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微分方程的几个简单基本解法
于德浩 2024.7.8
微分方程的第一个基本解法，就是直接积分法。 即，y’=dy/dx=f(x)，则y=∫fdx。
例题① y’=e^x 。 则y=∫e^x*dx=e^x+c1。其中c1是任意常数。在实际应用中，是物理初始条件的待定参数。我们可以代回去反向验证，(e^x+C1)’=e^x+0。符合题意。
例题② y’’=y ’。 我们先移项，y’’/y’=1 。看方程左边，逆向求导法，这正是lny’的导数；方程右边是x+c1的导数。所以，lny’=x+c1，y’=e^(x+c1)；再积分，y=e^(x+c1)+c2 。
微分方程的第二种解法是分离变量法，使得方程两边可独立积分。
例题③ y’=y 。 dy/dx=y，移项得，dy/y=dx，方程两边积分，lny+c1=x+c2，从而，y=e^(x+c2-c1)，即y=c3*e^x。 一般熟练之后，方程左边的任意常数c1可略掉。
在分离变量后，一边是对y积分，一边是对x积分。为什么还会相等呢？这有两种理解方式，一是我们看逆向求导，就是说lny的导数是1/y*dy/dx，x的导数是1；所以可得1/y*dy=1*dx。我们再默认这是互逆过程。另一种理解就是，物理积分空间总是同一个，只是用不同的参照系表示，用y变量或用x变量，本质都是一样的。比方说，二重积分∫∫dx*dy是一个微观面积元，这是平面直角坐标系；倘若用极坐标系，就是∫∫r*dr*dθ表示面积元。所以，这两个积分本质是相同的，即∫∫dx*dy=∫∫r*dr*dθ，而且还有对应关系，r^2=x^2+y^2。
微分方程的第三种解法是，降阶法。我们把二阶导数先降为一阶导数，才能求解。
例题④ y’’=y’ 。 令p=y’，那么p’=p， 即dp/dx=p，dp/p=dx，lnp=x+c1，p=e^(x+c1)。即dy/dx=c1*e^x，从而y=c1*e^x+c2。 二阶导数，一般就会有两个待定参数。可代回验证。
微分方程的第四种解法，化简为等效形式。 一般用于猜想方程的特解。在实际物理应用中，一般都是“有解且唯一”。大道至简，我们可以去猜想等效物理过程，某个常用的特殊函数曲线。
例题⑤ y’’=y。 这个微分方程很简洁，但是，前面的三种方法都解不了。我们设想，倘若y’’=y’，那么就能有y’=y，这个方程好解。而且这个过程还是可逆的，即若y=y’，就能有y’=y’’，从而y=y’’。也就是，y=c1*e^x也是这个方程的一个解。不过，y’’应该有两个待定参数。我们把x坐标平移一下，y=c1*e^(x+c2)，这应该是通解了。
倘若，我们令y’’=3y’,y’=1/3*y，似乎也能推导出y’’=y。 可是，前面两个约束条件方程就互相矛盾了，因为y’=1/3*y，两边求导就是，y’’=1/3*y’，这与y’’=3y’自相矛盾。所以，等效路径，中间桥梁，也不是随意就能选对的。
微分方程与其解是一一对应的，函数曲线形状是相同的，只是待定参数不同。可以再上推一步，到拉格朗日方程的极值条件，偏微分方程。这是逆向过程，从数学方程去推导（赋予）物理意义。这当然更难。一般正向过程是，先根据物理意义列数学方程，再解方程。
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