求助：CFA二级金融衍生工具的问题

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书上说一般情况下call、put option的THETA是小于零的，但个别情况下，put option value may increase as the option approaches maturity if the option is deep in the money and close to maturity.

请问是为什么？能不能形象的解释一下？

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关键词：金融衍生工具 CFA二级 衍生工具 金融衍生 CFA 工具 求助 CFA 金融

Theta can be positive for a deep in-the-money European option if

1) it's an option on futures but it's subject to stock-type settlement; the option can be either call or put

2) it's a put and interest rate is high enough

挺复杂的嘛，二级有这个内容？

以下是引用irvingy在2007-4-1 14:46:00的发言：

Theta can be positive for a deep in-the-money European option if

1) it's an option on futures but it's subject to stock-type settlement; the option can be either call or put

第一条不是很明白,这个"subject to stock-type settlement"是什么意思,从Theta的公式来看的话,一个不付红利的看涨Theta好象一定小于零

以下是引用垃圾树在2007-4-2 0:07:00的发言：

第一条不是很明白,这个"subject to stock-type settlement"是什么意思,从Theta的公式来看的话,一个不付红利的看涨Theta好象一定小于零

这是Natenberg的说法，按照Hull的说法，就是option on futures，就是把期货看成一个股票，付连续股利等于无风险利率，期权费是立即支付的，这种叫stock-type settlement，因为这和买卖股票一样，当时一手交钱一手交货。这个时候只要股利足够高，call的theta可能是正的。在美国的交易所，大部分期货期权是这种。在美国以外的交易所，期货期权是futures-type settlement，期权费不是立即支付的，而是像期货一样mark to market，最后到期再交割。这个时候期权价格与利率无关，theta不可能是正的。Hull不区分stock-type settlement和futures-type settlement，他所有的期权都是第一种，可能因为他是以北美市场为基础。其实也狠少有书区分，虽然我觉得这个区别还是狠重要的。

以下是引用irvingy在2007-4-2 5:00:00的发言：

这是Natenberg的说法，按照Hull的说法，就是option on futures，就是把期货看成一个股票，付连续股利等于无风险利率，期权费是立即支付的，这种叫stock-type settlement，因为这和买卖股票一样，当时一手交钱一手交货。这个时候只要股利足够高，call的theta可能是正的。在美国的交易所，大部分期货期权是这种。在美国以外的交易所，期货期权是futures-type settlement，期权费不是立即支付的，而是像期货一样mark to market，最后到期再交割。这个时候期权价格与利率无关，theta不可能是正的。Hull不区分stock-type settlement和futures-type settlement，他所有的期权都是第一种，可能因为他是以北美市场为基础。其实也狠少有书区分，虽然我觉得这个区别还是狠重要的

对于futures-type settlement,q和r的值怎么变都不可能使得Theta为正么?对于futures-type settlement,HULL书上的那几个THETA的公式就不适用了么?哪本书或者文章有专门介绍这两种结算制度对定价的影响么,推荐一下呀

刚才又想了一下,好象那个q对于实际中的交易意义不是很大吧,因为没有红利是按这种比率来发的,那么这样算的话只能是对红利的一个平均，其含义有点类似债券的净价（就是quote price），但是债券在交易的时候还要加上accrued interest，那么也就是说这样的计算方式是为了使得期权的价格平滑？？

Natenberg, Option Volatility & Pricing有比较详细地讲stock-type settlement和futures-type settlement的区别，但是没有具体地讲到底价格有什么区别，Black-Scholes公式到底应该怎么改动。

Taleb，Dynamic Hedging在讲early exercise的时候也模模糊糊的提了一下，他叫hard American和soft American。

文章也狠少，我看的是这个，http://ssrn.com/abstract=825104，他主要是证明early exercise is never optimal，然后和利率是无关的，也没有具体的call和put的公式，后面references里面几篇重要的文章大部分都是90年代早期的Journal of Futures Markets，找不到，说不定onesource可以找到。具体的公式可能在Lieu的那篇文章里面。不过ssrn好像暂时有问题，上不去。

自己推的公式，其实狠简单，

\frac{\partial f}{partial t} + \frac{1}{2} \sigma ^2 F^2 \frac{\partial ^2 f}{\partial F^2} = 0

跟Black-Scholes PDE的区别就是右面是0，不是 r f，这是因为futues和futures-type settled option都没有最初的收入和支出，所以delta hedged的portfolio总是0。

解出来，其实就是没有贴现的Black 1976

c = F N(d_1) - K N(d_2)

p = K N(-d_2) - F N(-d_1)

d_1 = \frac{\log \frac{F}{K}}{\sigma \sqrt{T-t}} + \frac{1}{2} \sigma \sqrt{T-t}

d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t}

对t求导数，可得theta不可能是正的，我太懒了不写了。

以下是引用垃圾树在2007-4-2 12:22:00的发言：
刚才又想了一下,好象那个q对于实际中的交易意义不是很大吧,因为没有红利是按这种比率来发的,那么这样算的话只能是对红利的一个平均，其含义有点类似债券的净价（就是quote price），但是债券在交易的时候还要加上accrued interest，那么也就是说这样的计算方式是为了使得期权的价格平滑？？

我翻了一下Hull的书，第5版，310页，Theta is usually negative for an option，然后有个脚注说

An exception to this could be an in-the-money European put option on a non-dividend paying stock or an in-the-money European call option on a currency with a very high interest rate.

其实和Natenberg说得一回事，European call option on a currency with a very high interest rate就是q足够大，但是currency option一个货币的call就是另外一个的put，和European put with a very high r是一回事。

以下是引用irvingy在2007-4-2 12:34:00的发言：

跟Black-Scholes PDE的区别就是右面是0，不是 r f，这是因为futues和futures-type settled option都没有最初的收入和支出，所以delta hedged的portfolio总是0。

8楼和9楼的推导基本都明白,就是这边,为什么futures-type settled option没有最初的收入和支出?如果一个futures-type settled option和另一个stock-type settled option的条款全部相同,那么futures-type settled option的操作和stock-type settled option的差别在哪里呢?