2025APMCM亚太杯数学建模C题思路分享(附源码，文章）

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数据预处理与清洗（通用步骤）

在进行模型构建前，需对原始贸易和关税数据进行标准化处理。主要流程如下：

• Tariff Database：包含HTS商品编码、最惠国税率（MFN）、特惠税率等关键信息。核心字段包括：

  • hts8

    —— 商品编码（用于匹配贸易流）

  • mfn_ad_val_rate

    —— 从价税率（作为政策变量输入）

  tariff_database_*.txt

• Trade Data：涵盖进出口金额（如FAS价值或海关统计值）。需要依据以下维度进行聚合分析：

  • HTS Number

  • Country

  • Year

  DataWeb-Query-*.txt

代码实现逻辑概述

1. 使用Pandas加载贸易数据集，并对

   HTS Number

   字段执行清洗操作，去除其中的非数字字符以确保数值一致性。
2. 读取对应年份的关税数据库，提取所需的税率参数。
3. 通过左连接（Left Join）方式将贸易数据与关税表基于

   HTS Number

   和

   Year

   两个标识字段进行合并。
4. 针对缺失数据（例如2025年尚未发生的月份），采用时间序列预测方法进行合理填补。

问题一：大豆贸易格局重塑模型

建模目标

评估在美国实施新关税政策后，中国采取反制措施所引发的大豆进口来源结构变化，重点分析中美、中巴及中阿之间的贸易再分配效应。

模型框架设计

选用Armington替代弹性模型结合贸易引力思想，适用于同质化程度较高的农产品贸易模拟。该模型假设来自不同国家的同类产品具有不完全可替代性，进口国根据相对价格调整采购比例。

数学推导过程

第一阶段：设定中国的总效用函数

假设中国对大豆的整体消费效用 $U$ 满足常数替代弹性（CES）形式：

$$ U = \left[ \sum_{i} \alpha_i^{\frac{1}{\sigma}} M_i^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} \right]^{\frac{\sigma}{\sigma-1}} $$

其中：

• $M_i$ 表示从国家 $i$（美国、巴西、阿根廷）进口的大豆数量；
• $\sigma$ 为替代弹性系数，通常大豆取值在3至5之间；
• $\alpha_i$ 反映对中国市场对各供应国的偏好强度。

第二阶段：推导各国贸易份额表达式

国家 $i$ 的进口额占中国总支出的比例 $S_i$ 由其调整后价格决定：

$$ S_i = \frac{P_i M_i}{E} = \frac{\alpha_i (P_i (1 + \tau_i))^{1-\sigma}}{\sum_{j} \alpha_j (P_j (1 + \tau_j))^{1-\sigma}} $$

其中：

• $P_i$：国家 $i$ 出口大豆的离岸价（FOB）；
• $\tau_i$：中国对该国征收的实际关税率；
• 对于美国，$\tau_{US}$ 因反制大幅上升；而巴西与阿根廷 $\tau \approx 0$。

第三阶段：引入供给能力约束

考虑到南美国家存在生产上限，需加入产能限制条件：

$$ M_i \leq \text{MaxCapacity}_i(t) $$

若计算需求超过实际产能，则超额部分需重新分配或触发价格机制调节。

编程实现思路

1. 初始化参数：设定替代弹性 $\sigma$、基础价格 $P$、偏好权重 $\alpha$。
2. 定义情景对比：
   • 基准情景（Baseline）：沿用2024年现行关税水平；
   • 冲击情景（Shock）：模拟2025年美国大豆关税上调（如+25%）。
3. 更新最终价格：$P_{us\_final} = P_{us\_base} \times (1 + \text{tariff\_increase})$。
4. 代入Armington公式重新计算各来源国的市场份额 $S_i$。
5. 校验供应能力：若巴西或阿根廷的需求量超出其最大产能，则将多余需求按规则转移至其他可行渠道。
6. 输出结果：生成新的出口量（Export_Volume）与出口价值（Export_Value）分布。

问题二：汽车产业链与非关税壁垒博弈模型

研究重点

探究日本汽车制造商在美国市场的竞争地位演变，量化其面对关税压力时采取的应对策略（如对外直接投资FDI、规避技术壁垒）所产生的经济影响。

理论模型选择

采用Stackelberg博弈模型，将美国政府视为领导者（先行设定贸易政策），日本车企作为追随者（据此优化产量、定价及生产基地布局）。同时融合价格传导机制分析成本转嫁路径。

利润函数建模

日本车企的总体利润 $\Pi$ 由两部分构成：直接出口收益与本地化生产净利，扣除产能转移成本：

$$ \Pi = (P_{ex} - C_{jp} - T_{us})Q_{ex} + (P_{local} - C_{local})Q_{local} - C_{trans}(Q_{ex} \to Q_{local}) $$

各项含义如下：

• $P_{ex}$：出口到美国的销售单价；
• $C_{jp}$：日本本土单位生产成本；
• $T_{us}$：美国施加的进口关税；
• $Q_{ex}$：出口销量；
• $P_{local}, C_{local}$：在美国或墨西哥本地生产的售价与成本；
• $Q_{local}$：本地生产并销售的数量；
• $C_{trans}$：将产能从日本转移到海外所需的一次性或边际成本。

通过求解该最优化问题，可评估企业在不同政策环境下的最优响应策略及其对全球价值链布局的影响。

利润函数可表示为以下形式：

Π = (P_ex - C_jp - T_us) Q_ex + (P_local - C_local) Q_local - C_trans(Q_ex → Q_local)

其中各变量含义如下：

• T_us：美国对进口产品征收的关税；
• C_jp、C_local：分别代表日本本土与本地（或第三国）的单位生产成本；
• Q_ex、Q_local：对应出口销量与本地化生产的销售数量。

上述表达式将总利润拆分为三个部分：直接出口所得利润、本地或第三国生产带来的收益，以及因产能转移所产生的额外成本。

tariff_database_*.txt

引入非关税应对机制

为更全面反映企业应对贸易壁垒的策略，引入非关税反应系数 λ（0 ≤ λ < 1），用于刻画技术合作、政策游说、汇率调控等手段对名义关税的实际削弱效果。此时有效关税率定义为：

T_effective = T_nominal × (1 - λ)

该设定表明，随着 λ 增大，企业通过非价格手段降低关税影响的能力增强，从而缓解贸易冲击。

市场份额变动建模（基于Logit需求模型）

采用Logit模型描述消费者在不同国家产品间的偏好选择。日本产品在美国市场的相对份额变化由下式决定：

ln(s_jp/s_us) = β + β(P_jp - P_us) + β·Quality_jp

其中，s_jp 和 s_us 分别为日本与美国产品的市场份额，P 表示价格，Quality_jp 反映日本产品的质量水平，β 系数体现价格敏感度与质量弹性。

代码实现逻辑框架

1. 数据筛选：提取HTS编码8703类别下的乘用车相关美日双边贸易数据；
2. 构建优化模型：
   • 目标函数：最大化日本车企的总体利润；
   • 决策变量：出口比例（Export_Ratio）与本地生产比例（Local_Production_Ratio）；
   • 约束条件包括市场总需求上限、生产能力限制及随政策调整的关税税率；
3. 传导效应模拟：当关税上升时，导致成本增加，进而推动价格上涨；结合需求价格弹性，估算销量下降幅度；
4. 引入λ因子：模拟日本通过在美直接投资建厂等方式降低实际关税负担的影响；
5. 输出结果：预测美日汽车贸易规模的变化趋势及美国本土汽车产量的响应情况。

   hts8

问题三：半导体产业的双目标规划与系统动力学分析

本部分聚焦于关税政策对高端、中端和低端芯片产业的差异化影响，旨在协调“经济效率”与“国家安全”两大战略目标。

模型方法选择

鉴于半导体产业链具有长周期投资特性与高度复杂的供应链结构，建议采用系统动力学（System Dynamics）或多目标优化模型进行建模分析，以捕捉动态反馈与长期演化特征。

数学表达式设定

目标函数形式如下：

Maximize Z = w·Security + w·Efficiency

其中权重 w 与 w 反映政策制定者对安全与效率的偏好权衡。

安全性指标（Security）

定义为关键领域内国内产能对市场需求的覆盖程度，特别关注高端芯片类别：

Security = Σ_{k ∈ {High}} (DomesticCapacity_k / TotalDemand_k)

该指标越高，说明本国在核心技术环节的自主可控能力越强。

经济效率指标（Efficiency）

以全行业加权总成本的倒数衡量整体运行效率：

Efficiency = [Σ_k (C_prod,k + T_tariff,k) · D_k]

其中 C_prod,k 为各类芯片的生产成本，T_tariff,k 为对应关税，D_k 为需求量。成本越低，效率值越高。

系统动态演化方程

从系统动力学视角出发，设定产能的动态积累过程：

d(Capacity)/dt = Investment_Rate × Delay_Factor - Depreciation

该微分方程描述了新增投资经过一定延迟后转化为实际产能的过程，同时考虑设备折旧带来的产能损耗，体现了半导体制造业“投入周期长、退出成本高”的典型特征。

mfn_ad_val_rate

对于不同类型的芯片，其投资行为受到不同因素的驱动：高端芯片的投资对补贴政策高度敏感，而低端芯片则更受成本因素（如关税）的影响。在此基础上，可建立相应的动态模型来模拟产能演变过程。

投资速率由多个经济变量决定，其函数形式为：

InvestRate = f(Profit, Subsidy, TariffProtect)

其中，产能变化遵循如下微分方程：

d(Capacity)/dt = InvestRate × DelayFactor - Depreciation

3. 代码逻辑设计思路

• 数据分类：将芯片产业划分为三类——High（逻辑IC）、Mid（模拟IC）和Low（分立器件），以便进行差异化建模。
• 构建微分方程组（ODE）：
  • d(Capacity_High)/dt = f(CHIPS_Subsidy, Export_Control)
  • d(Capacity_Low)/dt = f(Tariff, Labor_Cost)
• 设定模拟情景参数：
  • Scenario A：仅实施补贴政策（对应Biden方案）
  • Scenario B：仅提高关税（对应Trump 2025提案）
  • Scenario C：结合补贴与关税的混合策略
• 求解方法：采用Runge-Kutta数值方法对上述ODE系统进行求解，模拟未来五年内的产能分布变化及进口依赖程度。
• 评估指标计算：逐年计算Security Index与Cost Index，用于衡量供应链安全与生产成本的变化趋势。

tariff_database_*.txt

问题 4：基于拉弗曲线的税收预测模型

核心目标：分析关税调整对美国财政收入的净效应，区分短期与中期影响。

1. 模型选择
可选用ARIMAX（带外生变量的时间序列模型）或直接拟合拉弗曲线。拉弗曲线的核心思想是：初始阶段提高税率会增加税收收入，但超过某一临界点后，因贸易活动萎缩反而导致总收入下降。

2. 数学表达式

税收收入函数定义为：

R(t) = Σ_c τ_c(t) × V_c(t)

其中，V_c(t) 表示商品 c 在时间 t 的进口额。

进口额对关税的响应关系（含时滞效应）通过以下对数回归模型刻画：

ln(V_c(t)) = α + β ln(GDP(t)) + β ln(1 + τ_c(t)) + β ln(1 + τ_c(t1)) + ε

其中：

• β 反映短期需求弹性
• β + β 代表长期弹性，通常绝对值更大，体现进口替代的累积效应

拉弗顶点求解
通过对税收函数求导并令导数为零，可得最优税率 τ*：

dR/dτ = V + τ(dV/dτ) = 0 → τ* = -1/ε_d

3. 实现逻辑步骤

• 数据预处理：基于历史数据计算平均关税率，公式为 Duties_Collected / Dutiable_Value。
• 回归分析：以 Import_Value 为因变量，Tariff_Rate、US_GDP 和 CPI 作为自变量，估计出需求弹性系数 beta。
• 预测流程：
  • 输入 Trump 政策下 2025–2029 年的 Tariff_Rate 序列
  • 根据弹性衰减规律预测各年 Import_Volume
  • 计算 Revenue = Predicted_Import_Volume × New_Tariff_Rate
• 对比分析：
  • Net_Change = Revenue_Scenario Revenue_Baseline
  • 分别观察第一年的短期效应与第2至第4年的中期趋势变化

hts8

问题 5：贸易战下的宏观经济冲击与制造业回流评估

核心任务：构建综合评价框架，评估贸易战对美国通胀、汇率、债市以及制造业本土化回流的影响。

1. 模型选型
推荐使用向量自回归模型（VAR）或因子分析法（Factor Analysis）。VAR 模型特别适用于捕捉多个宏观经济变量之间的动态交互与冲击传导机制。

2. VAR 模型结构
设系统包含如下变量：
- Inflation（通胀率）
- Exchange_Rate（美元汇率）
- Bond_Yield（国债收益率）
- Manufacturing_Employment（制造业就业人数）
- Trade_Balance（贸易差额）

VAR(p) 模型的一般形式为：

X(t) = AX(t1) + AX(t2) + ... + A_pX(tp) + ε(t)

其中 X(t) 是上述变量构成的向量，A_i 为系数矩阵，ε(t) 为扰动项。

通过脉冲响应函数（Impulse Response Function）分析某一项政策冲击（如关税上调）如何在后续时间段内影响其他经济指标。

同时，可引入“制造业回流指数”作为合成指标，综合考虑产能转移比例、本土投资增长率与供应链重构速度等维度，进一步量化政策成效。

mfn_ad_val_rate

为了分析制造业回流趋势及其宏观经济影响，可构建多变量时间序列模型与合成指数相结合的分析框架。以下是对原始内容进行降重、结构调整与排版优化后的版本，保持原意不变，并符合HTML输出要求。

1. 多变量系统建模：向量自回归（VAR）模型

设定一个包含关键经济变量的时间序列向量：

Y_t = [Tariff_t, CPI_t, ExchangeRate_t, MfgEmploy_t, TradeBalance_t]^T

在此基础上建立p阶VAR模型：

Y_t = c + A₁Y_t1 + + A_pY_tp + u_t

[p此处为图片1]

2. 制造业回流综合指数构建

为量化美国制造业是否真正实现“回流”，设计如下加权合成指标：

I_reshoring = w₁ (DomMfgOutput / Imports) + w₂(MfgJobs) w₃(InputCosts)

其中权重w₁、w₂、w₃可通过主成分分析或专家赋值法确定，分别反映国内产出替代进口的能力、就业岗位变化以及投入成本压力的影响。

[p此处为图片2]

3. 反制措施的冲击建模

引入虚拟变量D_counter以捕捉中国可能采取的反制手段（如稀土出口限制等）对美国制造业成本的影响：

MfgCost_t = α + γD_counter +

该回归可用于评估外部政策对抗情境下供应链成本的敏感性。

[p此处为图片3]

4. 模型实现逻辑与步骤

• 指标选取：涵盖宏观与产业层面变量，包括CPI、PPI、10年期国债收益率、美元指数；制造业方面采用工业生产指数和制造业就业人数。
• 数据预处理：对所有变量进行Z-score标准化处理，消除量纲差异，提升模型稳定性。
• VAR模型估计：使用Statsmodels库拟合2020至2024年期间的数据，选择最优滞后阶数（如AIC准则）。
• 脉冲响应分析（IRF）：模拟“关税冲击”（Tariff Shock）后，观察制造业就业（MfgEmploy）与消费者价格指数（CPI）的动态响应路径。
• 结果判据与评分机制：
  • 若CPI响应超过预设阈值，而MfgEmploy无显著上升，则判断为“未能有效回流且引发滞胀”；
  • 若10年期国债收益率大幅攀升，则提示金融市场风险加剧。

[p此处为图片4]

5. 图表与可视化建议

根据分析需求，推荐以下图表类型用于结果展示：

• 问题一：采用桑基图（Sankey Diagram）呈现贸易流向在政策前后的结构性变化；
• 问题二：使用博弈树或企业利润变化曲线刻画不同策略下的决策路径与收益对比；
• 问题四：绘制倒U型曲线说明关税收入随税率提高先增后减的关系；
• 问题五：通过脉冲响应函数图（Impulse Response Functions）直观展示各变量对特定冲击的时变反应。

6. 数据来源与技术补充

核心数据应优先引用Yale Budget Lab报告及WTO官方统计。若数据覆盖不足，可通过Python编写爬虫程序，从FRED（Federal Reserve Economic Data）平台获取高频宏观经济序列，确保模型输入完整性。

7. 公式书写规范

在正式论文撰写中，所有数学表达式需采用LaTeX标准格式排版，确保符号清晰、结构严谨。

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