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雷达卡
多重协整涉及这样一种情况：一个I(1)变量和两个I(2)变量的一个线性组合是零阶单整的。例如，假设X1t和X2t是，zt是I(1)变量。X1t和X2t的线性组合可能是I(1)变量，并且这个组合与zt是协整的。因此，可能存在形式为
X1t=β2X2t+γ1 zt
的长期均衡关系。
然而，平稳关系
X1t=β2X2t+γ1ΔX2t+α1 zt
给出了更为丰富的可能性。
这个表达式考虑了这样一种可能性，线性组合X1t—β2X2t是I(1)变量，并且与系统中另外的解释变量ΔX2t和zt 是协整的。为了确信我们明白了这个问题，请问，如果是可能的，则将会怎么样？回答是明确的，即不可能。如果β2=0，则I(2)变量 X1t通过自身与 I(1)不可能是协整的。
特别地，使用两步法检测多重协整是可行的。首先，在I(2)变量中寻找协整关系，然后，用这个关系检测与其余I(1)变量可能存在的协整关系。Engsted，Gonzalo和Haldrup（1997）指出，仅仅在第一步的协整向量已知时，这种方法才有效。否则，第2布和第1步产生的残差是混在一起的。在第一步的最一般形式中，我们可以估计方程
X1t=a0+a1t+a2t2+β2X2t+β3X3t +γ1ΔX2t+γ2ΔX3t +α1 zt+ et (6.40)
其中，X1t 、X2t 和X3t 是I(2)变量，zt是I(1)变量，并且确定性回归变量可包含二次时间趋势。
因此，在这个检验中，允许我们在回归方程中最多放入两个I（2）变量和不受限制数目的I(1)变量。如果Δ2X1t 带有漂移，则应该包含二次时间趋势。有哪位关键的问题是序列{et}的平稳性，所以，估计的方程为
其中，{et}是来自式（6.40）的回归残差。
如果能拒绝零假设ρ=0，则能断定存在多重协整。除了样本大小，零假设ρ=0的t统计量的临界值还依赖于I（2）回归变量的数目（m2=1或2），I（1）回归变量的数目（m1=0到4）以及确定性回归变量的形式。其临界值由最后的表D所示。
考察Haldrup（1994）估计的英国的货币需求函数，数据区间为1963：Q1到1989：Q2。
mt=a0+0.68pt+1.57yt-2.67rt-2.55Δpt (6.41)
与 mt=a0+a1t+0.89pt+2.39yt-2.69rt-3.25Δpt (6.42)
准备考察的变量为mt（以M1衡量）与pt（隐含的价格水平），它们都是I(2)变量，还有yt（最终总支出）和rt（由利率差度量），它们都是I(1)变量。在货币需求函数中，需要唯一说明的变量是Δpt的存在。这个想法是考虑到了货币需求依赖于通货膨胀率（即物价水平对数值的变化），这是因为高通货膨胀将导致持有货币余额的欲望。因为总共有105个观测值，1个I(2)回归变量，3个I(1)回归变量，在5%的显著水平上，没有线性趋势和有线性趋势的临界值分别为-4.56和-4.91。利用式（6.41）和（6.42）给出的货币需求函数的残差，Haldrup发现零假设ρ=0的t统计量分别为-2.35和-2.66。因此，可能得出结论，这两个回归方程是伪回归，即不可能拒绝没有多重协整的零假设。
即使多重协整不成立，Haldrup继续通过各种不同的误差修正机制的评估方法进行尝试。一个有意义的模型（括号内的值为标准差）是
（0.02）
其中，平稳回归变量既可以包含Δ2mt的滞后值，也可以包含Δ2pt、Δyt、Δpt和Δrt的滞后值。点估计预期为Δ2mt，将减少以响应相对于长期均衡关系的正离差。t统计量为-0.04/0.02= -2,表明在5%的显著水平上恰好显著。
多重协整.doc
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