金融时间序列的动态相关性建模

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英文标题：
《Dynamic Dependence Modeling in financial time series》
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作者：
Yali Dou, Haiyan Liu, Georgios Aivaliotis
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper explores the dependence modeling of financial assets in a dynamic way and its critical role in measuring risk. Two new methods, called Accelerated Moving Window method and Bottom-up method are proposed to detect the change of copula. The performance of these two methods together with Binary Segmentation \\cite{vostrikova1981detection} and Moving Window method \\cite{guegan2009forecasting} is compared based on simulated data. The best-performing method is applied to Standard \\& Poor 500 and Nasdaq indices. Value-at-Risk and Expected Shortfall are computed from the dynamic and the static model respectively to illustrate the effectiveness of the best method as well as the importance of dynamic dependence modeling through backtesting.
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中文摘要：
本文探讨了金融资产的动态依赖模型及其在风险度量中的关键作用。提出了两种新的copula变化检测方法：加速移动窗口法和自底向上法。在模拟数据的基础上，比较了这两种方法与二值分割方法{vostrikova1981detection}和移动窗口方法{guegan2009forecasting}的性能。表现最好的方法适用于标准普尔500指数和纳斯达克指数。分别从动态模型和静态模型计算风险价值和预期短缺，以说明最佳方法的有效性以及通过回溯测试进行动态依赖建模的重要性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Dynamic_Dependence_Modeling_in_financial_time_series.pdf (1.21 MB)

2022-6-25 08:21:45 上传

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关键词：金融时间序列 时间序列 相关性 respectively Quantitative

金融时间序列中的动态依赖建模英国利兹大学数学基础学院Yali Doua，H.Liua和G.Aivaliotisa，b*Alan Turing Institute，英国，2019年8月15日摘要本文探讨了动态金融资产的依赖性建模及其在衡量风险中的关键作用。提出了两种新的copula变化检测方法，即加速移动窗口法和自底向上法。在模拟数据的基础上，比较了这两种方法以及二进制分割法和移动窗口法的性能。表现最好的方法适用于标准普尔500指数和纳斯达克指数。分别从动态和静态模型中计算风险价值和预期短缺，以说明最佳方法的有效性以及通过回溯测试进行动态依赖建模的重要性。关键词：动态copula；加速移动窗口法；自下而上法；变更点；VaR；锿。1引言金融资产的依赖结构对风险度量有着显著的影响，因此建模至关重要。虽然在椭圆分布回报的假设下，线性相关性足以衡量金融资产之间的依赖关系，但当这些资产不对称且具有厚尾时，线性相关性并不合适，参见Embrechts等人【12】。巴顿（Patton）[29]指出，个人资产的分布是不对称的，在经济衰退期间，财务回报对经济的依赖性强于繁荣时期。Embrechts等人【11】将copulas引入金融数据相关性建模。copula函数（见Sklar[30]）连接边际分布*联系人：G。Aivaliotis@leeds.ac.ukof将个人资产纳入联合分布并封装了依赖结构。

金融中使用的copula函数有高斯copula、Student-t copula（Du和Lai[10]）、Clayton和Gumbel copula及其变体。然而，经验证明，金融资产的依赖性保持不变的假设通常是不现实的（例如，参见李的模型[23]，该模型涉及高斯copula的使用和2008年的金融危机）。因此，有一个动机是动态地对金融投资组合回报的依赖性进行建模。依赖结构的变化可以是copula族变化、参数变化，也可以是在特定时间点的变化，通常与市场条件的变化有关。静态copula模型的使用已经很成熟了。赫利曼（Hürlimann）[21]提出了一种基于copula的统计方法，并成功地建立了三个copula模型，这三个模型在瑞士市场指数和指数中的一只股票之间具有最佳的整体拟合度，而de Melo Mendes和de Souza【8】通过拟合copula，捕捉到巴西和美国市场之间的依赖关系，并证明copula家族的选择对风险价值（VaR）和预期缺口（ES）等风险度量的结果有显著影响。Du和Lai[10]证实离岸人民币（CNH）和在岸人民币（CNY）的依赖是对称的，这加强了对线性和对称度量（如线性相关性）的反对。Cheng等人[6]采用传统的蒙特卡罗、纯copula方法和混合copula方法对上证综指和深证综指之间的相关性进行了建模。

通过比较包括VaR和CVaR在内的六种风险度量，他们得出结论，依赖结构在衡量风险方面的作用比资产的边际分布更有价值。在不变copulafamily的假设下，允许copula中参数变化的模型比静态模型更为现实，并已被广泛应用。Patton【28】在Sklar定理【30】的扩展基础上引入了条件copula的概念，并验证了德国马克对美国（DEM/USD）和日元对美国（JPY/USD）汇率回报的时变依赖结构。此外，Embrechts和Dias[7]提供了DEM/美元和日元/美元条件连接函数中存在变化点的证据，他们还提到连接函数中的变化点与金融事件密切相关。Bartram等人[4]证明，欧元的引入改变了欧洲市场的依赖性，尤其是法国、德国、意大利、荷兰和西班牙。Jondeau和Rockinger【22】捕捉到了四个股票指数（标准普尔500指数、FTSE指数、DAX指数和CAC指数）每对之间的copula参数变化，增加了它们之间的依赖性。Dias和Embrechts[9]分别对欧元/美元和日元/美元的外汇建立了两个copula模型，即时变和时不变模型，并发现时不变copula在描述尾部行为方面表现不佳。Caillault和Guegan【16】首先利用移动窗口方法建立了copula家族在测量风险时的变化。Zhang和Guegan【33】还应用了移动窗口方法，检测到了亚洲外汇市场的copula族和参数，美元/泰铢（Thai Baht）和美元/马来西亚元（USD/MYR）的变化。

Guegan和Zhang【18】在历史数据中使用二元分割法【31】建立了一个动态copula模型，以确定copula族和参数的变化时间。他们使用基于核的拟合优度检验来检测家族的变化，同时使用Embrechts和Dias【7】引入的变化点分析来确定copula参数的变化时间。在本文中，我们采用了Huang和Prokhorov[20]提出的一种新的基于等级的拟合优度检验，它可以检测copula的族和参数变化。该测试来自White[32]规格测试，与信息矩阵相等性相关。与White[32]不同，它基于经验边际分布，而不是参数分布。与已知的其他“一揽子”测试相比，不需要任何参数调整或策略选择。这种拟合优度检验具有渐近分布（χ分布），这使得它的计算更加简单，尽管它对对数copula函数的三次可微性有着相当严格的假设。检测copula变化最常用的两种方法是二进制分割法[31]和移动窗口法[17]。二值分割的主要思想是，如果copula没有重复保持不变，则将整个样本分割为两个子样本，直到情况并非如此。二进制分割的“自上而下”特性使其易于实现和高效计算。然而，这种方法的缺点是在更复杂的情况下性能较差，参见Fryzlewicz【14】。相反，移动窗口方法固定初始窗口，然后向前移动，直到覆盖整个样本。当移动窗口的宽度仍然是一个开放的问题时，这种方法可以更精确地检测变化，参见Caillault和Guegan【17】。

请注意，这两种方法之间的一个本质区别是，二进制分割是向后看的，而移动窗口可以用作“实时”工具。在本文中，我们提出了两种新的方法，我们称之为加速移动窗口和自底向上方法。加速移动窗口的概念来自统计质量控制领域（参见图1（a）中的图表，蒙哥马利（Montgomery）[27]提出），以及Huang和Prokhorov（Prokhorov）[20]检验的检验统计量单调增加，当来自不同于零假设的copula的数据被添加时。结合移动窗口和控制限制线，加速移动窗口方法使用控制限制线（CLL）和警告限制线（WLL）监测测试统计数据的移动（见图1（b））。CLLand WLL由置信水平α和α的χ分布临界值决定，其中αw<αc。一旦统计数据超过WLL，就有信号表明copula可能已经改变。然后窗口的长度缩小，重复测试以查看是否违反了CLL。一旦检测到一个变化点（CLL交叉），就会从该点开始寻找一个新的copula（使用大量过去的数据），并迭代该过程，直到发现整个数据。（a） （b）图1：图（a）是蒙哥马利提出的控制图【27】。图（b）是由拟合优度检验产生的统计数据的移动。在后向方法领域，我们提出了一种我们称之为“自下而上”的方法，其灵感来自尾部贪婪的自下而上方法，见Fryzlewicz【14】。

其主要思想是将样本数据划分为多个小间隔（多小由测试的幂决定），每个间隔中没有变化点，然后逐层合并相邻的间隔（如果它们属于相同的copula），直到合并了所有具有相同copula族的间隔。我们比较了这两种新方法与二进制分割和MovingWindow在检测copula族和参数变化方面的性能。首先，我们模拟来自两个具有相同参数的不同二元copula族的数据，并评估这四种方法在检测copula族变化方面的表现。与二进制分割和自底向上方法相反，移动窗口和加速移动窗口等方法可以实时应用。基于这个原因，我们使用模拟数据评估了这两种方法中变化点检测延迟与copula参数之间的关系。随后，我们模拟了一系列模拟真实金融市场数据的数据，并在此基础上对这四种方法进行了综合比较。最后，将在检测copula变化方面表现最佳的方法应用于标准普尔500指数和纳斯达克指数的历史数据。基于动态copula的VaR和ES的后验结果表明，动态模型的性能优于静态模型。本文的组织结构如下。第2节介绍了基本定义、检测copula族和参数变化的拟合优度检验以及上述四种方法的算法。在第3节中，我们比较了四种方法在copula变化中的性能。基于模拟数据，我们通过应用最佳性能方法以及通过回溯测试比较动态和静态建模进行了实证分析。第4节给出了结论。

虽然本文的重点是二元情况，以简化表示，但扩展到更高维度是很简单的。2方法在本节中，我们介绍了一些基本定义、测试和用于检测金融数据中依赖结构变化的算法。我们考虑p（本文中p=2）股票的投资组合。一段时间（例如一天）的损失可以作为一段时间日志返回的函数写入：Lt+1=-（Vt+1- Vt）=-pXi=1λiSit（exp（Xt+1）- 1） （1）其中VT是在时间t已知的投资组合价值，Xt+1=ln St+1- ln St=lnSt+1St，其中sti是时间t.2.1的股价。假设基于copula的可能性可以区分三次，并且可以计算出相应的预期，见Huang和Prokhorov【20】。此处使用的基于秩的良好性检验与White[32]规格检验相关，并根据informationmatrix等价定理成立，其中指出，如果copula定义正确，Fisher信息矩阵等于分数函数的预期外积，或者等于减去预期Hessian。Sklar定理【30】描述了如何将多元分布分解为copula函数和边际函数。定理2.1。如果H是（X，…，XN）的联合分布函数，其边距为F。。。，FN，则存在一个copula C:[0，1]N→ [0，1]这样，对于所有x。。。，xNin R=[-∞, ∞],H（x，…，xN）=C（F（x）。。。，FN（xN））。（2） 如果边距是连续的，则Copula C是唯一的。假设存在copula密度，则关节密度ish（（x，…，xN）=NC（u，…，uN）u联合国un=Fn（xn），n=1，。。。，NNYn=1fn（xn）=c（F（x）。。。，FN（xN））NYn=1fn（xN），其中c是copula密度。

请注意，Sklar定理有一个自然的条件扩展，通过对时间t之前的信息进行条件化（参见Guegan和zhang[18]），我们在这里省略了它。White信息矩阵等价定理[32]的核心是，在正确的copulaspecification下，-H（θ）=C（θ），其中θ是正确规格下copula的依赖参数，H（θ）表示ln Cθ的预期Hessian矩阵，C（θ）表示相应得分函数的预期外积，H（θ）和C（θ）的表达式如下所示。H（θ）=Eθln cθ（F（x）。。。，FN（xN））C（θ）=Eθln cθ（F（x）。。。，FN（xN））θln cθ（F（x）。。。，FN（xN）），其中“θ”表示θ的导数，期望值与真实分布H相关。现在，copula错配检验的假设是，参见Huang和Prokhorov【20】：H:H（θ）+C（θ）=0，而H:H（θ）+C（θ）6=0（3）。在实践中，θ被一致估计量bθ代替，边际分布函数fn被经验分布函数cfn代替。经验分布函数iscFn（s）=T-1TXt=1I{xnt≤ s} ，其中T是每个边距的长度，I{·}是指示符函数，s表示xn的观测值。然后，bθ可以计算为asmaxθTXt=1ln cθ（cF（x1t）。。。，cFN（xNt））。对于H和C，它们分别被样本平均值H和C所代替，样本平均值H和C是根据经验估计bh和bc计算出来的。cHt（θ）=θln cθ（cF（x1t）。。。，cFN（xNt））cCt（θ）=θln cθ（cF（x1t）。。。，cFN（xNt））θln cθ（cF（x1t）。。。，cFN（xNt））。那么，H和C可以表示为asH（θ）=T-1TXt=1cHt（θ）C（θ）=T-1TXt=1cCt（θ）。白色【32】定义dθ≡ D（θ）≡ T-1TXt=1bdt（θ）bdt（θ）=vech（cHt（θ）+cCt（θ）），其中vech表示矩阵下三角形的垂直矢量化。这里，BDT基于经验分布。现在，检验统计量可以构建如下，见Huang和Prokhorov【20】。提案2.2。

在正确的copula规范和适当的正则性条件下，信息矩阵检验统计量为f=T DbθV-1θDbθ（4），其中Vθ如下所示。Vθ=E{dt（θ）+DθB-1[θln c（F1t，F2t，…，FNt；θ）+NXn=1Wn（FNt）]+NXn=1Mn（FNt）}×{dt（θ）+DθB-1[θln c（F1t，F2t，…，FNt；θ）+NXn=1Wn（FNt）]+NXn=1Mn（FNt）}，其中dt依赖于未知的边距，dθ=Edt（θ）。对于n=1，2。。。，N、 Wn（Fnt）=ZZ···Z[I{Fnt≤ un}- 联合国]θ、 unln c（u，u，…，uN；θ）c（u，u，…，uN；θ）dudu··duN，and mn（Fnt）=ZZ··Z[I{Fnt≤ un}- 联合国]UNTECH公司[θln c（u，u，…，uN；θ）+θln c（u，u，…，uN；θ）θln c（u，u，…，uN；θ）]c（u，u，…，uN；θ）dudu··duN。统计量F渐近分布为χp（p+1）/2，其中p是θ的维数。因此，对于Student-t copula，F遵循三度的卡方分布（p=2），而对于Aussian和其他具有一个参数的copula，F趋向于一度的卡方分布。基于这个测试，我们可以检查copula在一段时间内是否没有变化。2.2变化点检测拒绝零假设H意味着有足够的证据表明，在分析的数据部分，copula并没有保持不变。这意味着族或参数已经改变，我们应该动态地建模copula。我们介绍了两种新的变化点检测方法，即自底向上和加速移动窗口，并将其性能与现有的二进制分割和移动窗口方法进行了比较。二元分割和自底向上只能用于回顾性，即动态拟合copulas并确定过去数据中的变化点。另外两个用于“实时”更改点检测。