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一、m序列概述
在数学领域，序列是由一系列对象（或事件）按照一定的顺序排列而成。每个元素要么位于其他元素之前，要么位于之后。如果这些排列的对象是二进制位0或1，则称其为二进制序列。二进制序列是由坐标轴上的0和1两个点组成，不同的点可以重叠。
当排列的对象是整数时，称之为整数序列。这种序列由横或纵坐标轴上的一系列点构成，这些点也可以重叠。若排列的对象为复数，则称为复数序列。复数序列是由平面坐标中的一系列点组成，这些点同样可以重叠。能够预先确定并可重复实现的序列被称为确定序列；既无法预先确定又不能重复出现的序列称作随机序列；不可预先确定但能重复生成的序列则称为伪随机序列。
二、m序列的原理
m序列，全称最长线性反馈移位寄存器序列，是伪随机序列的一种形式，也是最基本的扩频码之一。
1. 核心生成结构：线性反馈移位寄存器
m序列由一个n级的线性反馈移位寄存器产生。该寄存器由一系列触发器（D型翻转）构成，每个触发器存储一位数据（0或1）。在时钟信号驱动下，每个触发器的值会传递给下一个。
线性反馈机制是将寄存器中某些特定位置（称为抽头）的输出进行模二加运算（即异或操作，XOR），然后将其反馈到第一级输入。这种结构可以用一个本原多项式来精确描述。例如，一个3级的LFSR，其本原多项式可以是：f(x)=
。这表示：
- x 代表第3级。
- x 代表第1级。
- 1 代表第0级（即直接输入）。
抽头位于第3级和第1级，将这两个位置的输出进行异或运算后反馈到输入端。
2. m序列的关键特性
正是这些显著的特点，使得m序列在通信系统中广受青睐。
- 平衡性：在一个周期内，“1”的数量比“0”多一个。例如，长度为7的m序列：
，其中有4个‘1’和3个‘0’。1 1 1 0 0 1 0 - 游程分布特性：“游程”指连续相同的码元（全‘1’或全‘0’）段。在m序列中，长度为1的游程约占1/2，长度为2的游程约占1/4，长度为3的游程约占1/8，以此类推。这种分布非常接近随机序列。
- 移位相加特性：一个m序列与其循环移位后的序列进行模二加运算后，结果是另一个相同m序列的不同循环移位版本。这一特性对于同步捕获至关重要，因为接收设备可以通过本地序列与接收序列的滑动相关来寻找峰值。
- 良好的自相关特性：这是最核心、最重要的特性。自相关函数描述了一个序列与其自身移位后的相似程度。理想的m序列，其周期自相关函数是二值的：
- 零移位时：相关值达到峰值（等于序列长度N）。
- 非零移位时：相关值恒为 -1（如果使用±1表示，则0映射为+1，1映射为-1）。
深入理解：这种尖锐的“冲激函数”状的自相关峰使接收设备能够极为精确地判断序列是否对齐。在同步过程中，接收设备不断调整本地m序列的相位，并计算与接收到信号的相关值。一旦相关器输出一个巨大的峰值，即表示同步完成。这个尖锐的峰值能有效抵抗多路径和噪声干扰。
预知性和可重复性：虽然看似随机，但m序列完全由初始状态和反馈逻辑决定，因此是确定性的、可再生的。发送端和接收端只要使用相同的生成多项式，就能产生完全一致的序列。
三、m序列在NR PSS中的应用
在5G NR中，主同步信号是下行同步的第一步，其设计直接影响手机能否快速、可靠地接入网络。
1. NR PSS的设计选择
与LTE使用的Zadoff-Chu序列不同，NR PSS选择了m序列（更具体地说，是采用BPSK调制的m序列）。
- 序列长度：127位。这比LTE的PSS（62位）要长，提供了更强的处理增益和抗干扰能力。
- 序列生成：由一个7级LFSR生成，其本原多项式为：
。
对应的抽头位于第7级和第4级。
初始状态（即LFSR的种子）被固定为
[1,1,1,0,1,1,0]
2. 为什么NR PSS选择m序列
这是一个关键的设计权衡，主要基于以下原因：
- 对频偏的强鲁棒性：核心原因是Zadoff-Chu序列对频率偏移非常敏感，频偏会破坏其理想的互相关特性，并导致相关峰分裂和偏移。m序列的自相关特性受频偏影响较小。在初始同步阶段，手机尚未进行精细的频率校正，可能存在较大的频率误差。m序列能确保即使存在频偏的情况下，相关峰仍然保持尖锐和稳定，不会分裂或严重偏移，大大提高了初始同步的可靠性。
- 更简单的相关器实现：m序列的相关器可以通过简单的移位寄存器和加法器来实现，硬件复杂度相对较低。虽然ZC序列可以利用FFT实现高效相关，但在最简单的接收机设计中，m序列的时域滑动相关实现起来更加直接。
- 丰富的序列数量：一个n级LFSR能生成的不同m序列数量由本原多项式的数量决定。对于PSS，NR定义了3个不同的序列，对应3个不同的物理层小区ID（0, 1, 2）。这3个序列是通过对同一个基础m序列进行循环移位得到的。
循环移位量分别为 0, 43, 86。选择这些较大的移位量是为了确保三个序列之间的互相关性足够低，避免手机将一个小区的PSS误判为另一个小区。
3. NR PSS的生成和映射过程
生成基础m序列：
使用固定的LFSR（多项式
，初始种子
[1,1,1,0,1,1,0]生成三个PSS序列：
对于小区ID
=0,1,2，分别对基础序列?d(n)?进行循环移位，得到PSS序列 s(m)：
这里的?1?2?(?)?操作是将0/1比特映射为BPSK符号+1/-1。
映射到资源网格：
PSS被放置在同步信号/PBCH块（SSB）的第一个OFDM符号上。它占据频域中心的127个子载波（在SSB的240个子载波中间），两边的子载波留作保护带。
四、总结
从LTE到NR的演变哲学： LTE选择ZC序列是看重其理想的循环自相关和互相关特性，以及OFDM系统中等效的低PAPR。然而，实践表明，在初始同步的恶劣环境下（大频偏、低信噪比），m序列的稳健性比ZC序列的理论完美性更为重要。NR的设计回归务实，选择了在现实条件下更可靠的m序列。
m序列在NR PSS中的角色： 它充当了一个在时域和频域都存在巨大不确定性的环境中，一个清晰、尖锐、稳定的“灯塔”。手机通过在整个频带和时间上进行滑动相关搜索这个“灯塔”的尖锐峰值，一旦找到，就同时确定了：
- 符号定时： 知道SSB的起始位置。
- 频率粗同步： 因为m序列对频偏不敏感，相关峰位置准确。
- 小区组内ID： 通过判断是三个序列中的哪一个，获取
。
权衡的代价： 使用m序列的主要代价是其互相关性不如ZC序列理想。但在PSS这个特定场景下（只需要区分3个序列），通过精心选择足够大的循环移位（43和86），可以有效地规避这个问题。
总而言之，m序列凭借其尖锐的二值自相关特性和对频率偏移的强鲁棒性，成为了5G NR初始同步步骤中PSS的理想选择，体现了5G系统设计在追求高性能的同时，对实际部署环境和鲁棒性的高度重视。
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