旋转变换之欧拉角（Euler angles）

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欧拉角的基本概念与应用

欧拉角是一种用于描述刚体在三维空间中姿态的经典方法，由18世纪瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler, 1707–1783）提出。其基本原理是通过三个连续的旋转操作，将一个物体从初始坐标系逐步旋转至目标姿态。

这种方法被广泛应用于多个技术领域：

• 航空航天：用于表示飞行器的姿态参数——偏航（Yaw）、俯仰（Pitch）和滚转（Roll）
• 机器人学：控制机械臂末端执行器的空间朝向
• 计算机图形学与动画制作：实现三维模型的旋转控制
• SLAM系统与惯性导航（结合IMU、LiDAR或视觉传感器）：进行位姿估计与跟踪

tf::Matrix3x3

优缺点分析

欧拉角的主要优势在于其直观性和简洁性：

• 物理意义明确，便于理解旋转顺序与各角度的作用
• 仅需三个参数即可完整描述旋转状态，相较于四元数更节省存储空间

然而也存在明显局限性：

• 存在“万向锁”（Gimbal Lock）现象，在特定角度下会丢失一个自由度
• 当俯仰角接近 ±90° 时，数值计算容易出现不稳定情况
• 不适用于频繁复合旋转或需要优化求解的场景，如连续姿态插值或非线性优化

坐标系定义与旋转参数

设存在两个坐标系：

• 固定参考坐标系 I：作为基准框架
• 刚体局部坐标系 B：随物体一起运动

欧拉角描述的是：从初始时刻 B 与 I 完全对齐的状态出发，经过三次依次旋转后达到当前姿态的过程。

在航空领域常用的三个旋转角分别为：

• 偏航角 Yaw (ψ)：绕 z 轴旋转
• 俯仰角 Pitch (θ)：绕 y 轴旋转
• 滚转角 Roll (φ)：绕 x 轴旋转

需要注意的是，旋转顺序至关重要，不同领域采用的标准不同：

• 航空工程通常使用 z-y-x 顺序（即先偏航，再俯仰，最后滚转）
• 机器人学及SLAM系统则多采用 x-y-z 顺序（即Roll-Pitch-Yaw）

整体旋转矩阵可表示为：
R = R_z(ψ) R_y(θ) R_x(φ)
其中 R 表示最终的旋转变换矩阵。

tf2::Matrix3x3

旋转矩阵与欧拉角的关系推导

单个轴向的旋转可以用如下基本旋转矩阵表示：

绕 x 轴旋转 φ 角：
\[ R_x(\phi) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix} \]

绕 y 轴旋转 θ 角：
\[ R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix} \]

绕 z 轴旋转 ψ 角：
\[ R_z(\psi) = \begin{bmatrix} \cos\psi & -\sin\psi & 0 \\ \sin\psi & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

[此处为图片3]

若采用 Z-Y-X 的旋转顺序（即 Yaw → Pitch → Roll），则总旋转矩阵为三者的乘积：

\[ R = R_z(\psi) R_y(\theta) R_x(\phi) \]

展开后的结果为：

\[ R = \begin{bmatrix} c_\psi c_\theta & c_\psi s_\theta s_\phi - s_\psi c_\phi & c_\psi s_\theta c_\phi + s_\psi s_\phi \\ s_\psi c_\theta & s_\psi s_\theta s_\phi + c_\psi c_\phi & s_\psi s_\theta c_\phi - c_\psi s_\phi \\ -s_\theta & c_\theta s_\phi & c_\theta c_\phi \end{bmatrix} \]

其中简记符号含义如下：
c = cos()，s = sin()
例如：c_ψ = cos(ψ)，s_θ = sin(θ)，以此类推。

在三维旋转表示中，常用符号 \( s_\bullet = \sin(\bullet) \) 表示正弦函数的简写形式。该表达方式可简化旋转矩阵的书写与计算。

此旋转矩阵可用于坐标系的变换操作，具体表现为对点进行旋转：

\[ \mathbf{p}_{\text{new}} = R \mathbf{p}_{\text{old}} \]

从旋转矩阵提取欧拉角（Z-Y-X 顺序）

已知一个旋转矩阵 \( R \)，可以反推出对应的欧拉角（按照 Z-Y-X 顺序，即偏航-俯仰-滚转）：

\[ \theta = -\arcsin(R_{31}) \]

当 \( \cos\theta \neq 0 \) 时，其余两个角度可通过以下公式求解：

\[ \phi = \arctan2(R_{32}/\cos\theta, R_{33}/\cos\theta) \]

\[ \psi = \arctan2(R_{21}/\cos\theta, R_{11}/\cos\theta) \]

其中，\( \arctan2(y, x) \) 函数能够正确判断象限，避免角度歧义。

然而，当 \( \cos\theta \approx 0 \)（即俯仰角接近 ±90°）时，系统将进入万向锁状态，此时滚转与偏航自由度退化，导致无法独立区分这两个角度，需采用特殊策略处理。

关于万向锁（Gimbal Lock）

当俯仰角 \( \theta = \pm 90^\circ \) 时，旋转过程中两个轴趋于共线，造成自由度减少，出现万向锁现象。这会严重影响姿态解算精度和控制稳定性。

工程上常见的应对方案包括：

• 使用四元数（Quaternion）代替欧拉角进行姿态表示
• 采用小角度增量旋转结合旋转矩阵或李群（SO(3)）方式进行递推更新

欧拉角在 IMU 与 SLAM 中的应用场景

姿态初始化： 利用 IMU 的加速度计和陀螺仪数据，估算初始的 Roll 和 Pitch 角度。

里程计融合： 在视觉或 LiDAR SLAM 系统中，通过欧拉角对旋转增量进行状态更新或可视化展示。

控制系统： 无人机及机器人飞控系统通常以 Roll、Pitch、Yaw 作为反馈变量实现姿态闭环控制。

数据可视化： 将内部存储的四元数或旋转矩阵转换为欧拉角，便于工程师理解当前位姿状态。

实际工程中的实现方法

1. 使用 Eigen 库进行欧拉角计算

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix3d R;
    R = Eigen::AngleAxisd(0.1, Eigen::Vector3d::UnitX()) *
        Eigen::AngleAxisd(0.2, Eigen::Vector3d::UnitY()) *
        Eigen::AngleAxisd(0.3, Eigen::Vector3d::UnitZ());

    Eigen::Vector3d euler = R.eulerAngles(2, 1, 0); // ZYX 顺序
    std::cout << "Yaw-Pitch-Roll (ZYX): " << euler.transpose() << std::endl;
}

2. ROS 与 SLAM 中的姿态转换

在 ROS 系统中，常通过如下方式从旋转矩阵获取欧拉角：

double roll, pitch, yaw;
tf::Matrix3x3(R).getRPY(roll, pitch, yaw);

tf::Matrix3x3

tf2::Matrix3x3

在 SLAM 系统中，位姿一般以“四元数 + 平移向量”的形式存储；但在调试或界面显示时，通常将其转换为欧拉角以便观察。

3. 工程实践建议

• 显示与调试： 欧拉角更符合人类直觉，适合用于用户界面和日志输出。
• 内部计算： 推荐使用四元数或旋转矩阵进行运算，避免万向锁问题。
• 插值与优化： 不建议直接对欧拉角进行微分或优化操作，应使用四元数或李代数（如 SO(3)/SE(3)）进行数值优化。

由旋转矩阵求解欧拉角的方法详解

假设已知旋转矩阵 \( R \)，且欧拉角顺序为 ZYX（Yaw → Pitch → Roll），即依次绕 z 轴、y 轴、x 轴旋转。则总旋转矩阵可分解为：

\[ R = R_z(\psi) R_y(\theta) R_x(\phi) \]

其展开形式为：

\[ R = \begin{bmatrix} c\psi c\theta & c\psi s\theta s\phi - s\psi c\phi & c\psi s\theta c\phi + s\psi s\phi \\ s\psi c\theta & s\psi s\theta s\phi + c\psi c\phi & s\psi s\theta c\phi - c\psi s\phi \\ -s\theta & c\theta s\phi & c\theta c\phi \end{bmatrix} \]

其中 \( c \) 和 \( s \) 分别代表余弦与正弦函数。根据该结构，可通过矩阵元素逆向求解出三个欧拉角参数。

在姿态表示与转换中，欧拉角、旋转矩阵和四元数之间存在明确的数学关系。以下为从不同表示形式求解欧拉角的方法整理。

1、从旋转矩阵求欧拉角（ZYX顺序）

设旋转矩阵 R 由绕 Z 轴偏航（ψ）、Y 轴俯仰（θ）、X 轴滚转（）依次旋转构成：

R = R_z(ψ) R_y(θ) R_x()

展开后形式如下：

\[ R = \begin{bmatrix} c_\psi c_\theta & c_\psi s_\theta s_\phi - s_\psi c_\phi & c_\psi s_\theta c_\phi + s_\psi s_\phi \\ s_\psi c_\theta & s_\psi s_\theta s_\phi + c_\psi c_\phi & s_\psi s_\theta c_\phi - c_\psi s_\phi \\ -s_\theta & c_\theta s_\phi & c_\theta c_\phi \end{bmatrix} \]

其中，c_θ 表示 cosθ，s_θ 表示 sinθ，其余类推。

根据该矩阵，可反求欧拉角：

• 俯仰角（Pitch）： θ = arcsin(-R₃₁)
• 滚转角（Roll）： = arctan2(R₃₂, R₃₃)
• 偏航角（Yaw）： ψ = arctan2(R₂₁, R₁₁)

需要注意的是，当 |θ| = 90° 时，系统进入万向锁（Gimbal Lock）状态，此时滚转与偏航自由度耦合，导致 和 ψ 无法被唯一确定。

tf::Matrix3x3

2、从四元数转换为欧拉角

若姿态以四元数 q = (w, x, y, z) 表示，其对应 ZYX 顺序的欧拉角计算公式如下：

• Roll（滚转角 ）： = arctan2(2(wx + yz), 1 - 2(x + y))
• Pitch（俯仰角 θ）： θ = arcsin(2(wy - zx))
• Yaw（偏航角 ψ）： ψ = arctan2(2(wz + xy), 1 - 2(y + z))

四元数因无奇异性且适合插值，在工程中常用于姿态的累积更新，最终再转换为欧拉角用于可视化或控制逻辑处理。

tf2::Matrix3x3

3、基于IMU角速度积分估算欧拉角

惯性测量单元（IMU）输出机体坐标系下的角速度向量 ω = (ω, ω, ω_z)。在小时间步长 Δt 内，可采用小角度近似计算角增量：

Δ ≈ ω Δt,Δθ ≈ ω Δt,Δψ ≈ ω_z Δt

更精确地，欧拉角变化率与角速度的关系可通过下式描述：

\[ \begin{bmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \sin\phi \tan\theta & \cos\phi \tan\theta \\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi \\ 0 & \sin\phi / \cos\theta & \cos\phi / \cos\theta \end{bmatrix} \boldsymbol{\omega} \]

该微分方程可用于数值积分实现姿态递推更新。但需注意在俯仰角接近 ±90° 时，由于 tanθ 发散，会导致数值不稳定，这同样是万向锁现象的表现之一。

综上所述，三种方法各有适用场景：旋转矩阵适合理论推导，四元数适用于实时姿态融合，而角速度积分则为动态姿态估计的基础手段。

通过积分运算可得欧拉角的更新公式：

φ_k+1 = φ_k + φΔt, θ_k+1 = θ_k + θΔt, ψ_k+1 = ψ_k + ψΔt

在实际工程应用中需注意：当俯仰角 θ 接近 ±90° 时，系统将遭遇万向锁问题，导致姿态表示失效。此外，单纯依赖积分计算会导致误差累积产生漂移现象，因此通常需要引入滤波算法或结合外部传感器（如 GPS、视觉系统或激光雷达）进行校正。

tf::Matrix3x3

工程实现示例（基于 C++ 与 ROS）

#include <tf2/LinearMath/Quaternion.h>
#include <tf2/LinearMath/Matrix3x3.h>

tf2::Quaternion q(w, x, y, z);
double roll, pitch, yaw;

// 按照 ZYX 旋转顺序从四元数提取欧拉角
tf2::Matrix3x3(q).getRPY(roll, pitch, yaw);

在系统内部建议采用四元数来累积旋转状态，以避免万向锁问题；而在向控制器输出或用于 RViz 可视化时，则可转换为欧拉角以便于理解和调试。

常用方法对比总结

方法	优点	缺点 / 注意事项
旋转矩阵 → 欧拉角	计算精确、过程直接	存在万向锁风险，旋转顺序必须严格一致
四元数 → 欧拉角	无万向锁，适合长期旋转累积	转换公式相对复杂
IMU 积分	支持实时姿态更新	存在积分漂移，需融合 GPS、视觉或 LiDAR 数据进行修正

对于小角度变化的情况，可直接使用欧拉角进行更新；但在涉及大角度运动或长时间连续旋转的应用中，推荐使用四元数或旋转矩阵进行内部计算。欧拉角适用于可视化展示或控制接口输出，而高频率的状态估计、连续优化以及快速动态响应场景则更宜采用四元数或旋转矩阵表达。

综合特性分析

特性	描述
参数数量	三个独立角度：滚转（Roll）、俯仰（Pitch）、偏航（Yaw）
优势	直观易懂，物理意义明确
局限性	存在万向锁问题，数值不连续，不适合用于连续旋转优化
旋转顺序	不同应用场景采用不同顺序（如 Z-Y-X、X-Y-Z 或其他）
替代方案	四元数、旋转向量、Rodrigues 向量、李群 SO(3) 或 SE(3)

总体而言，欧拉角更适合用于**直观理解、人机交互界面及小角度旋转场景**；而在需要处理**高频状态更新、连续旋转优化或高速运动建模**的任务中，应优先选用四元数或旋转矩阵作为姿态表示方式。

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关键词：Euler Angle les include matrix