求证一个开集可以用无穷闭集的并表示？

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    求证此开集可以用无穷闭集的并表示，请用严格些的数学语言表示，这个结论在直觉上还是蛮好得到的，但是能不能用严谨的数学语言证明呢？求教

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关键词：不能用 数学

证明等号左边包含于右边，右边包含于左边即可。
1.右边每一个区间都包含于左边，于是并集也包含于左边。
2.对左边集合中任意一点x in (0,1), 有1-x in （0,1）,存在正整数N1，N2，s.t. x>1/N1， 1-x>1/N2,
则  1/N1<x<1-1/N2,  令N=max(N1,N2), 则  1/N<=1/N1<x<1-1/N2<=1-1/N，于是x in [1/N,1-1/N] 包含于左边集合，则右边包含于左边。
综合1.2.证毕

nanmo 发表于 2012-10-19 11:03
证明等号左边包含于右边，右边包含于左边即可。
1.右边每一个区间都包含于左边，于是并集也包含于左边。
...

严格一点的话，存在大于1的正整数N1，N2。。。根据x和1-x的取值范围，显然N1，N2是要大于1的

nanmo 发表于 2012-10-19 11:06
严格一点的话，存在大于1的正整数N1，N2。。。根据x和1-x的取值范围，显然N1，N2是要大于1的

谢谢你的帮助，还有一个问题能不能也帮忙看一下，不胜感激

cooper56 发表于 2012-10-20 09:58
谢谢你的帮助，还有一个问题能不能也帮忙看一下，不胜感激

a. 第一问，对任意n<m， 证明 An包含于Am即可。
  对任意An中样本点w，有 X(w)<x-1/n,显然也有X(w)<x-1/m，则w 属于 Am，则An包含于Am。

  第二问，同你一楼的问题，证明左边包含于右边，右边包含于左边。
  显然左边每一个集合都包含于右边（这个自己证吧，很简单），于是左边的并集包含于右边。
  对任意w in 右边，有 X(w)<x，则存在充分大的n，s.t. X(w)<x-1/n,于是 w in An, 属于左边集合，是右边包含于左边。

b. 令 B1=A1，对i>=1，令B{i+1}=A{i+1}\Ai (大括号里代表下标，不知道如何打出来), 于是Bi为互不相交的集合且An=B1到Bn的并，所有Bi 的并就是所有An的并，根据a问，有P(X<x)=P(所有An的并)=P（所有Bi 的并）=所有P(Bi)的和（由概率测度可列可加性得）=lim_n (P(B1)+...+P(Bn))=lim_n P（An）（由概率测度可列可加性即得）=lim_n F（x-1/n） 为等式右边。

nanmo 发表于 2012-10-19 11:03
证明等号左边包含于右边，右边包含于左边即可。
1.右边每一个区间都包含于左边，于是并集也包含于左边。
...

思路是正确的，但是不是很严谨，为什么必然存在“正整数N1，N2，s.t. x>1/N1， 1-x>1/N2”，这里用archimedean property说明一下N1和N2的存在性会更完美

首先一个错误得更正一下，更严谨地讲并集符号上的那个符号不是infinite的意思，而是countable的意思。
更严谨的证明如下：
For every a that belongs to (0,1),
we get 0<a<1,
according to archimedean property, we can find positive N1 and N2
s.t. 1<a*N1 and 1<(1-a)*N2. It means that 1/N1<a and a<1-1/N2.
Name N=max[N1, N2], then 1/N<=1/N1<a<1-1/N2<=1-1/N,
it means that a belongs to U[1/n, 1-1/n]

For every b that belongs to  U[1/n, 1-1/n]
that is a certain N s.t. 1/N<=b<=1-1/N
as 0<1/N<=b<=1-1/N<1
b belongs to (0,1)
Conclude all above, we know every element that belongs to (0,1) exists in  U[1/n, 1-1/n] and vice versa. so (0,1)=U[1/n, 1-1/n]