρ≥ 如果ρ<0，则适用0和（a）。我们观察到hat与一维Vasicek模型相比，在一维Vasicek模型中，只能产生三种形状正常、反向和驼峰（参见[Vas77、KRS08、KK13]），在双因素情况下，至少可以获得两种额外的形状dipped和HD。根据平均反转参数的速度关系和相关性ρ，额外形状的数量可以增加到六个。第4节给出了定理的证明。它基于完全正性理论和笛卡尔系统，第3节对此进行了总结）。在第5节中，主要结果在以下几个方面得到了重新定义和扩展：首先，可以根据状态向量（Zt，Zt）对可达到的期限结构形状进行分析。

这允许将状态空间划分为几个区域，在这些区域中，只有少数甚至单个形状是可能的；关于标度近端和正相关病例的图示，见图1。其次，我们引入并讨论了严格可达性和强可达性的概念，这些概念本质上对应于具有严格正概率和局部极值任意放置的形状的可达性。最后，我们在第5节中表明，只要改变状态向量和波动率参数σ、σ、ρ，同时保持所有其他模型参数不变，就可以产生所有可实现的形状。符号序列、总体积极性和笛卡尔系统3.1。符号序列。为了跟踪数字序列或连续函数的数字和符号变化方向，我们引入了符号序列的通知。虽然这一概念隐含在许多与总体积极性相关的结果中，但此处引入的确切术语和符号是新的。（i） 符号序列是符号+和-的非空序列。这里只考虑有限的符号序列。也可以允许零；我们稍后对此发表评论。我们在方括号和writee中包含符号序列。g、 [+]、[++--+]、[+-+]6马丁·凯勒·雷塞尔图1。二维Vasicek模型中的状态相关项结构形状。图中显示了因子（z，z）在状态空间的不同区域（以黑色分隔）中向前曲线（面板A）和屈服曲线（面板B）的可实现形状。假设基础模型为scaleproximal且正相关，见定理2.3的案例（b）。风险中性平稳分布系数过程的等高线以绿色显示，绿点显示“最可能”收益率/远期曲线的位置。

有关红色注释的详细信息，请参见第5.1节。一些有效符号序列的双因素VASICEK模型7中的术语结构形状。（ii）如果两个符号序列的符号变化的数量和方向相同，则两个符号序列是等效的。这定义了一个等价关系\'，例如[+-+]\'[+-++]。（iii）以类似的方式，我们可以确定子序列关系 其中只考虑了符号变化（即，我们将符号块视为单一符号）。因此，我们有[-++] [-+--], [-]  [++-+].（iv）同时保留初始符号的子序列称为头，保留终止符号的子序列称为尾。我们写[-++]H [-+-]，[+]T [-+]用于各自的关系。（v） 符号序列应该只跟踪“强”符号的变化。因此，我们加入了可以省略符号序列中的零的约定，以获得等效的符号序列。E、 g.我们有[+0+-0+]\'[+-+]，[0-00-]\'[-]。请注意，所有强符号更改（及其方向）都保留在该缩减下。（vi）如果变量（如a）出现在符号序列中，则应将其解释为“a的符号”。E、 g.如果a=6且b=-1如果a=-1，b=0。（vii）设f是一个连续函数，定义在R的子集X上，而不是常数lyzero。f的符号序列是f在零之间的符号序列。只考虑具有有限符号序列的函数，我们用符号序列（f）表示此类函数f的符号序列。例如，f（x）=x- 1，定义于X=[0，∞) ==> 符号seq（f）=[-+]。3.2. 总体积极性和笛卡尔系统。我们介绍了总积极性理论的一些定义和主要结果。有关背景和更多详细信息，请参阅[KS66、Kar68]和[BE95]。定义3.1（完全正内核）。

设X，Y 设K是从X×Y到R的函数（“核”）。如果（3.1）detK（x，y）K（x，y）。K（x，ym）。。。。。。。。。K（xm，y）K（xm，y）。K（xm，ym）≥ 0对于任意m∈ N、 x<x<···<xmin x和i<i<···<imin Y，则称k（x，Y）为完全正。如果严格相等在（3.1）中成立，则内核被称为严格完全正。例如，从+到0再回到+的符号变化不被视为强符号变化，而从+到0再到-的符号变化则被视为强符号变化。8 MARTIN KELLER Reselremark 3.2。（i） 核K（x，y）=exyand K（x，y）=1{y≤x} 是R（或任何x×Y上的x，Y）上全正核的例子 R） ；参见[Kar68，第1章§2]和[Kar68，第3章，等式（1.13）ff]。第一个内核甚至严格地说是完全正的。（ii）X=Y={1，…，n}上的完全正核可以写成矩阵；因此，此类矩阵也被称为完全正矩阵，参见[和87]或[Hog13，Ch.29]。全正核的一个重要性质如下：定理3.3（全正核的变差递减性质）。设Kbe在X×Y上是一个完全正的核，使得thryk（X，Y）dy<∞ 对于所有x∈ 十、 让f:Y→ R是有界连续函数，具有有限符号序列和setg（x）：=ZYK（x，y）f（y）dy。Thensign-seq（g） 符号顺序（f）。这个结果是[Kar68，Ch.5，Thm.3.1]的一个特例，用符号序列的语言表述。它可以从关于ebesgue测度dy的积分扩展到y上的一大类σ-有限测度du（y）。然而，这里不需要这些扩展。接下来，我们将讨论一个密切相关的定义，该定义适用于函数族。定义3.4（笛卡尔体系）。设X是R的子区间，D=（φ，…，φn）是从X到R的连续函数族φi（x）φi（x）。φim（x）。。。。。。。。。φi（xm）φi（xm）。