金融时间序列的动态相关性建模

我们将在本节剩余部分从现有方法开始详细描述每种方法。2.2.1二进制分割二进制分割法是检测依赖结构变化时常用的方法，每次只能检测到一个点。我们可以使用以下算法。算法2.3。（1） 根据Akaike信息准则（AIC）为整个样本拟合最佳copula。（2） 应用拟合优度检验并获得检验统计量。（3） 虽然无效假设（H：Copula不变）被拒绝：（a）将样本分成两个子样本。（b） 为每个子样本拟合最佳copula（AIC）。（c） 对每个子样本进行拟合优度检验，并获得检验统计量。2.2.2移动窗口Caillault和Guegan[17]提出的移动窗口方法从固定的间隔开始，然后向前移动，直到覆盖整个数据。在每个区间中，Caillault和Guegan[17]找到了最好的copula，而在本文中，我们测试了它的优度，而不是仅仅选择最好的copula。我们选择滚动窗口大小为N个点，每次移动该窗口Kpoints，以保持良好的测试能力。除了数据的数量外，测试的威力还取决于相关系数等参数，因此必须仔细选择K和n。在本文中，我们使用N=500和K=120。

算法如下：算法2.4。（1） 取N个初始数据。（2） 根据AIC拟合copula模型。（3） 应用拟合优度检验并获得检验统计量。（4） His被拒绝（检验统计量<χp（p+1）/2，α为白色检验）：（a）将N滚动窗口向前移动K点。（b） 应用拟合优度检验并获得检验统计量。（5） 当（检验统计量>χp（p+1）/2,0.95）（a）除去变化点的最后K个点以外的所有旧观察值。（b） 设置新的N滚动窗口。（c） 选择最佳copula（AIC）。（d） 应用拟合优度检验。（e） 回到步骤（4）。2.2.3加速移动窗口加速移动窗口方法的主要思想是监控由优度检验产生的测试统计数据的移动。在这里，我们利用了一个观察结果，即当来自不同模型的数据开始添加到窗口时，检验统计量单调增加。一旦统计数据超过了警告限线（WLL），就有信号表明copula发生了变化。然后，我们从WLL点设置一个新窗口，并监控统计数据的移动，直到它越过控制限线（CLL）。警告限值和控制限值分别由αw<αc的两个置信水平α和α来确定。希望通过在WLL点之后删除旧数据，加速移动窗口将比移动窗口更早地检测到变化点。这里，我们取αw=0.85作为警告限值（对于Student-t copula和具有一个参数的copula，分别为χ3,0.85=5.32和χ1,0.85=2.07）。对于CLL，我们考虑αc=0.95（Student-t copula取χ3,0.95=7.81，其他具有一个参数的copula取χ1,0.95=3.84）。

算法如下所示。算法2.5。（1） 以NMINITIAL数据为例（在示例中，我们使用Nmin=200）。（2） 根据AIC标准拟合copula模型。（3） 应用拟合优度检验并获得检验统计量。（4） 而（检验统计量<χp（p+1）/2，αw）（a）当窗口长度N小于L（此处L=500）时，i.添加D个新点（此处D=50）。二。应用拟合优度检验并获得检验统计量。（b） 否则（N=L）i.将N滚动窗口向前移动K点。二。应用拟合优度检验并获得检验统计量。（5） 当（检验统计量>χp（p+1）/2时，αw）（a）删除当前点之前的所有旧观测值，最后K点除外。（b） 使用Nminpoints设置新窗口。（c） 根据AIC标准拟合copula模型。（d） 应用拟合优度检验并获得检验统计量。（6） While（检验统计量<χp（p+1）/2，αc）（a）While（N<L）i.加D分。二。应用拟合优度检验并获得检验统计量。（b） 否则（N=L）i.将N滚动窗口向前移动K点。二。应用拟合优度检验并获得检验统计量。（7） 当（检验统计量>χp（p+1）/2时，αc）（a）除去最后K个点以外的所有变化点之前的旧观察值。（b） 使用Nminpoints设置新窗口。（c） 选择最佳copula（AIC）。（d） 应用拟合优度检验并获得检验统计量。（e） 回到步骤（4）。2.2.4自底向上方法受Fryzlewicz【14】的“尾部贪婪的自底向上分解”的启发，自底向上方法首先将整个数据分割为多个子段，长度为N*最小值（原则上，此N*为了证明公平性，Min应该与上述方法相同，而事实是这种方法的自下而上特性决定了它自己合适的大小），然后为每个子段选择最佳copula。

需要注意的是，间隔应足够小，不包含任何变化点（或至少导致检测延迟），并足够大，以确保有足够的数据来拟合copula。然后，如果满足三个条件，则合并过程逐层进行。首先，相邻的子段属于同一copula族。其次，通过组合两个子段得到的copula族保持不变。第三，合并数据的拟合优度检验的统计值应低于CLL，这表明合并数据段中没有变化点。一旦所有可能的子段都被合并，就可以找到copula的变化点。至于每个子段的最小大小，这里我们选择N*最小值=100分，如果拟合优度检验表明群体中存在变异，则得分不超过100分。我们可以使用以下算法。算法2.6。（1） 用N将整个数据划分为多个子段*每个段中的最小点。（2） 根据AIC准则，对每一段的copula进行最佳拟合。（3） 应用拟合优度检验并获得检验统计量。（4） 而（任何检验统计量>χp（p+1）/2，αc）（a）调整子段的长度。（b） 返回（2）。（5） 而（相邻子段的族相同）（a）合并相邻子段。（b） 为合并段拟合最佳copula，并获得新的copula族（AIC）。（c） 对合并段进行拟合优度检验，并获得检验统计量。（d） If（新copula族与相邻子段族一致&检验统计量<χp（p+1）/2，αc）i.保持合并。（e） 埃尔西。保留子段。图2是自底向上方法的演示。

“初始模型”中的copula成功合并，如“首次合并”中显示的高斯copula和Clayton copula，而Student-t copula未能合并，因为合并的copula是高斯copula，显示在蓝色网格中。橙色网格表示处理合并时的特殊情况。如果Student-t copula对Clayton和Student-t copula的组合有轻微影响，我们可以合并数据并表示为一个Clayton copula，以避免过度拟合。图2：自底向上方法的演示。3方法的结果比较本文根据模拟数据比较了第2.2节中介绍的方法的性能。我们比较了移动窗口和加速移动窗口，因为它们可以实时应用。二元分割和自底向上方法将形成另一对比较，因为它们只能追溯应用。然后，应用最佳执行方法对标准普尔500指数（S&P500）和纳斯达克指数（Nasdaqindices）的依赖结构进行建模。3.1模拟数据3.1.1模拟数据中的族变化为了复制结果，我们从两个具有等权重和相同参数的copula族中生成10000个随机数据，然后分别应用四种方法。图3显示了在应用加速移动窗口方法时，高斯协方差（0.5）和学生t copula（0.5，2.2）之间组合的t优度检验产生的统计数据的趋势。在5000分后有一个显著的跳跃，测试统计数据明显超过了置信水平α=95%的临界值，即3.84（χ1,0.95）。

很明显，copula家族已经发生了变化。图3：当组合为高斯copula（0.5）和Student-t copula（0.5，2.2）时，由拟合优度检验产生的统计数据的移动。表1显示了应用MovingWindow和加速移动窗口方法时copula族不同组合的结果。我们只关注高斯copula、Studentt copula和Clayton copula。括号中的数字表示copula的参数，它表示依赖性的强度，而“真实变化点”表示模拟数据中的真实变化点。“检测到的变化点”表示通过不同方法检测到的变化点，“延迟”表示“检测到的变化点”相对于“真实变化点”的相应延迟。“新copula”表示变化点之后的copula，它不同于变化点之前的copula。比较不同方法的结论总结如下：1。移动窗口和加速移动窗口都能检测copula族所有组合中的变化点。2、当组合为Clayton/Student-t、Gaussian/Clayton、Clayton/Gaussian和Student-t/Clayton时，加速移动窗口对copula变化的响应比移动窗口方法快得多。特别是对于Clayton和Gaussian copula的组合，加速移动窗口只需1.2年（299点）就能对变化做出反应，而移动窗口几乎需要19年（4739点）。虽然1.2年对于实际生活中的使用来说并不现实，但这是一个巨大的进步，在特定的应用中，参数的精确调整有可能成为一个实时警告系统。3.

加速移动窗口在高斯/Studentt和Student-t/高斯组合中表现较差，分别比移动窗口慢约一个月（19分）和3.6个月（79分）。表1：移动窗口方法和加速移动窗口方法的性能copula逼近TrueChangePointDetectedChangePointDelay新copulaGaussian（0.5）Student-t（0.5，2.2）移动窗口5001 5300 299 Student-t（0.52，2）加速移动窗口5001 5319 318 Student-t（0.47，2）Clayton（0.5）Student-t（0.5，2.2）移动窗口5001 5300 299 Student-t（0.52，2）加速移动Window5001 5180 179 Student-t（0.41，2）Gaussian（0.5）Clayton（0.5）Moving Window 5001 6620 1619 Clayton（0.43）Accelerated Moving Window5001 5799 798 Clayton（0.44）Clayton（0.5）Gaussian（0.5）Moving Window 5001 9740 4739 Gaussian（0.57）Accelerated Moving Window5001 5300 299 Gaussian（0.47）Student-t（0.5，2.2）Gaussian（0.5）Moving Window 5001 5300 299 Gaussian（0.47）Accelerated Moving Window5001 5379 3737 8个高斯（0.45）Student-t（0.5，2.2）Clayton（0.5）移动窗口5001 5300 299 Clayton（0.45）加速移动窗口5001 5259 258 Clayton（0.44）括号中的数字是copula参数。对于Student-t copula，第一个参数是相关性，第二个参数是自由度。“NA”表示未检测到变更点。表2显示了二进制分割和自底向上方法在检测copula族变化方面的性能。与二进制分割相比，自底向上方法无疑是一种出色的分割方法，因为它对族的变化非常敏感，甚至比真正的变化点更早地检测到变化点。

然而，二进制分割显示出令人失望的性能，并且无法识别copula家族变化中超过50%的变化。3.1.2模拟数据中延迟与参数变化的关系在本节中，我们采用两种方法研究延迟与参数变化的关系，即移动窗口法和加速移动窗口法。我们仍然使用seed（626），从两个copula家族生成10000个随机数据，但参数不同。图4显示了结果，我们可以从中得出几个结论。表2：二进制分割和自底向上方法的性能copula方法TrueChangePointDetectedChangePointDistance fromTrueChangePointNew copulaGaussian（0.5）Student-t（0.5，2.2）二进制分割4501 NA NABottom up 4501 4401-100 Student-t（0.46，6.53）Clayton（0.5）Student-t（0.5，2.2）二进制分割4501 5001 500 Student-t（0.49，4.67）自底向上4501 4601 100Student-t（0.53，5.01）Gaussian（0.5）Clayton（0.5）Binary Segmentation 4501 NA NABottom up 4501 4401-100 Clayton（0.62）Clayton（0.5）Gaussian（0.5）Binary Segmentation 4501 NA NABottom up 4501 4601 100 Clayton（0.54）Student-t（0.5，2.2）Gaussian（0.5）Binary Segmentation 4501 NA NABottom up 4501 4601 100 Gaussian（0.54）Student-t（0.5，2.2）Clayton（0.5）Binary Segmentation 4501 5001 500 Clayton吨（0.48）自下而上4501 4601 100克莱顿（0.61）括号中的数字是copula参数。对于Student-t copula，第一个参数是相关性，第二个参数是自由度。“NA”表示未检测到变更点。1、对于高斯copula和Student-t copula的组合，当相关性低于0.4或高于0.6时，加速移动窗口和移动窗口对变化更为敏感。

对于其他三种组合，copulaparameter的增加有助于降低延迟，但有些波动除外，这意味着这两种方法倾向于快速响应copula变化中更高的依赖性。2、对于高斯和Student-t copula以及Student-t和高斯copula的组合，当参数小于0.6时，加速移动窗口方法的性能优于移动窗口方法，而当参数大于0.6时，则表现出一定的波动。一般来说，加速移动窗口优于移动窗口。3、对于高斯copula和克莱顿copula的组合，加速移动窗口和移动窗口的结果相似。4、对于Clayton和Gaussian copula的组合，很明显，当参数小于0.5时，加速MovingWindow方法占主导地位，因为它比移动窗口方法快约4000个点，相当于大约16年。（a） （b）（c）（d）图4：延迟与参数变化的关系。3.1.3更复杂的情况基于上述结果，值得观察四种方法在更复杂情况下检测copula变化的性能。在这里，我们试图模拟一系列接近真实金融市场行为的数据。图5显示了我们的模拟数据中的真实变化和四种方法分别检测到的copula变化。“真实模型”包含9100对数据，由高斯、Student-t和Clayton copula组成。结论如下。1、自底向上方法是性能最好的方法，因为它能够检测到所有copulachanges，与实际变化点的偏差很小。然而，这种方法存在着无法实时应用的缺点。二值分割性能良好，可以检测到所有copula族，但似乎不准确。

它也不能实时实现。3、加速移动窗口和移动窗口均未能检测到850点和2150点之间的Clayton copulachange。对于除Clayton copula（在点6180和8040之间）以外的所有copula族，加速移动窗口对变化的响应速度都快于移动窗口，但仍然不如自底向上方法准确。图5：在复杂模拟中检测copula变化的四种方法的性能。经过一系列比较，自下而上的方法似乎是最准确的方法。加速移动窗口的性能明显优于移动窗口，并且在大多数情况下能够加速变化点的检测，但仍比自底向上方法的性能差。因此，自下而上法是标准普尔500指数（S&P500）和纳斯达克指数评估有效性的首选方法。3.2《金融时报》系列为了研究标准普尔500指数（S&P500）和纳斯达克指数的相关性在长期内是如何变化的，我们选择了2005年1月4日至2015年12月31日的数据，其中包含2768个每日观察值。图6显示了两个指数的日志返回，从中我们可以看到，这些日志返回的时间序列彼此相似，并且几乎朝着相同的方向移动。这表明，两项资产的峰值同时出现，特别是在2008年金融危机期间。图6：标准普尔500指数和纳斯达克指数的对数回报率。3.2.1边际模型考虑真实金融市场的“程式化事实”，如波动性和对称性的变化。我们将具有正态创新的GARCH（2,1）模型拟合到每个对数回报。这里，ri，t（i=1，2）分别代表标准普尔500指数和纳斯达克指数的每日对数回报。