[讨论]谈数学在经济推理中的一个作用

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许多网友问，数学与经济学什么关系，数学不好能不能学好经济学，像我，对这类重大的问题当然是无法回答的，硬要回答，也只能是泛泛而论，有签于此，有人反对再谈数学与经济的关系等问题，个人觉得是次优的选择。要是能把这两者的关系谈出新意，并有所启发，就像谈效用、偏好、政治等等难于谈好的问题一样，也是值得大谈特谈的。我的数学与经济关系谈，希望大家看了不认为是泛泛之谈同类。

A，数学上可以是常量，也可以是变量；可以理解为一个特定的数字，比如5，比如0.5，比如根号2，也可以理解为表示一个数字的字母，可以理解为是一个多项式，可以理解为一个点，一个矢量，比如在解析几何中，也可以理解为一个平面图，一个多维图，一个函数关系等等，这要视具体的运用场合而定。要是你没能作这种广意的理解，那么你的数学思维在这方面有待进一步提高。

转谈经济学中的A，比如“经济人”，经济人是一个假定，是经济学在逻辑自洽而作的一个公理式的假定，（周其仁是用稀缺这个假定的，在我看来，一样的，没啥差别）在没更好的假定之前，只得用它了。它的含义可以理解为在约束（稀缺的表现）条件下收入最大化，对偶问题是约束条件下成本最小化，说的是同一件事。收入，和A一样又要作广意理解，可以是有形的，也可以是无形的，比如，可以是金钱、房子、钻石、白菜、可信、能力、安全、威望、尊重、理解、支持、创新、正义等等，这样，你才能对经济学现象在一个概念下作更广的解释。一个帖子中，贴主认为说出了自认为是对的说法，而可能得罚某某人，他就认为他的行为不是“理性人”行为，看样子作者没对收入作广义的理解。

汪丁丁说，说是从A＝A这些常理性逻辑出发的，所以我们大家才能听得懂，像有些政治、伦理、道德等东西，因为不合逻辑，所以，我们不能客观地说服对方，我们提倡有理有据的讨论，也据以此。不是我们的道德水准特别高。像A＝A这样的例子，比如MV＝PQ，从这个恒等式出发，弗里德曼就提出了有名的币量理论，当然，约束也是有的，但基础就源于此。经济学上需求这个概念，可以广义地理解为人们所有选择行为，而价格可以广义理解为成本，而成本一定是在一定约束条件，比如竞争、制度等下的成本，这样，需求定律就有非常广泛的解释能力，关键是观察清楚现实经济生活中的约束条件，张五常甚至夸张地把经济学理解为一个需求定律，我看是有道理的，问题是你怎么样作广义的理解和运用，像张五常就用这个概念和定律，提出了分成合约下人们行为，解释了价格控制下租值消散等等前人没有解释的重要现象，所以说他的文章可以传世。

如果作这种广义的理解，那么，成本与收入也是同一个概念：价格是成本的一种，价格都都是相对的，成本也都是相对的，对解释现象而言，可以把成本理解成最高项收入除以选择项收入，很简单，但很好用。举个例子，你一小时谈心收入3，看书收入2，上网收入1，那么你谈心的成本是2／3，看书成本是3／2，上网成本是3／1，当然选择谈心了，另外，从这个角度看谈心收入下降，就意味着谈心成本上升（分母增大分式值减小），谈心收入增加，谈心成本降低（分母减小分式值增大），你选择项外的收入和成本可以作相反理解，这样就可以把收入和成本统一起来了。在这一表达方式下，比如，李嘉图的比较优势定律，你就可以这样表达了，成本小的，是你的优势项目，当然，另外一个肯定是你的无优势项目（由分数性质决定，一分式值大，倒数必定值小）。

有位网友跟帖问：“请问收入的单位是什么，即这里的1，2，3的计量单位？

暗含着收入可比的假定。可是不同种类的收入可以比较大小吗？有同一性吗？”

我认为他可能不太了解阿尔钦创建的UCLA关于度量的传统，此传统认为，所有的度量都是主观的，在选择之前，我们不知道谈心、看书和上网的收入，是你的选择说明了你上述行为的收入，是你在一定约束条件下先有一个各项选择的收入预期，然后，你作了选择，我们是从你选择的结果看到你关于谈心、看书和上网在你“心目”中的收入的。

数学对加深概念一般性的理解大有帮助，这个意义上，我认为，数学学得好，对学习经济学有比较优势。张五常、周其仁等人认为，我国做实证研究的人，有的虽然看到了重要的约束条件，但由于一般化能力不足，他的理论就缺少价值，像我在书评里大加推崇的朱锡庆，虽然深入观察解释了许多有趣的经济学现象，但也缺乏把他的解释一般化的努力和推广。

[此贴子已经被作者于2005-4-1 19:21:19编辑过]

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关键词：数学与经济学 数学与经济 学好经济学 成本最小化 约束条件 经济 讨论 推理

数学是一种语言，语言是思维的工具。

能区分自然语言与数学语言，能区分开数学表达的概念与自然语言表达的概念，就可以了解数学的作用了。

经济学可以由数学语言写成。许多其他学科也可以这样。

数学语言不算完美，但任何一种语言都不可能完美。如果自然语言比数学语言完美，为什么那么多“搞经济”的人愿意采用数学语言？如果数学语言对于你搞经济来说很“不经济”，你又何苦“逆效率”行事，勉为其难？

如果你想与那些无聊的主流经济学家们玩经济学GAME，你就不得不要掌握高深的数学工具，要不然他们会拿你不懂的工具来欺负你。如果你想研究现实的经济问题，做一些对自己和他人有益的事，你只需要掌握一些基本的数学工具，确实有助于自己对问题的分析，理解必要的理论。

“如果自然语言比数学语言完美，为什么那么多“搞经济”的人愿意采用数学语言？”此话有理，数学在表达的清晰和推理能力上的确比文字强，要是用来描述具体的事实，那么文字还是的优势的，数学符号的意义是要用文字来说明的，所有思想都来源于现实，能具体表达现实的语言都是好工具，没内容、思想的工具都不是好工具。

以下是引用蓝田日暖29在2005-4-1 18:11:54的发言：

数学对加深概念一般性的理解大有帮助，这个意义上，我认为，数学学得好，对学习经济学有比较优势。张五常、周其仁等人认为，我国做实证研究的人，有的虽然看到了重要的约束条件，但由于一般化能力不足，他的理论就缺少价值，像我在书评里大加推崇的朱锡庆，虽然深入观察解释了许多有趣的经济学现象，但也缺乏把他的解释一般化的努力和推广。

练习数学工具的意义不仅仅在于掌握一门数学语言。这种训练对于建立经济学模型也很有帮助。这种训练可以帮助你掌握在纷繁的世界中找出那些是重要因素，那些是可以忽略的的因素。

可是也有人提出中国的某些经济学家经常拿数学工具将自己妖魔化，即其实未必很复杂或者根本不必要很复杂的东西却要用成堆的数学公式来显示自己的水平之高，这些当然是一些争论，我只是听说而已

当然我也挺数学老师说过，数学的目的不是要复杂，看来高深，反而是简化，掌握更深的数学是要简单化，就像如果你小学用数学等式解答应用题目，要繁琐的关系和推倒，可是如果引进了方程，问题就大大化简了，最后的把书读薄才是目的，动不动拿数学书来糊弄人的大多都是没到家的

个人认为数学是训练了我们抽象思维的能力，如果只会用数字而不会用字母来表述问题的话，那学期经济学来恐怕是要有困难了。

理论经济学对数学的要求可见一斑。使用经济学的话，只要你讲得通身边的道理，分析的有理由条，也不一定非要用到数学不可的

我倒觉得目前的经济学中不够重视"物理语言". 自然语言具体而形象;数学语言抽象而概括.但如果抽象中把事物的性质也扬弃了,就是错误地抽象了. 比如 1+2=3 是数学语言,但1把椅子加上2支蜡烛等于3吗?如果你说1把椅子的“效用”与2支蜡烛“效用”是同质的，可加的，就要给予证明。同时还要证明加起来的3也有实际经济涵义。 这就是"物理语言"的要求。

同一楼上的看法，数学里面讲究精确严谨，可是有些东西从具体事物中抽象出来人们却忽视了他的实际含义和来源，背景，导致太抽象，那么除了知道这些性质推倒思想之外，并不知道实际中怎么应用，是怎么来的

这样过分的抽象了，可以想象，如果没有物理学的发展，数学就失去了推动力，怎么会发展到今天呢？

今天看到汪丁丁对这个问题的理解，拿来和大家分享一下：

略论数学与社会科学方法的关系

这个题目，我希望能够跟数学系的同学交换一下看法，写了二十多页讲稿，但是还没想好怎样讲。从什么地方开始讲今天这个的主题呢？这个主题太大，“数学和社会科学方法的关系”。然后，我在来紫金港的路上，突然受了某种启发，决定修改一下思路，想先讲讲我自己在数学系读研究生的一些感受，然后带出来今天报告的主题。我们教室很大、很空旷，比较适合讲述我的感受。 从1977年到1985年，我在数学这个专业内学习了近8年。先是在北京师范学院——现在改名为首都师范大学，是恢复高考后的第一届学生。然后，我考入中国科学院研究生院，那里原来只有一个数学研究所，数学所里有一个“控制理论”研究室，我就在这个室里读硕士研究生。后来，这个室从数学所分离出来，叫做“系统科学研究所”，现在叫“数学与系统科学”研究院，从中关村的高速公路上能看见它的那幢豪华办公楼。不过，当时那里的条件很差。我们进去的时候，科学院系统仍然在陆续落实“知识分子政策”。我去拜访科学院的老师们，发现他们的住房，都是……你们现在的孩子可能从未见过，叫做“筒子楼”，一条长长的楼道，两边是许多“一居室”的宿舍。我拜访的那位老师，一家四口人，按照“研究员待遇”，享受筒子楼里的“一居室”住房，大家共用一个厨房。科学院研究生院也一样艰苦，没有教学大楼。科技大学在合肥，它在北京的研究生院，就是我们这个中科院研究生院。关键在于，我们研究生院当时在北京的地点非常有意思，就在八宝山旁边。各位知道不知道八宝山呢？“八宝山公墓”，与我们研究生院和学生宿舍“比邻”而立。 这样，那一段日子里，我每天傍晚和清晨都在墓地里散步，复习功课，思考数学问题。那时候，北京市区还很小，“二环”路大概刚刚在修建，从市区到八宝山还有很多段是土路呢，大家总是乘地铁或者骑自行车去我们那边。所以，能在傍晚和清晨到墓地里散步的人，或许就只有我了。 我在墓地里散步，思考数学问题，周围是层层叠叠的松树林，我倾听松林的低语和幽灵的叹息。结果，学了几年数学之后，数学在我脑子里就带上了一种特别神秘的色彩。 今天，在路上，我受到启发，从墓地开始讲述，其实我是想告诉你们：如果你有灵性，能听见幽灵的叹息，那你不论是在数学系——纯数学，注意，不是应用数学系——不论你是在数学系还是在社会科学院或人文学院里，你都应该能够走到我今天打算讨论的这个主题上来。 但是，我现在还说不清楚今天的主题，还必须等待，到我的报告结束的时候，我才能告诉大家。我脑子里的数学是很神秘的，有点像毕达哥拉斯的数学。现在，让我先讲一些对数学和社会科学的初步理解。 “数学”，我从网上找到一个很古老的定义：“数学是研究数字，数，和空间性质的学问”。你们是否同意这个定义呢？我看到多数同学表示同意。 这个定义，在数学思想史上，有着四千年的历史。古代的巴比伦人和埃及人，最早用“神圣三角形”来计算圆的面积。当时，他们留下了今天我们所发现的人类最早的一份“纸草”，记录了他们的数学。这份最早的数学记录，日期大约在公元前2450年。 根据这份记录，数学，从那时开始，一直到晚近，始终被定义为是研究数的性质和空间（几何）性质的学问。但是，到了1988，《科学杂志》发表了一篇文章。作者是美国一位很重要的数学教育家，叫做林•阿特尔•比因斯（Lin Arter Beins）。 1988年，他为什么要在《科学杂志》发表这样一篇讨论数学的本质的文章呢？这篇文章的题目叫做“The science of patterns”——关于模式的科学。作者要论证的是，今天的数学应当被定义成为研究一切“patterns”（模式）的学问。数学家所研究的，其实是大自然、人类社会、以及心理状态中出现的各种模式。这样的看法，似乎把数学家们当作计算机，用于“模式识别”了。但这一定义，在今天看来比古代的定义更符合现代数学的实质。 那么，“社会科学”研究什么事情呢？我们知道，它研究“人”。在社会科学和数学之间，至少有这样一座桥梁，那就是：你们这些数学家在作为“人”，思考数学问题的时候，我们这些社会科学家或哲学家，作为研究者，倾向于这样看这件事情，首先，我们面前有一位数学系学生，他在思考数学问题，他的思想，我们叫做“意向行为”——intentional action，有意向的一种行动，是“思想行动”。而他的思想的内容，我们叫做“意向内容”——intentional content。如果你在考虑“1+1”为什么要等于“2”这样一道数学题，那么，当你在思想的时候，你想的那些内容，你的意识的内容，也就是你的意向行为的内容。这一点非常重要，因为这样我们研究者就可以把数学家的思想行动与这一思想行动作用于其上的思想内容区分开来了。 对于“数学家在思想”这件事情，我们社会科学家还可以提出这样一些问题：（1）数学行为的意向内容，它是在我们这个世界里，还是在天上？例如，像毕达哥拉斯或者柏拉图相信的那样，它根本不属于我们这个世界；（2）当数学家思考数学问题的时候，他的这种行为，这一思想行动本身，是属于此世呢？还是不属于此世？例如，数学行为本身具有某种神圣性，它在天上发生，然后下降到某一数学家身上；又或者，数学行为是此岸的人向着彼岸某种理念的努力接近，从必然世界向着“自由”的某种意向。 上面我们提出了四个问题，你们明白了吗？意向行动，意向内容，此岸世界，彼岸世界。这两组概念，两两组合，一共是四种可能性。还有些同学不明白，大概你们在数学系从不考虑神学问题吧？四种可能性：（1）数学意向属于彼岸世界，（2）数学意向属于此岸世界，（3）数学意向的内容属于彼岸世界，（4）数学意向的内容属于此岸世界。 社会科学家既然研究人类行为和人类社会，他们就完全可以把我们数学家的思考，当做人类数学思考来研究，当做一种特殊的人类行为，成为社会科学研究的对象。不过，上列四种可能性，研究起来错综复杂。我希望你们能想清楚，我相信数学系学生肯定能想清楚。 现在，社会科学本身，它有它自己研究人类行为的基本方法。那么，它的基本方法是从哪儿来的呢？我们社会科学家同样需要用上列四种可能性来反问自己。 但是我首先说明，社会科学方法，首先是要服从形式逻辑。否则，社会科学的“科学”这两个字就不合法了，它就不能叫“社会科学”了。这样，我们可以把“非逻辑”的方法排除在社会科学方法的范畴之外。例如，“顿悟”、“通灵术”、“萨满仪式”等等，都不能成为社会科学的方法。 社会科学家用符合逻辑的方法，来研究数学行为，试图整理出一种符合逻辑体系的看法，或者“模式”。这样就带出来两个问题，让我解释一下。基于形式逻辑的社会科学方法，它有两个最重要的特征。第一个特征，它要求实证性。社会科学的命题必须可以在经验世界里得到证实或否证，这一特征把社会科学与数学区分开来了。 其次，第二个特征，社会科学家经常不使用分析的方法而是使用归纳的方法。因为社会科学的定律——注意是“定律”而不是“定理”，不可能用分析演绎的方法来证明。社会科学家必须从现象归纳出一些规律，这些规律不是公理性的，而是统计意义上的“模式”。 以上两个特征，是社会科学方法在本质上不同于数学方法之处。社会科学与数学在方法上相同之处，如上述，就是它们都服从形式逻辑。 但是一谈到“逻辑”，又出现了一开始我们提出的那类问题，逻辑可能在这个世界之外。我刚才说了，古典的数学定义，从柏拉图以前就认定：数，是共相，是天上的东西，不是局限于我们这个世界之内的。按照柏拉图的“洞穴隐喻”或者“理念说”，我们生下来，脑子里已经有了数学的种子，然后通过意向性的数学行为，逐渐让这颗种子发芽，谓之“启蒙”。启蒙之后，我们就能够认识那些原本在彼岸的数以及数之间的关系，这些事物，叫做“共相”。这是柏拉图式的启蒙。按照古希腊人的看法，数学是最好的启蒙途径。“不懂得几何学的人请勿入内”，这是“柏拉图学园”大门口上铭刻的一句话。 一旦你启蒙了，柏拉图认为，你的灵魂就开始有了理性。于是，灵魂的其他两个方面——激情与欲望，就有了理性指导，就受了理性的驾驭，你就是一个正常的人了。 到了康德的时代，康德依然认定，数学概念是所谓“先天综合”概念。什么是先天综合概念呢？我给出一个简单定义，先天综合概念，就是无需此世经验的证实就已在此世表明了其真确性的那些概念。注意，首先，它们是关于这个世界的经验的概念。其次，它们的真确性不需要借助于这个世界里的经验来证实，它们是“先天”地真确的。所有的数学概念，康德在《逻辑学讲义》里说过，都是，或者几乎都是先天综合的，都不是后天综合的或后天分析的，都不依赖于后天的经验。 康德的思路，于是又把我们向神秘主义的方向带近了一步。现在我要介绍的，就是同学们想必都很熟悉的一位数学家，1966年才去世，布劳威尔。我在路上突然改变思路，就是因为想到了这位直觉主义数学家的奇特思想和生活经历。 今天，“布劳威尔不动点定理”，被认为是社会科学是整个社会科学的理论基石之一。上面说过，社会科学需要服从形式逻辑，同时，需要以逻辑推演的方式得到能够以统计规律加以检验的命题。如果我们把社会看作是一群具有理性选择能力的个人行为之间的交互作用的结果，那么，这一交互作用的过程是否能达到某种均衡状态，在逻辑上，就取决于这一互动过程是否存在着“不动点”。布劳威尔不动点定理，给出了最重要的一类不动点的存在性的条件。简单地说，他证明：圆盘上的连续函数必有不动点。后来，这一定理被许多数学家加以拓广，导致了“角谷不动点定理”；角谷定理在今天已经成为博弈学家们论证均衡存在性的最重要的定理之一。另外还有两个重要的不动点定理，其一叫做“巴拿赫压缩映像原理”，其二叫做“塔尔斯基不动点定理”。 布劳威尔坚持“直觉主义”立场，故而与当时世界数学界的领袖希尔伯特所倡导的“公理主义”立场发生了正面冲突。什么叫数学直觉主义呢？我来念这段英文吧，数学直觉主义认为：“it is impossible to define the properties of mathematical objects simply by establishing a number of axioms ”——直译：不可能借助一些公理就界定数学实体的性质。所以，按照直觉主义的立场，希尔伯特的“公理主义”纲领是不可能实行的，它不可能成功。也就是说，你打算用一组数目有限多的公理所构成的“公理体系”来描述任何一个数学实体，这是不可能的事情。为了认识数学实体的性质，你必须依靠直觉，而不是形式逻辑。 布劳威尔以1907年的博士论文直接参与了庞加莱和罗素关于数学基础的论争，于是使他成为世界数学界的主要角色之一。1907年他发表这篇博士论文的时候，题目是：“The Unreliability of the logical principles，”——直译：逻辑原理的不可靠性。从这里，我们可以看出数学直觉主义者对形式逻辑方法是极端不信任的。 我们知道，1900年，希尔伯特在世界数学大会上提出了所谓“希尔伯特问题”——一共28个问题，他试图用发现核心问题和采取公理化证明的方式来推进数学发展。事实上，希尔伯特的这一纲领非常成功，它几乎完全决定了20世纪数学发展的各个主要方向。 大约1912年的时候，当时，布劳威尔以直觉主义领袖的身份和以对希尔伯特纲领的强烈批判而著称。但为了让他获得阿姆斯特丹大学数学讲座教授的席位，希尔伯特努力向该大学推荐布劳威尔。借助于希尔伯特的声望，布劳威尔得到了这个教席。 布劳威尔晚年表述了这样的看法：社会不仅通过伦理或者道德来控制人们的行为，而且还通过语言来控制人们的思想。所以，为抗拒社会对自由思想的控制，布劳威尔在晚年很少说话，因为他不愿意使用语言，他希望最大限度地使用直觉。当时，他独自在荷兰的穷乡僻壤里生活，实行素食主义，如东方僧侣那样生活。我相信他还练习瑜伽，因为只有这样，他才能够沉潜在数学直觉和各种灵感当中。注意，那是印度的神秘主义，还不是咱们中国的神秘主义。中国思想总是不太神秘，不足够神秘，故而对大思想家缺乏吸引力。这样，据我的考证，布劳威尔在大约1905年的时候，走入了神秘主义。关于布劳威尔的传记非常少，我从北大找到一些文本，因为我研究奥地利学派经济学的时候，曾因布劳威尔与小门格尔之间的师生关系，专门研究了他的生平。 你们都知道代数学家范德•瓦尔登吧？你们在数学系现在还学不学范德•瓦尔登的《代数学》（Ⅰ）和（Ⅱ）？我们当时都是借这本书研习“抽象代数”的。范德•瓦尔登当时在荷兰阿姆斯特丹大学听布劳威尔讲课，事实上，他是布劳威尔的助教。他曾记录了下面这段故事。 他说，布劳威尔当时全面怀疑他自己曾做过的贡献，即他在拓扑学领域包括不动点定理的研究方面的重大贡献，当然，他也怀疑其他的数学定理的可靠性，包括“希尔伯特问题”里面的若干问题。 他写道：“老师上课只谈直觉主义，他只看黑板，根本就不看学生，并且不许任何人提问”，不许！有一次作为他的助教，范德•瓦尔登在课堂上提了一个问题。在下一次上课之前，布劳威尔的另外一个助教专程跑到范德•瓦尔登的宿舍里对他说：布劳威尔不愿意听到任何问题，包括你的问题。 你们都知道《美丽与心灵》，你们都知道纳什。在纳什的博弈论研究中，怎样证明“纳什均衡”的存在性定理呢？纳什最初的努力，就是运用了布劳威尔的“fixed points theorem”。如果没有布劳威尔不动点定理，从数学思想史我们可以推测，就不可能有，或者很难有“纳什定理”，那么，当然也就不会有社会科学今天的全面发展。 甚至可以说，没有均衡存在性的证明，整个社会科学便是毫无意义的。因为社会交往过程，如果我们不知道它是否可能找到均衡，我们就无法保证社会科学研究的实证性，即上述的社会科学方法的第一特征。而没有实证性的命题，对社会科学家而言，只是一堆垃圾，没有意义，因为无法把它拿来与社会现象的统计规律相验证。 只有均衡的行为，才成为“行为模式”。均衡，对社会科学家意味着“可观察”。它每日每时都发生，它今天重复昨天，明天重复今天，故而称为“均衡”。它不会发生变化，它不偏离它的状态，于是它在时间上就被凝固了，就变成静态的了，于是它就有它的逻辑，静态的逻辑形式。于是，我们就可以把它当作“科学”来研究。如果不均衡，永远不均衡，那我们就回到了赫拉克利特的“永恒的流变”，永远无法观察到“模式”，永远无法研究社会现象。因为社会如同流变的河，不可琢磨，不可把握，不可理解。所以，我认为社会科学家们不能同意布劳威尔的看法，不能抛弃不动点定理。 我在大学数学系的毕业论文，主题就是“拓扑学不动点定理的证明”。我依稀记得，当时我查到过布劳威尔的一篇文章，他批判他自己的定理，理由是因为那一定理的证明过程违反了直觉主义的基本原则。 直觉主义最核心的看法是：“数学是心灵构造的直观”，这是布劳威尔的原话。也就是说，首先，你的心灵已经直观到了某一种数学结构，然后，你试图用人类能够理解的语言把这一直观表达出来。这就是“数学”，是直觉主义数学。显然，这一看法与柏拉图的看法一致：每个人心中都有理念的种子，教育是为这个种子启蒙。 但是，布劳威尔走得更远。他认为，既然如此，既然数学是我们心灵的数学直观，那么他就必须在有限的步骤内建构他心灵的数学直观。因为超过有限步骤，心灵就不能直观。这是数学直觉主义给全体数学家们提出的一个问题，我称之为“数学根本问题”。 每一学科，如果长期生存下来的话，都有自己的根本问题。社会科学有它自己的根本问题，那就是西美尔在1910年提出来的：“社会为何可能？”。数学，既然生存了几千年，当然也有自己的根本问题。例如，你可以模仿西美尔的问题，说数学根本问题是：“数为何可能？”。但是如此询问下去，几乎所有的学科就都可以有自己的根本问题了。例如，人口学根本问题：“人口何以可能？”。但是，我们知道，人口学是一门过渡性的学科，它没有自己的根本问题。 所以，每一学科的根本问题还需要到那一学科内部去寻求，不是很容易地就可以模仿西美尔的。你们可以认为，希尔伯特提出的26个数学问题，里面包含了或者预示了数学的根本问题，这需要论证。总之，一个学科围绕自己的根本问题展开自身。 社会科学，为了回答它自己的根本问题，即“How is a society possible？”，发展了一系列重要的看法。例如，哈耶克提出来的，资本主义制度的实质在于它是“人类合作秩序的扩展过程”，这就是对社会科学根本问题的一个阶段性的解答。此外，最近若干年内涌现出一些对西美尔问题的回答，其中，我最喜欢介绍的，是桑塔菲学派一位经济学家的回答。 “数为什么可能？”姑且不论证它是否为一根本问题，如果我们承认它是一个值得思考的问题，那么，对这样一个问题的思考所引出的问题就是：人作为一种生命有限且理性能力有限的智慧物种，他怎么可能认识无限呢？你们做练习题时，求“极限”，你们知道我的问题的意思，人怎么可能认识无限——我把这个问题叫做“数学根本问题”。数学还可以有许多其他的问题，但对我理解的数学而言，那些都不是根本问题。 布劳威尔被称为数学领域的尼采，他以超越眼光重估了一切价值，……一切，包括希尔伯特的纲领，包括亚里士多德以来无人敢怀疑的逻辑基本定律。逻辑学有三条基本定律，你们在数学分析课的引论部分应当都学过了：同一律，矛盾律，排中律。同一律，就是A=A，这总是可以成立的吧？总不能怀疑吧？矛盾律，就是A≠Ā，你不能说，“此时此地正下着雨并且不下雨”。最后，排中律，它最重要而且最麻烦，引起了直觉主义与公理主义之间的长期争议，它声称，A或者Ā等于整个“universe”——即该命题适用的定义域（domain）。这样，你如果要检验排中律的话，你就必须逐一检验空间内的每一点，而这通常是一个无限过程。换句话说，“A或者Ā”，例如，“下雨或不下雨”这一命题，它所适用的一切场合和时间，你都必须逐一检验，因此你无法在有限多次的步骤里加以检验。当你并没有亲自检验一切可能出现的情况时，你怎么可以相信这一命题的完全真确性呢？所以，这一类命题不符合数学直觉主义，因为它们不是心灵直观可以相信的。 布劳威尔这一学派，因为强调直觉主义的数学立场，不能同意排中律的合法性，不能承认依赖于排中律所证明的任何数学定理。直觉主义者认为数学定理的合法的证明，应当是一个建构过程，而不是采取“反证法”的过程。因为任何建构性的证明都是有限步骤内可以完成的。例如，命题：“在100以内的任何偶数与奇数相加等于一个奇数”，在有限多步骤内，可以用穷举法一一加以检验，符合直觉主义立场，故而由此而证明的命题，在数学上具有合法性，它是可靠的。 有没有办法建构完整的数学体系呢？我们知道，波兰数学的“华沙学派”的努力一直是建构性的。这是逻辑学里面最重要的一个学派，它为人类贡献了最重要的一些逻辑学家，例如汉•巴拿赫，例如塔尔斯基，还有几位重要的数学家，都是华沙学派培养出来的。他们服从这样的信条：就是不使用排中律。 尼采借东方哲人查拉图斯特拉来解释他的非西方思考；布劳威尔借东方神秘主义来超越西方语言。请你们记住这两句话。 我个人所赞美的社会科学方法，是直觉主义的，是基于常识的判断。这是我的基本态度，我不信任数理公式。刚才主持人也介绍了，说我“反对数学的滥用”。是的，因为数学的滥用者，对于他们要解释或研究的现象，根本上就缺乏直觉。缺乏直觉，怎么可以从事社会科学研究呢？现在，就在我们教室的下面那层，刚才我看到我的朋友周其仁老师在那儿讲课。我最喜欢听他的课，为什么呢，因为，他采取的方法，我称之为“基于常识的判断”，那是基于直觉的，经济学直觉。基于常识，我们能够做什么样的判断呢？就是一开始我介绍的，基于常识，我们试图认识“现象”所具有的各种模态，我们判断我们自己的这些认识是否真确。 当代数学把自己定义为对于各种自然现象的模式的直观。当代社会科学呢？可以把自己定义为是对于各种社会现象的模式的直观。这里，社会现象包括了心理现象。只要它们属于我们可以经验的世界，那么，基于常识的判断就可以让我们这些研究者直观到它们。我把我的这一立场称为“社会科学的直觉主义”。 社会科学的直觉主义，不认同基于常识的“运算”，它只认同基于常识的“判断”。如果我们看到一位社会科学家，缺乏对真实世界的直觉，整年在计算机上摆弄那几套数据——从国家统计局里搞来的，我们便会觉得，他在做一些没有意义的研究。因为他对所研究的现象缺乏一种心灵直观。我不能否定他是在“谋生”，但是那不是“社会科学”。这种工作，我叫做“运算”，不叫做“判断”。 判断是什么？很早以前我在《读书》上发表过一篇随笔，“从读书的捷径说到叔本华的认识论”。在那里，我介绍了叔本华的认识论。叔本华对判断力有非常深入的体会和研究，他影响了尼采，并由此影响了王国维和鲁迅。按照叔本华的理解，判断力其实贯通在我们理解的各个环节中，它的纯粹形态，可以称为“顿悟”（参阅我的讲义《制度分析基础》前5章）。判断或直觉，这一方法，是周其仁老师和张五常教授所使用并且推崇的——我称之为“直面现象”的方法。 在社会科学直觉主义的审视下，“数学”是什么？我们现在回过头来，盘问数学的实质是什么。当然，你们想从我这儿听到明确的答案，那是不可能的。我只是想把这问题的复杂性，刻画出来。 数学行为，它包括这样两个方面：（1）认知者，也就是数学家，他的意向行动；（2）被认知的内容，或者意向内容，也就是他试图加以心灵直观的现象的“模式”。 认知者，我们在纸上画一个小人儿，表示这位认知者。他的意向行动，我们用他的目光来表示。然后，被他认知的那一数学客体，出现了某种“模式”，那是被心灵直观地建构出来的，被他直觉到的，被他判断出来的。 这样一个过程，作为整体，叫做“数学行为”。它是怎么被认知者本人认识到的呢？熟悉数学思想史的同学都知道，认知者与被认知物之间的关系，必须在一个更高的层次上——例如“元语言”层次，或“元数学”层次，或“元逻辑”层次，才可以被表达出来。小人儿（姑且以符号“A”表示）和目光所指向的数学对象（姑且以符号“B”表示），这两件事物，在一个更高层次上发生的认知行为中都成为认知的内容。你们明白了吗？也就是说，A的目光射向了B，那么A如何知道A的目光正在射向B呢？A必须要“反思”，必须要退出它现在的这个意向行动，另行建构一个更高层次的意向行动，在那里，A的意向内容是：“A的目光射向B”。但是，这一更高层次的数学行为，它本身怎样能够被A意识到呢？也就是说：A怎样意识到“A正在意识到‘A的目光射向B’”呢？为了能够把握他自己的数学行为，他必须不断地上升，建构更高层次上的“意向行动”与“意向内容”。 这样一种无限回归或者无限上升的层级建构，谁最早认识到它给人类理性带来的致命困难呢？康托（Georg Cantor），“公理集合论”，你们都知道吧。他是公理集合论的创始人之一，但是，他主要是通过研究“无限集”问题而成为最重要的数学家的。 康托为什么到了中年突然陷入了非常严重的“bipolor depression”?严重的抑郁症，而且两极摇摆，今天狂喜，明天狂悲。康托在后半生都处于抑郁症的这种两极状态中。1918年1月，他死于贫困。当时是第一次世界大战的末期，人们都很潦倒。康托已经完全没有钱了，没有人再跟他签约，没有人再让他教书。康托，这样重要的一位数学家，贫困潦倒而死。 你们知道“康托悖论”吧，他问：“一切集合的集合是什么”。对于这个问题，如上述，数学家必须反思他自己的数学行为，必须一层一层地上升到无限高的层次。无限，注意，把上述那个过程取极限，如果你能想像这个极限的话，你也就到了康托精神崩溃的边缘了。 康托在写给戴德金的一封私人信件里，戴德金，你们在数学系第一年学习时就应该知道了，所谓“戴德金切割”。康托在这封信里说，他的集合论，他用“对角线法”证明了“有理数集”是可数的，也就是有理数集一一对应于自然数集。这导致了希尔伯特的第一个问题，所谓“连续统假设”问题。希尔伯特第一问题，今天已经解决了，被哥德尔解决了。连续统假设是什么呢？这一假设认定：不存在这样一个集合，它的“势”——一种表达无限集合的元素的数量的方法，它的势比实数集小，同时，比自然数集大。这很令人惊讶，因为自然数集合多么离散呀，可是，比它的势更大的，就是实数集合的势，就是连续统或实数轴，没有居于这二者之间的。 康托觉得无限集的上述性质，太令人费解，不可思议，具有悖论的性质。他无法摆脱这一由“无限”引起的困境，于是，他就给戴德金写了一封私人信函，在那里，他写了这样一句话：“God is the Absolute Infinite”。注意，他使用“绝对无限”（absolute infinite）来刻划上帝。认知者一个层次一个层次地向上建构，最终，在这一过程的极限处，认知者必须试图理解“一切集合的集合”，即包含一切层次的层次。有这件事情吗？从哥德尔的论述，今天，我们知道，我们不可能无矛盾地描述“一切集合的集合”。对于人类理性和逻辑，这是不可能的。谁可能？上帝。于是，康托证明了上帝的存在性。上帝存在，因为无限集存在而且不可被人类理解。康托由此陷入了精神崩溃。 现在，我们把目光转向20世纪初叶，一位叫做舍勒（Max Scheler）的伟大的现象学家。今天学者们非常尊重他，把他当作20世纪最重要的3位现象学家的第二位，即胡塞尔，舍勒，海德格尔。其余两位的名字，想必你们都听说过了。 舍勒论证过这样一件事情，接着我们刚才描述的那个小人儿，舍勒的论证是：你如何知道你在认知呢？你必须建构第二个层级。在第二个层级上，你如何知道你如何在第一个层级上认知呢？于是你必须建构第三个层级，...这样一层一层地建构上去，直到无限，总有一个最高的层次，在那里；舍勒认为，只有上帝在那儿，包容着我们的全部认知层级。 这个上帝，舍勒以大写的“Person”来表达。我们知道，person是“人”或者“人格”，把它大写出来，刘小枫认为，应该翻译成“位格”，即上帝的位置。但是，人的神性也在那里。 只有在位格上，才可能包容刚才说的无穷多的层级的历史，也就是康托的一切集合的集合。不过，从布劳威尔的直觉主义传统，我们知道，“There is no such thing as the set of all sets”——直译：没有一切集合的集合这类事情。为什么没有一切集合的集合呢？因为我们的有限理性不可能无矛盾地描述它，因为我们的心灵不可能直观到它。 毕达哥拉斯类型的数学家，相信数是永恒不变的世界秩序的表达，是上帝的语言。不过，今天，从脑科学的证据，我们相信，脑的演化结构以及人类的实践活动，建构了“数”本身。我这样说，目的是要推翻从毕达哥拉斯和柏拉图直到康德和康托的数学观念。 现在我再介绍一位哲学家，也是心理学家，还是教育学家，最后，他还是对中国思想界发生过重大和深远影响的一位学者，他就是杜威（John Dewey）。杜威有一位学生，叫胡适。“五四运动”发生的时候，杜威恰好在在上海，于是他就不走了，在中国逗留了两年，考察了许多地方。他也来过杭州，来过两次，分别是1919年和1921年。 杜威是非常重要的一位哲学家，美国实用主义哲学的第二代传人。在最近出版的他的一部著作的中译本里，他表达了与我们上面介绍的数学观念十分接近的看法。他认为：数，作为概念，根本就是人类实践的结果，而不是彼岸世界的、康德式的先天综合概念。 他所引述的另一位学者，是尼古拉的库萨（Nicholas of Cusa）。后者生存的时期，比杜威早了将近600年（1401—1464）。库萨是中世纪哲学家，他是这样来表述下面这一数学问题的，因为你们是数学系的学生，我就可以表述得更简单些。用两句话，第一句：“概念1和概念2的相互置换，不能够改变这个世界的体验”。意思是说，如果你把概念1和概念2置换，也就是在所有适用场合，用概念2取代概念1。这样，在你世界观的所有场合里，在原来是概念1的位置上，现在都替代以概念2。这是第一句话的前件，或者叫做“假如”。如果，你这样做了，而且，你对这个世界的体验，不发生任何改变。这就是第一句话的后件，或者叫做“结果”。现在是第二句话：那么，这概念1与概念2之间的区分，就是不必要的。现在我们把库萨的两句话结合起来，成为：如果两概念在一切场合的置换不改变我对世界的感受，那么就没有必要区分这两个概念。

库萨的看法如何应用于数学呢？假如地球上有两种人。第一种人，他的感觉是“粗线条”的，不妨叫做“粗感觉人”；第二种人，他的神经纤维比较敏锐，不妨叫做“细感觉人”。现在，粗感觉人和细感觉人坐在一块儿。细感觉人说：有必要区分数字1和数字2，因为数字1和数字2的置换对我们细感觉人来说，意味着不同的世界。也就是说，细感觉人的世界会因数字1和数字2之间的置换而有所变化，例如，他得到1只羊和得到2只羊，感觉不一样。细感觉人说：师傅，羊肉的数量似乎在急剧增多。但是，粗感觉人回答说：不对，我们感觉不到1和2有这么大的差异。他会说：师傅，羊肉的数量几乎没有变化呀。于是，按照尼古拉的库萨的看法，对于粗感觉人的世界而言，那里的数学根本就没有必要有“1≠2”这样的命题，因为，没有对应的感受，没有对应的心灵直观。 在当代，最早提出了与库萨上述看法类似的看法的，就是皮尔士（Charles S. Pierce），实用主义哲学的第一代大师，逻辑学家，也是詹姆士（William James）的老师，后者算是杜威的老师。通常这样说：实用主义哲学，有三代传人，虽然他们的年龄不尽符合这一排列。 皮尔士最早提出了“清晰的概念”的定义。就是说，一个概念，如果让你感觉到有了它，世界将会有所改变，那么，这概念就是有用的。什么叫有用？你知道了这个概念与你不知道这个概念的时候相比，你对这个世界的看法会有所改变。否则，这概念就没用，就应该用“奥卡姆剃刀”删掉。 皮尔士的私人学生，是詹姆士。虽然，后者死得很早，但他是第二代传人。第三代传人，就是杜威了。这样，杜威通过胡适影响了中国思想的方向。当然，还因为实用主义哲学与中国文化传统有暗合之处。在五四运动的时代，中国思想界几乎是在追捧美国实用主义哲学。 库萨的看法，我们从数学角度看，不就是“拓扑”的“粗”和“细”造成的吗？一个拓扑，如果它比另一拓扑更“粗”，那么，它就不能区分数字1和数字2的区别。 刚才我提到的杜威著作的那个译本，今年1月份才正式出版，标题是《确定性的寻求：知和行的关系研究》。让我原文引述杜威在这本书中的看法：“我们已经十分习惯于把知识与动作分隔开来，以至于我们认识不到这一分隔的情形如何支配了我们对于心灵、意识、反省的探究的想法。”这是什么意思呢？柏拉图的看法：数在天上，我们的实践和我们的数学行为，与天上的数的性质是互不相关的。我们只是用眼睛或心灵去直观天上的数，发现数的秩序，如同发现行星和恒星运行的秩序一样。其实，这是一种“物我两分”的看法。杜威说：“关于认识的理论派别繁多，但是它们都有一个共同的假设”，凡不是实用主义的哲学，有唯心的，唯物的，经验的，逻辑、实证的，都有一个共同的假设，“它们都主张，在探究自然的或者探究世界的操作中没有任何实践活动的因素进入被知对象的结构”。 也就是说，“物我两分”，我的心灵直观到数的秩序的时候，这种直观，这种数学行为，绝不会影响数的秩序本身。杜威认为，这是一种不正确的看法。这种看法把整个宇宙先定地分成了主体和个体，我和物。这样一种消极的看法，它永久性地把心灵和认知器官的主要特征固定下来了，也就是说，认知过程被假设永远处于被知事物之外，二者之间不发生任何交互作用。这一切见解的根源，杜威说：是为了寻求绝对的确定性。为了追求确定性，我们把理论与实践，把知识与行为，相互割裂开来，这就是杜威阐述的基本主题。人类有这样一种天性，要规避风险，要规避一切不确定性。于是，他们就到天上去找这种绝对的确定性。 杜威说到了爱因斯坦，在这个中译本的第141页至145页。他说：牛顿假定，发生于同一观察区域内的事件，它的测量对于发生在另一区域内的事件，具有确定性的意义。爱因斯坦意识到这一“绝对时空”观的假定是牛顿体系的致命伤。他要求以实验方法来测量“同时性”这个概念，也就是说，他要求把概念从柏拉图的天上拉到地上来，他要概念依赖于认知者的实验过程。他质问：“实验结果要求我们把概念做何种改变？因此就发生了一场不可逆转的真正的革命。” 我再念几段，希望你们能听下去。在这本书快结尾的时候，杜威说到数学：“我们借助于符号，或者是姿态，或者是文字”——注意，语言和文字，都是符号。“……或者更精巧的构造”——我们借助于符号,好处就是可以想像动作，“可以不动作而动作”。这是概念的惟一的用途：“借助符号进行实验”。所以，“专门符号的发明，标志着思维有了这样一种可能性，就是从常识的层次发展到科学的层次”，从现实的层次进入到可能的层次。这是杜威对数学符号的最重要的一种洞见，根据这一洞见，数学让我们把实践的过程变成符号运算的过程。 数学家可能认为，数学，它是人脑随意发明的产物，与实践无关。杜威认为这是一种错误的看法。其实，如果我们仔细考察，就会发现，所有能够想像出来的数学实体，因为必须服从逻辑定律……如果你同意直觉主义立场的话，你可以不接受排中律，那么，就考察服从同一律和无矛盾律的一切数学实体。考察的结果，所有的数学想像，都是关于逻辑可能的世界的想像。因逻辑无矛盾而成为“可能的”，这只是逻辑可能。这是杜威的看法，我没有想清楚，我未必同意。例如，有些数学概念，虽然在逻辑上是可能的，但是我们人类难以体验甚至无法体验它们，例如“无限”这个概念，那么，按照上述的社会科学的看法，既然我们在这个世界里根本体验不到这些概念，它们就是多余，可以用奥卡姆剃刀删去。可是，我觉得有些不对头，因为有许多数学概念是不可体验的，但基于这些概念，我们可以推导出一些数学命题，这些命题是可以体验的，并且对这些数学命题的体验改变了我们对世界的看法。于是，那些原初的不可体验的数学概念，未必是多余的，因为它们可以推导出改变我们对世界的看法的命题。 接着讨论“无限”概念，我说，今天我们应该把灯关上，然后谈谈我们和幽灵之间的故事，倾听幽灵叹息。从“无限”概念的可体验性和不可体验性，我们就回到了让康托发疯的理由，那就是所谓“上帝存在的本体论证明”（ontological proof of God）。 显然，“信仰”是一个可体验的概念，它与“无限”不一样。不过，我可以信仰“无限”，大多数宗教信徒都信仰无限。信仰本身是可体验的，因为，信和不信，可以导致非常激烈的世界体验的差异。如果你是一个信仰者，如果他是一个不信者，那么你们两人对世界的体验，可以有重大差异，可以是激烈地不一样的。所以，信仰不是一个多余的概念。 我们现在谈谈哥德尔的精神问题。凡是数学家，都容易精神崩溃。为什么呢？因为数学家需要面对数学根本问题，需要努力去理解“无限”概念，并且在这里陷入悖论。所有的数学家，如果他是好的，也就是有灵魂的……我现在看到我周围漂浮着从北京来的幽灵，你们能看见吗？如果哥德尔在这儿，我相信他应该能够看见它们。如果你有灵性的话，你如果是有灵性的数学家，或许可以走到康托和哥德尔的境地。 哥德尔在1970年给出了一个“上帝存在的本体论证明”。这一证明的基本思路，最早是由莱布尼兹给出来的，后者生活在几百年以前。证明的思路其实很简单，三项基本假设：（1）我心灵所直观的“上帝”，无所不在；（2）我所在的这个世界，只是偶然的，我是“偶在”。解释：我偶然投生到这个地球上，而没有投生在另一个地球上，没有在银河系的另一端，或是在人马座α星附近。我不可能知道，我今生今世投生在这个地球上，在中国，在这个教室里坐着，这叫做“偶在”；（3）我有理性。 地球上，一位有理性的认知者，试图理解他心灵所面对着的上帝，他试图证明上帝存在。怎么证明呢？只能用他的理性去证明。既然如此，从假设（1），上帝无所不在，也就是说，“上帝”在所有可能的世界里。而根据假设（2），我只在一个可能世界里。你们应当记得“模态逻辑”，或“可能世界的逻辑”。注意，我只在一个可能世界里，而上帝在所有的可能世界里。然后，使用康托的论证方式，我证明上帝存在，这里需要假设（3），我承认理性是有限的。 哥德尔使用类似的方式证明了他的“不完备性定理”。不过，哥德尔在1970年给出上面的那一本体论证明之后，他不敢发表它，一直到1987年他去逝。我们知道，他去逝是因为他精神崩溃的时期，只相信他妻子做的饭。他的死亡诊断书上写的是：全身营养不良，死亡。为什么呢？因为他不吃护士送来的饭，不吃任何亲朋好友送来的饭，包括王浩，惟一能接近他的学生，都不行。他不吃饭。其实，他妻子当时因病住院，一个多月的时间，就把丈夫给饿死了。数学家真可怜！当然了，我指的是有灵魂的数学家。 现在我们回到布劳威尔：凡可描述之事，一定是有限的。可是，有限的数学行为以及数学的内容，却与神圣的位格勾连着。我们不能够通过有限次的描述，理性地理解上帝或无限。我们只能够通过“顿悟”，或“直觉”，通过这种特殊的行为，才从有限跨入无限。但，不可描述。这就是神秘主义，神秘主义数学观，这里有一种神秘感。其实，如果我们考察思想史，我们会发现，神秘主义贯穿着数学和社会科学的一系列重大发现。每一位出色的社会科学家，我觉得，都应当接受这种关于直觉和判断力的训练。接受这一训练的最便捷的途径，我劝过我在北京大学的学生们，如果他们打算做我的学生，我劝他们到纯数学系，不是应用数学系，去接受这种训练。我并不是看不起应用数学家，而是觉得，应用数学，它的专业方式不对，不能够培养直觉主义和神秘感。 1928年，希尔伯特终于意识到布劳威尔声望太高，对公理主义数学学派构成了严重威胁，并且这一威胁与日俱增。于是，他不顾爱因斯坦的反对——爱因斯坦是一位神秘主义物理学家，他不顾爱因斯坦反对，将布劳威尔从数学年鉴编委会撤职。这一举动遭到布劳威尔的激烈抵抗，因为希尔伯特的行动是违反程序正义的。但是在主流数学界，希尔伯特威望太高，最终，他成功了。布劳威尔退出了数学年鉴编委会。一系列的政治斗争，终于摧垮了布劳威尔的心智。他心智耗竭，精神崩溃。 这故事的另一视角，发生在1926年。那一年，布劳威尔已经濒临精神崩溃，独自居住在荷兰的一个乡村里，吃素，或许还做瑜伽，而且不说话。那一年，小门格尔（Karl Menger）离开了布劳威尔，返回维也纳大学教授数学。 谁是小门格尔呢？我们知道，老门格尔是奥地利学派经济学的创始人，在经济学界，在社会科学界，名气太大了，所以这里就不介绍了。他的儿子，小门格尔，是数学家。拿到数学博士学位之后，他就投奔了布劳威尔。但是，他在给友人的一封信里写过，他终于无法忍受布劳威尔的神秘主义的生活方式，并且，布劳威尔有一次搜查了他的日记。这样，他就离开了那个怪异的老头儿，返回维也纳大学，任数学教授。 1930年，小门格尔发表了一篇论文来反对他的老师的直觉主义立场。在这篇论文里，他提出了一种被称为“意向主义”的数学立场。记住，“意向”是今天出现频率相当高的一个词，它是现象学的一个概念。小门格尔的意向主义的数学立场是什么呢？数学公理的意义，小门格尔认为，不在于这些公理本身的内容，而在于它们所意向的内容，那种意向，如果它所意味的那些事情是有意义的，是可以改变我们所感受的世界图景的，那么，我们就应当接受这些公理。 这篇论文在维也纳小组宣读的时候——小门格尔是维也纳小组最活跃的数学家和思想家。我们知道，中国的洪谦老先生，是从维也纳小组毕业回国的，他现在已经去逝了，他的老师是石里克，数理逻辑学家，石里克的前任，就是小门格尔。这篇论文宣读的时候，题目是“维特根斯坦，布劳威尔和维也纳小组”，试图代表维也纳小组的立场。但是他宣读了这篇论文之后，遭到小组的大多数成员的激烈反对。只有一个成员，他一直沉默着。是谁？哥德尔。 哥德尔沉默。为什么呢？1931年，在小门格尔宣读那篇论文的一年之后，哥德尔发表了他的“不完备性定理”。哥德尔保持沉默，从这一事实我们可以看出，在小门格尔的意向主义数学立场里，包含了皮尔斯的逻辑立场，即实用主义哲学，把意向当作可体验的这样一种实用主义哲学的看法。 直觉主义与意向主义有什么区别呢？布劳威尔的直觉主义，只承认有限建构的逻辑，把无限留给直觉。最关键的数学事实是什么？我们的脑，从许多有限的表达中，有能力顿悟到无限。这是与数学根本问题密切相关的事实。在这一点上，意向主义继承了直觉主义，它沿着公理所指的意向所作的推演和极限，取代了直觉主义者的顿悟。 让我举一个简单的例子：某一函数 在闭区间 上的连续性，怎样表述呢？我们知道，必须以离散方式来表述。我们假设数学分析的“ ”语言是有效的，然后用这一语言所采用的有限的量，来表述无限的连续性概念。具体而言，这一语言这样表述这件事：“对任意给定的实数‘ ’，存在实数‘ ’，使得当 的自变量 在点 的 邻域内，就有 在 的 邻域内。” 这里，没有出现任何无限的集合，故而，这一定义是符合数学直觉主义的。但是，请注意这里出现的两个“任意给定的实数”。所谓“任意”，就是要借助于我们的数学想像，激活我们的直觉能力，让我们能够想像这两个趋于无穷小的实数的状况。你可以运用直觉，其纯粹形态就是顿悟。你也可以运用意向，沿着这两个实数的无穷小方向，体验它们的含义。前者是布劳威尔的方法，后者是小门格尔的方法。我觉得它们之间的区分不很严重。 如果你是数学系的学生，你毕业以后，进入社会科学领域，例如经济学领域，你建构了一个模型，你觉得它非常优美典雅，然后，你就把它递交给社会科学家们。我们这些社会科学家怎么对待你这个模型呢？我们要亲自体验它在现实世界里所意味的各种不同含义。如果，经过了许多体验之后，我们意识到你这模型完全不能导致任何差异，我们将告诉你，它是多余的。 这一情况，就是数学在中国被滥用的一种最常见的情况。在中国，和在西方一样，滥用数学的最突出的标志就是，由此而建构的数学模型，对我们体验我们自己的世界，毫无差异可言，没有意义，多余。 我们来看看对经济学而言最重要的一个数学建构，就是所谓“偏好”概念。我还是从数学开始讨论它吧：有一个“二元关系”，如果它是完全的，而且它使某一个集合成为半序集，那么，我们说，它和这个集合构成一个“完全半序集”。在这一半序集上，以“≤”号来表示半序关系。如果A≤B且B≤A时，我们就说A和B是等价类。在这一半序集上的全体等价类，它们的集合，记做“I”，就是我们经济学家说的“无差异曲线族”。在“X－Y”平面的直角坐标系里，例如，二种商品，X和Y，一个完全半序集上的全体等价类就决定了消费者的一个“偏好”。 无差异曲线族，两两之间是不应该相交的，而且这族曲线应该凸向原点。如果你相信这样一族无差异曲线，那么，你就可以找到具有这一偏好的消费者的行为的均衡点。也就是说，他们的消费行为在这一点上是稳定的。例如，今天你看见那个人喝了二两白干和一两葡萄酒，明天你还可以看见他喝二两白干和一两葡萄酒。只要这两种酒的价格不变，你就可以每天看见他按照这一比例来喝这两种酒。 如果你相信无差异曲线族不是凸向原点而是从原点向外凸的，那么，可以证明，你将体验不到具有这一偏好的消费者的稳定的均衡行为。价格稍微变动一些，那位酒客就开始只喝白干，或者只喝葡萄酒。于是，你看见他在两个极端之间跳跃。如果我们都相信这样的无差异曲线族，那么我们就都预期我们每一个人的行为是不稳定的，于是我们的行为就都会从正常的变成疯狂的。 上面的例子说明，数学家建构的“偏好”概念，不是多余的。1930年，另外一个故事，我说过，接近结束的时候，我才可能揭示今天报告的主题。这主题，就是数学的神秘主义感觉。1930年，小门格尔为了说服维也纳小组的其他成员，把华沙学派的领袖塔尔斯基从波兰请到维也纳，给小组成员作报告。 塔尔斯基是社会科学家最常使用的三个不动点定理中的第三个的发现者，那个定理就叫“塔尔斯基定理”。塔尔斯基报告的主题是“三值逻辑”。哪三个值？真，伪，不确定。记住，不确定。塔尔斯基的报告最终说服了一部分小组成员，并且他的报告几乎就是对布劳威尔的支持。 我现在介绍一下塔尔斯基的重要地位。第二次世界大战刚结束的时候，在普林斯顿高等科学研究院，即爱因斯坦和诺依曼工作的那个研究院，召开过一次世界数学家大会，可能是第二届，我忘了，总之，是战后的第一届。世界数学家大会的主席，只邀请两个人作主题发言。其中第一个人就是塔尔斯基。当时，有资格作会议记录的人，只有蒯因——你们可以在数理逻辑著作里知道这个大人物，和哥德尔。只有他们两位被允许为会议作记录。 小门格尔在1932年发表了一篇著名的论文，题目很有意思，“逻辑宽容论”，讨论逻辑与宽容。逻辑还需要宽容吗？是的。小门格尔试图说服数学家们容忍非传统的逻辑学，容忍不是双值逻辑的逻辑学，容忍不确定性的逻辑学。 1934年，小门格尔发表伦理学专著，题目是《道德，角色，社会组织》，回应了当时流行的纳粹主义、社会主义和自由主义。在这部专著中，小门格尔用数学方法证明伦理选择的均衡的存在性条件。如果一个社会可以实现伦理选择的均衡，那么，该社会就找到了自己的最终基础。不同的伦理判断之间，达成某种均衡，也就是相容性，伦理判断之间的相容性。记住，“相容性”。 当时，小门格尔没有使用机械工程师们和后来经济学家们经常使用的“均衡”概念，他使用了更深刻的概念，“相容性”。或许因为相容性是“希尔伯特第一问题”里出现的术语，当然也出现在希尔伯特第二问题中，那是所谓“皮亚诺问题”——关于自然数的五个公理之间是否相容。 不同社会成员的不同伦理判断之间，只要存在这样一种相容性，社会就是可能的。小门格尔在1934年的这本著作里，回答了西美尔问题，也就是社会科学根本问题，“社会为什么可能？” 受到1934年小门格尔这本著作的激发，另一位重要的社会科学家，也是经济学家，摩根斯坦（O. Morgenstern），他当时是维也纳小组的成员，他读了这本书，听了小门格尔关于这本著作的演说。然后，第二次世界大战以后，他来到美国的普林斯顿大学，与当时最重要的一位数学家Von Neumann——诺依曼，氢弹之父和计算机之父，也是今天脑科学的先驱和谱系学的研究者——摩根斯坦与诺依曼一起，在1944年发表了《博弈论与经济行为》，奠定了今天社会科学的理性基础。记住，《博弈论与经济行为》，摩根斯坦是两个合作者当中的社会科学家，冯•诺依曼则代表合作者当中的数学家。 于是，社会科学与数学，在我们讲述了一个小时之后，可以被置于如下这种描述内：社会科学研究现实的模式，数学研究逻辑可能的模式。所谓“可能”，是指由无矛盾律界定的全部世界，即满足A≠Ā。我们不愿意使用排中律。实际上，只要满足A≠Ā，数学家就可以建构一个无矛盾的世界。 无矛盾世界里的每一元素，对于社会科学家而言，都是一种可能性，没有实现的但是可能的。只要可能，就代表着未来，代表着希望。于是，社会科学研究范围，是数学研究范围的一个子集。 但是，这样一个看法对社会科学家不很公平。为什么呢？因为我们不能否认我们人类对矛盾是有所体验的，矛盾是可以体验的。所谓“bitter-sweat”——又苦又甜，所谓“又爱又恨”，所谓“悲喜交集”，都是关于矛盾的体验。 既然我们能体验到矛盾，那么，我们就不能轻率地认为矛盾概念没有意义。只不过，数学无法描述矛盾，因为数学世界，尽管是可能世界的全体，它是基于无矛盾律的。这样，我们社会科学和人文学的学者，就有可能超越数学，有可能通过对矛盾的体验来超越形式逻辑。 在这样的超越体验当中，我列举最重要的三种。康德在《纯粹理性批判》的前言里列举的三大永恒问题，就是：灵魂是不朽的吗？上帝是存在的吗？意志是自由的吗？ 关于这三大永恒问题，今天，我可以找到的最经典的回答，是维特根斯坦给出的。1965年发表，那时他已经去世了。那篇文章是维特根斯坦1929年到1930年在剑桥大学关于伦理学所作的一次演讲。但是，这演讲一直没有发表，直到1965年，发表时的题目是——典型的数学题目，“I:a lecture on ethics”——直译，第一部分：关于伦理学的一次演说。 奇怪，又是关于伦理学的。我们看到，整个维也纳小组，通过小门格尔，始终与伦理学纠缠着。维特根斯坦这篇演讲词，其中有这样两句话，我替你们概括如下：（1）“凡用语言能够表达的，都是没有意义的。”（2）“凡语言所欲表达的意义，毕竟都在语言之外。” 谢谢大家！