Varian高微 第3章 课后题3.1

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如题，一个竞争性的利润最大化厂商有利润函数Pi(w1,w2)=f1(w1)+f2(w2)。产出价格规范化为1。
如果Xi(w1,w2)是对要素i的要素需求函数，dXi/dWj的符号是什么？答案给出为0。
令g(X1,X2)为生产函数，如何判断该生产函数的形式？解释也没有看明白。烦请教高人帮忙解释一下，谢谢！

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关键词：varian VaR 课后题 要素需求函数 利润最大化 如何

要去把书找出来再仔细看看才好解答……

第二问用霍太林引理
设利润函数为：π(p,w)
则供给函数y(p,w)=dπ/dp
要素需求函数：xi(p,w)=dπ/dwi
那么：x1(p,w1,w2)=dπ/dw1=f1'(w1)
所以dx1/dw2=0

第三问，我们可以从求解利润函数的过程来看，g=g(x1,x2)是生产函数，记号g1=dg/dx1,一方面g1是g关于x1的偏导数，另一方面是要素x1的边际产出；
利润函数实际上是下列数学规划的结果
max：pg-Σwi*xi （p=1）
s.t. g≥q

L=g-Σwi*xi+λ(g-q)
dL/dx1=g1-w1+λg1=0（1）
dL/dx2=g2-w2+λg2=0（2）
dL/dλ=g-q=0
根据（1）（2）可以得到：gi=wi/(1+λ)=h(wi),i=1，2；这说明，要素xi的边际产出仅仅和它的价格wi有关；另一方面也说明了生产函数g关于xi的偏导数仅仅是要素价格wi的函数。
那么，g(x1,x2)一定是这样的形式：g(x1,x2)=[w1/(1+λ)]x1+[w2/(1+λ)]x2+C=Z1(x1)+Z2(X2).

事实上，对g求关于xi的偏导数，得到仅仅是常数（要素价格），那么原函数一定关于xi的线性形式，从(1)中，g1=w1/(1+λ)，那么可以知道原函数中一定有[w1/(1+λ)]*x1,这一项，剩下的均为不含x1的常数项（可以是数，可以是x2的多项式）；同样地，从(2)也可以得到同样的结论；所以生产函数就一定是如下的形式：
g(x1,x2)=[w1/(1+λ)]x1+[w2/(1+λ)]x2+C，该函数的特征是没有x1，x2的交叉项，所以可以成可利润函数一样的形式：g(x1,x2)=z1(x1)+z2(x2)的形式。
其中：zi(xi)=[wi/(1+λ)]*xi+Ci,i=1,2; C1+C2=C.