Princeton大学本科生分析学E. M. Stein系列教材介绍
本套丛书是数学大师给本科生们写的分析学系列教材。第一作者E. M. Stein是一位调和分析大师,他是1999年沃尔夫奖获得者,同时,他也是一位卓越的教师。他的学生,和学生的学生,加起来超过两百多人,其中有两位已经获得了菲尔兹奖,2006年的菲尔兹奖获奖者之一即为他的学生陶哲轩。
这套教材在Princeton大学使用,同时其它学校,比如UCLA等名校也在本科生教学中使用。其教学目的是,用统一的、联系的观点来把现代分析的核心内容教给本科生们,力图使本科生的分析学课程能接上现代数学研究的脉络。这套书共有四本,依次是:
傅立叶分析;
复分析;
实分析;
泛函分析。
这些课程仅仅假定读者读过大一微积分和线性代数,所以可看作是本科生高年级(大二到大三共四个学期)的必修课程,每学期一门。
非常值得注意的是,作者把傅里叶分析作为学完大一微积分后的第一门高级分析课。同时,在后续课程中,螺旋式上升,将其贯穿下去。我本人是极为赞同这种做法的。一则,现代数学中傅里叶分析无处不在,既在纯数学,如数论的各个方面都有深入的应用,又在应用数学中是绝对的基础工具。二则,傅里叶分析不光有用,其本身的内容,可以说,就能够把数学中的几大主要思想都体现出来。这样,学生们先学这门课,对数学就能有鲜活的了解,既知道它的用处,又能够“连续”地欣赏到数学中的各种大思想、大美妙。接下来,是学同样集理论优美和深刻应用于一体的复分析。学完这两门课,学生已经有了相当多的例子和感觉,既懂得其用又懂得其妙。这样,再学后面比较抽象的实分析和泛函分析时,就自然得多,动机也充分得多。
这种教法目前在国内还很欠缺,也缺乏相应的教材。这主要是因为我们的教育体制还存在一些问题,比如数学系研究生的入学考试,以往最关键的是初试,但初试只考数学分析和高等代数,也就是本科生低年级的课程。长此以往,中国的大多数本科生,只用功在这两门低年级课程上,而在高年级的后续课程,以及现代数学的眼界上就有很大的欠缺。这样,势必导致他们在研究生阶段后劲不足,需要补的东西过多,因而疲于奔命。
那么,为弥补这种不足,国内的教材显然是不够的。列举几个原因如下:
1. 比如复变函数这门课,即使国内最好的本科教材,其覆盖的主要内容也仅是这套书中《复分析》的1/3,也就是前一百页。其后面的内容,我们很多研究生也未必学到,但那些知识,在我们做数学研究时,却往往要用到。
2. 国内的教材往往只教授知识本身,而对于了解这个知识的来龙去脉和后续应用,均有很大的欠缺。比如实变函数(实分析),为什么要学这么抽象的东西呢,单从书本上是不太能看得出来的,但是Stein却以傅里叶分析为线索,将这些知识串起来,说明了其中的因果。
因此,目前我们的大学数学教育有很大的欠缺。尤其是有些偏远学校的本科生们,他们可能很用功,已经很好地掌握了数学分析、高等代数这两门低年级课程,研究生初试成绩很高。但对于高年级的课程却掌握不够,有些甚至从未学过,所以在入学考试的第二阶段——面试过程中,就捉襟见肘,显露出不足。最近几年,各高校亦开始重视研究生考试的面试阶段。那些知识面和理解度不够的同学,往往会在面试时被刷下来。如果他们能够认真读完Stein的这套本科生教材,相信他们的知识面足以在分析学领域里,应付得了国内任何一所高校的研究生面试,也会更加明白,学了数学以后要干什么,以及如何去干。
本套丛书是由世界图书出版公司引进出版影印版。影印版的发行,将使得这些本科生有可能买得起这套丛书,形成讨论班,互相研讨,琢磨清楚。这对大学数学教育的提升,乃至对中国数学研究梯队的壮大,都将是非常有益的。
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