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分享级数求和——近似的无穷级数(苏剑林): hylpy1 2017-2-23 14:57; 级数求和——近似的无穷级数(苏剑林) https://spaces.ac.cn/archives/922/ 级数是数学的一门很具有实用性的分支，而级数求和则是级数研究中的核心内容之一。很多问题都可以表示成一个级数的和或积，也就是$\sum_{i=1}^n f(i)$或者是$\prod_{i=1}^n f(i)$类型的运算。其中，$ln(\prod_{i=1}^n f(i))=\sum_{i=1}^n ln(f(i))=k$，因此$\prod_{i=1}^n f(i)=e^k$，也就是说，级数求积也可以变为级数求和来计算，换言之我们可以把精力放到级数求和上去。为了解决一般的级数求和问题，我们考虑以下方程的解： $f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)$————(1) 其中g(x)是已知的以x为变量的函数式，$\epsilon $是常数，初始条件是$f(k)=b$，要求f(x)的表达式。把$f(x+\epsilon )$用泰勒级数展开，得到 $f(x+\epsilon )=f(x)+f'(x)\epsilon +1/2 f''(x)\epsilon^2+1/6 f'''(x)\epsilon^3+...$ 代入原方程后得到 $f'(x)\epsilon +1/2 f''(x)\epsilon^2+1/6 f'''(x)\epsilon^3+...=g(x)$————(2) 逐项积分得 $f(x)\epsilon +1/2 f'(x)\epsilon^2+1/6 f''(x)\epsilon^3+1/24 f'''(x)\epsilon^4+...=\int g(x)dx$ 整理得到 $f(x)\epsilon =\int g(x)dx-(1/2 f'(x)\epsilon^2+1/6 f''(x)\epsilon^3+1/24 f'''(x)\epsilon^4+...)$————(3) 将(1)各项微分，得到 $f'(x+\epsilon)-f'(x)=g'(x)$————(4) 由公式(2)可以得到 $f'(x)\epsilon =\int g'(x)dx-(1/2 f''(x)\epsilon^2+1/6 f'''(x)\epsilon^3+1/24 f^{(4)}(x)\epsilon^4+...)$————(5) 将(5)代入(3)得到 $f(x)\epsilon = \int g(x)dx-{1/2 \epsilon^2$ $+1/6 f''(x)\epsilon^3+1/24 f'''(x)\epsilon^4+..}$ $= \int g(x)dx-1/2 g(x)+\sum_{i=2}^{\infty}(1/2*1/{i!}\epsilon^{i+2}-1/{(i+1)!}\epsilon^{i+1}) f^{(i)}(x)$————(6) 上面的推算会给我们一些启示：我们可以发现，方程 $f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)$ 的解可以表示为级数 $\epsilon f(x)=C+a_0\int g(x)dx+a_1 g(x)+a_2 g'(x)+a_3 g''(x)...$————(7) 其中C和a都是只和$\epsilon$有关的常数。将这个解代入(2)后得到 $a_0 g(x)+a_1 g'(x)+a_2 g''(x)+a_3 g'''(x)...+$ $1/2*(a_0 g'(x)+a_1 g''(x)+a_2 g'''(x)+a_3 g^{(4)}(x)...)\epsilon$ $+1/6*(a_0 g''(x)+a_1 g'''(x)+a_2 g^{(4)}(x)+a_3 g^{(5)}(x)...)\epsilon^2+...=g(x)$ 整理得 $a_0 g(x)+(a_1+1/2 a_0 \epsilon) g'(x)+(a_2+1/2 a_1 \epsilon+1/6 a_0 \epsilon^2) g''(x)+$ $(a_3+1/2 a_2 \epsilon+1/6 a_1 \epsilon^2+1/{24} a_0 \epsilon^2) g'''(x)+...=g(x)$ 根据级数相等的原则，必须要求 $a_0=1,\sum_{i=0}^n(a_i \epsilon^{n-i}*\frac{1}{(n+1-i)!})=0$ 或者写成 $a_0=1,a_n=-\sum_{i=0}^{n-1}(a_i \epsilon^{n-i}*\frac{1}{(n+1-i)!})$————(8) 到此，我们已经求出了方程$f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)$的通解了。并且根据初始条件，我们可以得出唯一解。即 $\epsilon f(x)=b\epsilon + _k^x$ 上面讨论了一大片，也许有的读者会感到一片茫然：这和级数有什么关系呀？？有，当然有！请看———— 设$S(n)=\sum_{i=1}^n f(i)$，那么$S(n+1)-S(n)=f(n+1)$。现在你明白了吧，如果已知通项公式，那么级数求和就等价于方程(1)中$\epsilon=1$的情况！为了应用方便，我们把(8)式中$\epsilon=1$的系数都列出来： blockquote$a_0=1$ $a_1=-1/2,a_2=1/12$ $a_3=0,a_4=-1/720$ $a_5=0,a_6=1/30240$ $a_7=0,a_8=-1/1209600$ $a_9=0,a_10=1/47900160$ $a_11=0,a_12=-691/1307674368000$ ....../blockquote 可见，收敛是迅速的。这种求和方法就是著名的“欧拉——马克劳林求和公式”。根据上面的结果，我们尝试为寻找一些求和公式，如$\sum_{x=1}^n x^3$，可以按照以下步骤： $s(n+1)-s(n)=(n+1)^3,S(1)=1$ $\int (n+1)^3=1/4 (n+1)^4$ $\frac{d(n+1)^3}{dn}=3(n+1)^2$ $\frac{d^2(n+1)^3}{dn^2}=6(n+1)$ $\frac{d^3(n+1)^3}{dn^3}=6$ 因此 $\sum_{x=1}^n x^3=S(n)=$ $1+ _1^n$ $={n^4}/4+{n^3}/2+{n^2}/4$ 另外，比如可以为n!寻找一条近似公式。$ln(n!)=\sum_{x=1}^n ln x$，即求解$s(x+1)-s(x)=ln(x+1)$。而$\int ln (x+1) dx=(x+1) ln(x+1) -(x+1)+Const$，于是很自然地，一级近似就是$n!\approx e^{(x+1) ln(x+1) -(x+1)+2(1-ln2)}$，并可以继续写出： $\sum_{x=1}^n ln x=C_0+ _k^n$ 其中$C_0=\sum_{x=1}^k ln x$，可见，这条公式是收敛的。; 0 个评论

分享正则表达式相关: yangbenfa 2015-7-7 15:06; 正则表达式元字符行的起始与结束 # 以 s 开头，紧接着 i ，再紧接着 g grep ( pattern = '^sig' , x = c ( 'sig' , 'significant' , 'significative' , 'significative' , 'aasig' ), value = TRUE ) ## "sig" "significant" "significative" "significative" # 以 e 结束，前面紧接着 v grep ( pattern = 've$' , x = c ( 'sig' , 'significant' , 'significative' , 'significative' , 'aasig' ), value = TRUE ) ## "significative" "significative" grep ( pattern = '^sig$' , x = c ( 'sig' , 'significant' , 'significative' , 'significative' , 'aasig' ), value = TRUE ) ## "sig" grep ( pattern = '^$' , x = c ( 'sig' , '' , ' ' , 'significant' , 'significative' , 'significative' , 'aasig' ), value = TRUE ) ## "" grep ( pattern = '^' , x = c ( 'sig' , '' , ' ' , 'significant' , 'significative' , 'significative' , 'aasig' ), value = TRUE ) ## "sig" "" " " "significant" ## "significative" "significative" "aasig" grep ( pattern = 'sig' , x = c ( 'sig' , 'significant' , 'significative' , 'significative' , 'aasig' ), value = TRUE ) ## "sig" "significant" "significative" "significative" ## "aasig" grep ( pattern = ' ' , x = c ( 'sig' , 'significant' , 'significative' , 'significative' , 'aasig' ), value = TRUE ) Normal 0 10 pt 0 2 false false false EN-US ZH-CN X-NONE $( }￠¨°·ˇˉ―‖’”…‰′″›℃∶、。〃〉》」』】〕〗〞︶︺︾﹀﹄﹚﹜﹞！＂％＇），．：；？］｀｜｝～￠ /* Style Definitions */ table.MsoNormalTable {mso-style-name:普通表格; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; mso-style-noshow:yes; mso-style-priority:99; mso-style-parent:""; mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-para-margin-top:0cm; mso-para-margin-right:0cm; mso-para-margin-bottom:10.0pt; mso-para-margin-left:0cm; mso-pagination:widow-orphan; font-size:12.0pt; font-family:Cambria; mso-ascii-font-family:Cambria; mso-ascii-theme-font:minor-latin; mso-hansi-font-family:Cambria; mso-hansi-theme-font:minor-latin; mso-fareast-language:EN-US;} ## "significant" "significative" "significative" "aasig"; 个人分类: R语言|27 次阅读|0 个评论

分享 PRX 正则表达式: teqel 2015-1-10 05:09; 论坛上很多牛人在玩正则表达式，今天大致借助SAS在线帮助文件扫了一下盲。确实很强大，省掉很多字符函数。暂时还没有时间好好研究，也暂且没有需要。作为将来的一个学习内容，记一下。; 15 次阅读|0 个评论

分享 sas 正则表达式: xulimei1986 2014-8-8 16:11; /*sas正则表达式*/ filename liu url" http://angelcitiz.tmall.com/shop/view_shop.htm?prt=1346229175121prc=2 "; data aa; infile liu length=len lrecl=4000;; input record $varying4000.len; run; data cc; set aa; if _n_=1 then pattern=prxparse("/\d.\d{4,}分/"); /*注意转义字符*/ retain pattern; call prxsubstr(pattern,record,start,length); if start gt 0 then do; record=substr(record,start,length); record=compress(record," "); output; end; /*keep record;*/ run;; 0 个评论