在σ代数、代数、σ环、环和单调类的基础上建立测度的讨论

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　　我们都知道，在数学分析中，极限运算和导数等运算必须至少建立在实数集上而不能建立在有理数集上，这是因为实数具有完备性而有理数不具有完备性。这里完备性即是指实数对于极限运算封闭，或者说实数列的极限仍然是实数，但是有理数不具完备性，即是说，有理数列的极限不一定是有理数。把这个道理运用到测度上，我们就非常清楚为什么测度必须建立在具有良好运算性质（主要是可数交并运算与极限运算）的σ代数上了。
　　要理解测度，首先得理解什么是集函数。集函数是一种映射或函数，即定义域是集合的集合，或集合E的幂集的一个子集，而集函数的靶集合则通常是数集。一般的集函数其实没有什么大的用途，而类似长度、面积、体积等推广的勒贝格测度和概率测度才是最常用而且也是最有用的集函数。
　　再说测度，测度是一种集函数，测度与一般的集映射相比，其特殊之处主要在于：（1）其靶集合通常是非负实数集，原因在于测度只是长度、面积等具体测度的推广，而这些测度都是非负实数。测度必须具有非负性，当然空集的测度应该定为0。（2）测度还必须满足可加性，可加性分成有限可加性与可数可加性。当然，目前好像还没有看到把测度本身当成被积函数的情况，也就是说，暂不必去考虑不可数可加性了；不可数个集合可以作并集交集运算，但是不可数个集合的测度相加，除了积分有点像之外，也很难理解。因此，就目前的实分析理论而言，其核心是考虑可数可加性，因为可数可加性满足的话，有限可加性自然满足了。（3）连续性，即集列的极限的测度等于集列的测度的极限。
　　要对测度的可加性和极限进行操作，显然首先要求两点，一是自变量即集合本身之间要能够在可数可加上封闭和在极限运算下封闭，于是这就产生了集合代数上的σ代数和单调类的概念。一个集合E的σ代数F是E的幂集的一些子集，要求满足，（1）全集E属于F（2）任给F的两个元素，其差属于F（3）任给F的可数个元素，其可数并（或可数交，可只规定一个，另一个可由对偶定理推出来）也属于F。这第（3）项最为关键，就是要求F的元素在可数并运算下封闭，因为测度要求可数可加性。如果自变量不满足可数可加性，那测度函数怎么可能言可数可加性呢？
　　一个集合E上的单调类G是E的幂集的一个子集，要求满足（1）G中单调递减集列的极限仍然属于G（2）G中单调递增集列的极限仍然属于G。集列的极限，类似于数列极限；集列的上极限类似于数列上极限，集列的下极限类似于数列的下极限。
　　σ代数当然也是单调类，至于上面五种集族概念之间的关系，一般实分析书上都有叙述，其中最重要的关系是，如果一个集族既是单调类，又是代数，那么它就是σ代数。
　　σ代数对于可数个集合的并交都封闭，对于集列的极限运算封闭，这成为测度的可数可加性运算和测度的极限运算和测度连续性的基础。它相当于普通数学分析中，要求实数对于极限运算具有封闭性一样，因此我们可以类比地说，有理数不具有完备性，类似于作为集族的代数和环不具有可数可加性和不具有极限运算封闭性，因此集族中的可数可加性与极限运算封闭性就是一种集族的完备性。同时，有理数的一切极限运算的结果构成实数，或者说实数是有理数的闭包；那么我们同样可以说，σ代数是代数和环的闭包，代数和环在可数并与可数交和极限运算的一切结果构成了σ代数，即代数和环所张成的σ代数。这类似于说，有理数的一切极限运算所张成的数集是实数集。
　　数学上经常使用“张成空间”的概念，一组向量可以张成或生成一个向量子空间。向量子空间是一个完备的空间，其对数乘和加法完全封闭。完备性总是与一种运算的封闭性相对应。实数的完备性与实数的极限运算封闭性相对应，向量子空间的完备性与数乘和向量加法的封闭性相对应。
　　当然，我们都知道一个结果，那就是在实数的勒贝格测度上，存在不可测实数集合，也就是说有些集合不能加入进来成为满足测度可数可加性的σ代数的成员。也就是说，对于一个集合E，通常情况下，其所有子集构成σ代数，而且E的幂集存在着许多子集可以构成一个σ代数，但是只有极数σ代数上可以建立测度函数。可见测度建立的困难。为什么测度建立如此困难，因为测度要求可数可加性，即要求其不同的自变量（E的子集合）的函数值之间必须满足一些关系条件即可数可加性，这就使得并非所有E上的σ代数（集族）上都能建立起测度函数。E的幂集减去能够建立测度函数的σ代数的差集即是该测度上的不可测集。
　　不可测集的概念确实具有很大的哲学意义。它告诉我们，很多问题的测度其实都是在一个事物的部分上进行的规定，很难遍及所有部分。直到如此，福利经济学和伦理学家们还在为道德终极标准而争论，伦理相对主义、道德怀疑论、文化多元主义等理论形态还遍布全球知识界。这类似于，人们不可能找到一个遍及所有无穷子集的测度函数（对于有穷集合，很自然地存在遍及所有子集的测度函数，这是看到后面回答之后修改的）。

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关键词：福利经济学 数学分析 福利经济 哲学意义 单调递增 定义域 有理数 极限 数学

很好啊，现在正学着测度论。

写得相当好！！

人们不可能找到一个遍及所有子集的测度函数

不见得吧，A={a，b，...，z}，A的幂集上可以定义计数测度

正在重学测度论，还远远达不到楼主的认识深度。

写得相当好！！
人们不可能找到一个遍及所有子集的测度函数
不见得吧，A={a，b，...，z}，A的幂集上可以定义计数测度
楼主应该说的是在实数集上一定存在不可测集，如果它满足测度的几条基本性质的话，在Royden的《实分析和概率论》有一节专门讨论过.

xuruilong100 发表于 2011-11-15 22:37
写得相当好！！

不见得吧，A={a，b，...，z}，A的幂集上可以定义计数测度

　　对于有限集合上的测度当然可以穷尽任何子集，这确实没有任何问题。我前面的表述确实不精确，谢谢提醒。我的意思是要说的是无穷集合上的勒贝格测度等常见测度不可能穷尽所有子集。这是实分析中的一个定理。

我吹毛求疵了，学数学的职业病，对反例和逻辑瑕疵比较敏感

测度论的好文章

正在学测度论，看见楼主写的，很有启发！

"目前好像还没有看到把测度本身当成被积函数的情况，也就是说，暂不必去考虑不可数可加性了"
这话不对的,例：随机过程中的chapman-Kolmogolov方程