退休时破产概率最小化

定义：·t=时间点（t=0，1，…，TD），当退休时间从t=0开始时，TD=死亡前最后一次提款的时间（可以是固定的或随机的）·TD-k=提款前的k个时间点（在t=TD-k时仍有k个提款）·破产（t）=破产事件在t时发生·破产c（t）=破产事件在t时未发生·$A=退休账户在t=0·α时的价值=退休账户在股票中的比例（0≤ α ≤ 1） ·（1-α）=退休账户在债券中的比例·WR=每个时间点根据通货膨胀调整的初始提款率·It=t-1和t·R之间的通货膨胀率（t，α）=在t-1和t·R（t，α）之间具有100*α%股票和*（1-α）%债券的退休账户的总回报率（RoR）·It，R（t，α）=退休账户的通货膨胀调整后RoR，在t-1和t之间有100*α%的股票和100*（1-α）%的债券，并且R（t，α）·ER=金融机构每t次收取的费用比率（固定或α*ER（s）+（1-α）*ER（b），其中ER（s），ER（b）是股票和债券费用比率）·（t，α）=（1-ER）*（1+R（t，α）|It，R（t，α））通货膨胀/费用调整后的复合收益率，在时间t-1和t之间有100*（1-α）%的股票和100*（1-α）%的债券。数量It、R（t，α）、R（t，α）| It、R（t，α）和（t，α）是连续的RVs，而t可以是固定的或（离散的）随机的。WRI以美元为基础，经通胀调整后，在时间t提取。基于α的投资组合在t时的实际RoR是r（t，α）| It，r（t，α），它是在观察到r（t，α）和tar之后计算的，因此它是有条件定义的。数量（t，α）反映了时间t时基于α的投资组合的通货膨胀/费用调整复合回报。RV（t，α）依赖于5个数量：t，It，R（t，α），α，ER，其中t，α和ERare是确定性的，It，R（t，α）是随机的。

时间t-1的实际余额乘以（t，α）就是时间t的实际余额。最后，破产（t）和破产c（t）是以一定概率发生的随机事件。当账户余额无法维持t时的提款时，就会发生事件破产（t）。它只能发生一次。当表示P（破产（t））时，我们假设t之前没有破产。例如，t=3时的破产概率是P（破产（3）|破产c（1）∩ RUNC（2））。条件分量可以表示为P（runc（1）∩ RuinC（2））=P（RuinC（1））*P（RuinC（2）| RuinC（1））。破产概率（3）表示为：P破坏3.|破坏1.∩破坏2. ∩∩*破产概率P（破产）随时间而变化。如果退休人员使用固定的基于WRownsanα的投资组合，其实际账户余额在t=0和t=1之间翻倍，那么t=1时存在与t=0时截然不同的P（破产）。我们假设退休人员的目标是（1）最小化P（破产），而不是建立财富，给定WR。因此，破产概率会很快消失，退休人员应该定期重新评估破产概率。B、 退休顺序我们假设退休人员开始时间t=0，账户余额为$A。提取率基于$A，并根据每个时间点的通货膨胀进行调整。在时间t=1时，退休人员尝试从具有一个时间点的compoundedreturns的账户中首次提取（$A）*（WR）*（1+I）。如果账户无法维持提款，则发生破产（1），否则发生破产（1）。提款前账户余额为（$A）*（1+R（1，α））*（1-ER），其中R（1，α）是t=0和t=1之间投资组合的总RoR。

在最优策略下，假设破产C（1），退休人员应在未来任何时间点（t=2，3，…，TD）重新评估P（破产），并以最佳方式重新分配投资组合的资产。此场景假设在时间t=0时未进行提取。我们将该模型建立在这一假设的基础上，并将其称为标准形式。在标准形式中，第一次资产配置决策发生在时间t=0，第一次提款发生在时间t=1。如果退休人员表现不同，他们将在应用模型之前转换为标准形式。例如，时间t=0的退休人员的余额为B美元，需要在时间t=0和t=1之间提供资金，可以通过使用时间t=0的提取率W=WR/（1+WR）转换为标准形式。时间t=0的提取是（W）*（$B），剩余余额是a=B*（1-W）。然后使用$A和WR应用standardform模型。请注意，此转换保留了退休人员从时间t=0到时间t=1的激励能力，因为（W）*（$B）*（1+I）=（WR）*（$A）*（1+I）。C、 破产系数现在定义了一个数量，它包含了评估P（破产）所需的大量信息。退休人员应在每个时间点对其进行更新，并可采取行动，因为它有助于揭示精确的资产配置，从而将退休剩余时间的P（破产）降至最低。Letr（t，α）表示r（t，α）| It，r（t，α）。对于t=0，将破产系数RF（t）定义为wr；对于t=1，2，…，TD，将破产系数RF（t）=RF（t-1）/[（1+r（t，α））（1-ER）–RF（t-1）]=RF（t-1）/[（t，α）–RF（t-1）]。（2b）（2a）如果在时间t之前没有破产，我们证明事件破产（t）发生为：破产（t）|破产c（1）∩ … ∩ RUNC（t-1）<->  （1+r（t，α））*（1-ER）≤  RF（t-1）<->  （t，α）≤  RF（t-1）（见附录B.）在t=t-1时，RF（t-1）已知，破产（t）发生在If（t，α）时≤ RF（t-1）。假设已知或估计了（t，α）的CDF，则可以计算RF（t-1），并在t=t-1时计算各个α的P（破产（t））。

如果（t，α）是适当的返回值，则可以使用任何时间单位定义RF（t）。注意，RF（t）为正，直到破产发生（如果发生）时变为负（或∞).  要看到这个注释，在任何时间t，RuinC（t）发生<->:（t，α）>RF（t-1）该条件规定，即将到来的时间点的返回（t，α）必须超过RF（t-1）以避免出现。如果无法保持，则（t，α）≤ RF（t-1）和RF（t）为负（当（t，α）<RF（t-1））或未定义（当（t，α）=RF（t-1））。如果RF（t）在两个时间点之间下降，退休人员已经改善了他们在破产方面的地位，反之亦然。当分母超过1时，即（t，α）>1+RF（t-1），RF（t）下降。如果退休人员产生的回报（r（t，α）-ER-r（t，α）*ER）精确等于WR=RF（0），那么RF（t）是常数，并且随着时间的推移等于WR。如果发生RUNC（t），则t时的实际账户余额为（$A）*RF（0）/RF（t）。（见附录A。）这表明RF（t）的倒数等于t时刻剩余的实际取款次数。在t时刻，RF（t）是计算出来的，并且是已知的。未来破产因素是未知的，因为它们是未观察到的市场回报的函数，因此它们是RVs。退休开始时，RF（0）=WRI是唯一已知的破产因素。退休人员通过选择α对未来的RF（t）值进行一些控制，因为RF（t）=RF（t-1）/[（t，α）–RF（t-1）]。如果在t-1和t之间使用低α投资组合，退休人员对（t，α）更有信心，从而对RF（t）更有信心。相反，如果使用高α投资组合，则（t，α）具有更大的不确定性，RF（t）也具有更大的不确定性。D、 两名退休人员面临不同SORS的示例考虑了两名退休人员的再平衡α=0.5投资组合。让时间单位为年，TD=30。两者的开始时间t=0，账户余额为$A，使用WR=4%，ER=0.5%。为了避免这种情况，退休人员在提取TD=30的时间后，账户余额必须大于0美元。

在每年开始时（4）（3a）（3b）（t≥ 1） 计算RF（t）并进行所需提取。图1追踪了两位退休人员在退休期限内的RF（t）（直线平滑），并表明退休人员1在资金不足以提取时间t=20时经历了事件破产（20）。退休人员2没有经历过破产事件，30次成功的提款用于支付。请注意，在第10年，退休人员1的财务状况要好于退休人员2（RF（10）为0.067 vs 0.077）。需要考虑的一个问题是：α=0.5的投资组合是否适用于退休人员1在递减期间的所有时间点？图1两名退休人员的破产路径该图详细说明了退休人员在减记期间可能经历的破产路径，并显示了破产因子RF（t）是如何随时间跟踪的。我们从（3b）中知道，对于给定的α，P（破产（t））是RF（t-1）的递增函数。对于固定的t，较大的RF（t）对应较高的P（破产（>t））。退休人员1表示，一旦RF（t）开始抛物线上升，就很难恢复。RF（t）的初始值为RF（0）=WRand，我们试图随着时间的推移将其抑制。如果发生破产，则RF（t）变为负值或∞ （未显示）。E、 金融破产事件我们将破产（t）定义为时间t的金融破产事件(≤ t） 表示在时间t或之前发生的财务破产事件，让破产（>t）表示在时间t之后发生的财务破产事件，t=1，2，…，TD。（见图2。）图2Venn破产事件图该图将金融破产表示为一个事件，并展示了不同时间点破产事件之间的关系。例如，如果发生破产（1），则破产(≤ 2） 破产后发生（1） 毁灭(≤ 2).然而，毁灭(≤ 2） 可以在不发生破产（1）的情况下发生。请注意，椭圆形的一个环代表了在该时间点发生的破产事件。

在即将到来的归纳过程中，当我们面对有限的样本空间时，这种视觉帮助我们制定概率陈述和假设。因此，毁灭（t）≡     毁灭(≤ t）∩  瑞尼克(≤ t-1），表示图2中的一个椭圆环。注意，P（破产）可以表示为：P（破产（>0））=1–P（破产C(≤ TD））=1–P（Runc（1）∩ RUNC（2）∩ … ∩ RuinC（TD））=1–P（RuinC（1））*P（RuinC（2）∩ … ∩ RuinC（TD）| RuinC（1）），其中，对于任何事件A、B和C，最后一个表达式保持为：P（A∩ B∩ C） =P（A）*P（B∩ C | A）。退休人员的目标是最小化P（破产）=P（破产(≤ TD））=P（破产（>0）），给定WR。如前所述，关于P（破产）真正价值的争论尚未解决。此外，preferredglide路径存在许多分歧。对于退休人员来说，了解每次t时每个可能的WRat的精确最优（最小）P（破产）以及（5）（6c）（7）（6b）（6a）实现该最优所需的α是有帮助的。退休人员将从一个路线图中受益，该路线图告诉他们他们的RP（破产）是如何随时间变化的，以及保持最佳状态所需的行动。最终，这样的aroadmap应该在时间t=0时可用，指导退休人员进行推算。F、 在下一个时间点最小化P（破产）退休人员的目标是在递减期间最小化P（破产），每个时间点的α选择必须考虑剩余的时间范围。一个相关的子问题是在下一个时间点t最小化p（破产）≤ TD（固定）。假设在t-1时提取，并且计算出的RF（t-1）>0。通过检查所有（t，α）PDF的尾部，找到使P（破产（t））最小化的α，其中破产（t）<-> （t，α）≤ RF（t-1）。

图3显示了此类PDF的集合。图3各种资产分配的一般性（t，α）PDF（α）该图展示了我们如何评估PDF集合，并选择一个最小化P（破产（t））的PDF，回顾破产（t）<-> （t，α）≤ RF（t-1）。随着α的增加，（t，α）的PDF向右移动，方差增加，导致分布更短、更广。注意，P（破产（t））=F（t，α）（RF（t-1）），其中Fx（·）表示RV x的CDF。因此，破产概率是PDF（t，α）下的左尾区域。在图3中，具有低峰值和厚尾的密度可能代表α=1的投资组合，具有高峰值和最小方差的密度可能代表Markowitz（1952）描述的最小波动性投资组合。给定RuinC（t-1），通过选择RF（t-1）左侧尾部面积最小的PDF，可以确定使P（RuinC（t））最小的α。该尾部区域由F（t，α）（RF（t-1））定义，其中Fx（x）=P（x≤ x） 表示RV x.G的CDF。在固定TDP的任何时间点最小化P（破产）为了在递减过程中的任何时间最小化P（破产），我们使用反向归纳法。诱导过程从时间t=tD开始，每个步骤的展开方式类似于使用（6）中的表达式。也就是说，我们假设退休人员到达该时间点，并成功地完成了他们的IRWithDrawal，然后重新计算RF（t），该RF（t）自Runc（t）发生以来大于0。在t=0时，过程结束，并显示所有WR的精确最优（最小）P（破产），以及在整个下降过程中保持最优所需的动态资产配置。

Let，V（t，RF（t））=时间t后的最优（最小）破产概率给定RF（t）>0α（t，RF（t））=实现V（t，RF（t））所需的α值。就破产事件而言，价值函数V（t，RF（t））使用（6c）定义为：V（t，RF（t））=最小（α）P（破产（>t））=最小（α）P（破产（t+1）∪破产（t+2）∪… ∪破产（TD））=Min（α）1-P（破产（t+1）*P（破产（t+2）∩ … ∩ RuinC（TD）| RuinC（t+1）），我们假设基于α的投资组合在不同时间点的回报是独立的，这与有效市场理论一致。也就是说，过去收益模式中包含的任何预测能力都被视为已经被考虑在内，从而使其对退休投资者毫无价值。G、 1固定时间的入职流程假设退休人员在t=t时到达并最终退出。受限样本空间S={RuinC(≤ TD）}包括单个事件。无需计算RF（TD）（>0），因为未来无取款。t=TD，P（破产（>TD））=0，V（TD，RF（TD））=0，RF（TD）>0用作边界条件（B.C.）。在任何其他时间点t，假设退休人员进行了他们的收入提取，并根据刚刚观察到的回报，更新了RF（t）（>0），（t，α）。退休人员面临严格的样本空间S={破产（t+1），破产（t+2），…，破产（TD），破产C(≤ TD）}并寻求αtomimize P（破产（>t））。

使用（8c），这相当于：（见附录C）（8a）（8c）（8b）V（t，RF（t））=分钟1-（1–F（t+1，α）（RF（t）））*（1–E（t+1，α）+五、t型1.,)用于：0≤  t型≤  TD-1，RF（t）>0，V（TD，RF（TD））=0。最优性在α（t，RF（t））处实现，期望值为wrt（t+1，α）+=（t+1，α）|（t+1，α）>RF（t）。假设f（t+1，α））是（t+1，α）的PDF，而RF（t）是已知的，则（t+1，α）+的PDF为：（t+1，α）+=（t+1，α）（t+1，α）>RF（t））~,,,, 对于,射频t型0，O.W.（9）平衡中α的选择在下一个时间点和下一个时间点之后最小化P（破产）。在退休早期选择低波动性投资组合以避免在下一个时间点破产是有代价的，因为该投资组合会导致更高的预期破产因子，从而在下一个时间点后增加P（破产）。在α（t，RF（t））处进行平衡。H、 在任意时间点最小化随机TDP（破产）对于随机TD，选择P（TD>SMax）=0的SMax，并构建离散时间危险概率P（TD=t | TD≥ t） 对于t=0，1，2，…，SMax。感应开始于t=Smax，但现在必须认识到，任何时间t都可能代表TD。随机TDvalue函数定义为：VR（t，RF（t））=时间t后的最优（最小）破产概率给定RF（t）>0αR（t，RF（t））=实现VR（t，RF（t））所需的α值。给定TD≥ t、 如果在时间t退出成功，则发生RUNCC（t），并且RUNCC(≤ SMax）如果退出是最后一次尝试，则占用时间t。第二节中提出的子问题必须改变以反映这一点。我们假设TDand（t，α）是独立的RVs t=1，…，SMax。H、 1随机TDT的入职流程假设退休人员在t=Smax时到达并退出。无需计算RF（SMax）（>0），因为不再有取款和破产(≤ SMax）已发生。Att=SMax，P（破产（>SMax））=0和a B.C。

VR（SMax，RF（SMax））=0，RF（SMax）>0。对于任何其他时间t，假设退休人员到达该时间点，退出并更新RF（t）>0。（9） （10）值函数VR（t，RF（t））定义为：VR（t，RF（t））=最小（α）P（破产（>t））=最小（α）1-P（破产c（t+1）∩ P（Runc（t+2）∩ … ∩ Runc（SMax））=最小（α）P（TD>t | TD≥ t） *[1-{P（（t+1，α）>RF（t））*P（runc（t+2））∩ … ∩ Runc（SMax）（t+1，α）>RF（t））}]我们在附录D中表明，该最小化超过（0≤ α ≤ 1） 等于：VR（t，RF（t））=最小值P（TD>t | TD≥ t） *{1-（1–F（t+1，α）（RF（t）））*（1–E（t+1，α）+五、t型1.,)}用于：0≤  t型≤  SMax-1，RF（t）>0，VR（SMax，RF（SMax））=0。最优性在αR（t，RF（t））处实现，期望值超过条件RV（t+1，α）+。（12）中的VR（·）与（9）中的V（·）相似，除了因子P（TD>t | TD≥ t） ，当TDI是随机的时，它会从上面包围SP（破产）。这是很直观的，因为在未来的任何时间点，P（破产）都不能超过试图再次退出的概率。我们看到，（9）中的固定TDmodel是（12）的特例，其中P（TD=SMax）=1或P（TD>t | TD≥ t） =1，t=0,1，…，SMax-1和P（TD>SMax | TD≥ SMax）=0。V（t，RF（t））和VR（t，RF（t））表示动态程序（DPs）的值函数，其中V（0，RF（0））和VR（0，RF（0））是给定RF（0）=WR的任何时间点的最优（最小）P（破产）。时间t被视为DP的阶段，而RF（t）被视为状态。因为解找到了最小P（破产） （t，RF（t））这也是一个路线图，可以在一段时间内保持最佳状态。V（·）和VR（·）都是精确的，不是模拟的，也是最优的，这意味着在任何其他策略下，使用WR=RF（0）和相同的股票/债券，都不可能实现较低的P（破产）。我们面临的挑战是在每个t上解决所有RF（t）>0的DPs。V（·）和VR（·）的性质将取决于对通货膨胀/费用调整回报的分配假设。