矩阵分解

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    在这里希望能够学习一些矩阵分解的相关知识，最近在整理这一块知识。矩阵分解的一部分用处就是用来对DSGE模型求解时用到的矩阵进行简化，以方便在计算机进行运算。我记得有一个算法，是20世界十大算法之一，他很好的实现了复杂矩阵的简化，从而推进了计算软件的大幅度的改进。（运算能力大幅上升），很多的软件都是建立在这个分解的基础上。

  好了，言归正传，矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种.

我知道的是这些，等价分解，等价分解可以分为满秩分解和fitting 分解. 等价分解是我们最早接触的，简单介绍下fittting 分解。fitting 分解 将矩阵分解成为可逆部分和幂零矩阵的直和.可看作是jordan 分解在一般域上的推广.

    矩阵的jordan 分解  就是将矩阵分解成为jordan块 和两个可逆矩阵p和p的逆的乘积。这个是BK 方法求解的矩阵分解基础.然后BK算法将方程组分解成为发散和非发散的两部分.（de-couples 过程）

  下面介绍下sims 解法用到的矩阵分解过程.

我所知道的sims求解过程和BK 方法类似，但是在矩阵分解的过程有不同的地方，BK 用的是jordan分解，而sims用的则是QZ分解，
下列公式定义了矩阵(A, B)的QZ分解。

A = QHZH

B = QTZH

A和B是n×n的方阵，ZH是矩阵Z的共轭转置，T是n×n的上三角矩阵。

    klein解法用到的矩阵分解技术是广义舒尔分解方法（generalized schur decomposition）,,克服了A潜在的的非可逆性.这种做法取代了sims解法中的QZ分解.
     Uhlig 的待定系数法，在求解DSGE时 面对的求解问题是二次矩阵方程据我所知，暂时没有用到矩阵分解.（有的话请指出，我没有发现）.
  下面补充一下我对经济学中用到的矩阵分解技术粗浅的认识。在时间序列分析中，方差分解好像也用到了矩阵分解。用到的是cholesky 分解个分解是将正定的N*N矩阵分解为同维度的下三角矩阵和它的转置的乘积。
三角分解就不说了 是基本的数值分析里面都会提到的一种分解手段 分为LU分解和LDV分解.
QR分解：将一个m*n的矩阵分解成为一个唯一性的正交矩阵Q和唯一的对角元素全部都是正数的上三角矩阵R，使得A=QR

下面是我看到过的 但没有仔细思考过的一些矩阵分解技术，希望各位数学大牛来补充；
hessenberg 分解     谱分解   惯性指数分解  
hermite分解   hermite 矩阵可以分解成为半正定矩阵的和
最后还有一个方阵的极分解。我尽量做到全面，希望大家补充。




认识非常粗浅，希望各位数学界的朋友斧正.

http://zone.ni.com/reference/zhs-XX/help/371361J-0118/gmath/qz_decomp/ 这里是我 摘抄的部分来源..

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关键词：Generalized composition Generalize Reference position 世界十大 计算机 Jordan 模型 能力

遗漏了QZ分解

yuanxinqiang 发表于 2013-8-1 23:09
遗漏了QZ分解

修改过了 请过目..

我是一只高压锅 发表于 2013-8-1 23:22
修改过了 请过目..

刚才犯了点错误 将QR分解和QZ分解搞混了..sims 用的是QZ分解 终于弄清楚了

顶起来啊  好贴

li hai!

楼主说的非常高端
我有一个问题，如果希望将两个矩阵相乘，但分成两个步骤，也就是每个元素相乘并不相加，即矩阵乘法的中间步骤该怎么实现呢？

向楼主学习了，正在研究

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