《金融随机分析》中的疑点，求解答

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在第七章《奇异期权定价》部分，涉及了两个过程，一个是最大值过程（针对lookback options），一个是均值过程（针对asian options）。书中直接对两个过程用Ito公式，但是这两个过程是Ito过程吗？本人觉得这样做不严谨

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关键词：金融随机分析 随机分析 求解答 lookback options 最大值

It's a good observation.

Actually you will not hesitate to apply Ito formula to C(S,t) since you know C is driven by dW(t). While actually the maximizing and average process are the same. If you take a close look of the definition, you will find that:

M(t) (maximizing) A(t) (average) process are F(t) measurable not F(T) (e.g. M(t)=max(0<u<t)W(u)). Which means that M(t) is the max number up to now (t), not on the whole time period(T). By this definition, it ensures that the process is driven by dW(t) just as the stock or option price (i.e. S(t) and C(S,t)) which means they are Ito process since they can be written into ...+∫b(s)dW(s) so you can safely apply Ito formula to them.

best,

In fact M(t) is not Ito process.
1.If it is ,dM(t) = A(t)dt + B(t)dWt
2.according to (7.4.11) , B(t) = 0;
3.accoding to (7.4.12), A(t) does not exist.

the author is misusing Ito, he just wants to have a PDE

Chemist_MZ 发表于 2013-8-15 11:00
It's a good observation.

Actually you will not hesitate to apply Ito formula to C(S,t) since you ...

Maybe you are not right

xuruilong100 发表于 2013-8-15 11:28
In fact M(t) is not Ito process.
1.If it is ,dM(t) = A(t)dt + B(t)dWt
2.according to (7.4.11) , B( ...

a yes, I made a mistake, m(t) is a continuous function.

But I think the existence of dy does not need it to be a Ito prccess. Ito formula is nothing but an application of Taylor expansion. You are applying Ito to v, but y is not necessary an Ito.  For example, it can be a possion jump, in the last chapter of the book, you will see the Ito formula with possion jump.
And I think Ito formula can be applied in many situations. Not just on Ito process.

I am not sure whether I catch your point. But it's a really good observation, I have not thought about it before.

Best,

Chemist_MZ 发表于 2013-8-15 11:56
a yes, I made a mistake, m(t) is a continuous function.

But I think the existence of dy does n ...

作者在书中一直坚持用“微分”的观点解释随机分析，直观但不严谨，容易误导没学过随机分析的人（特别是学微积分但不学泛函的人），“微分”只不过是一种简写形式，实质应该是“积分”，关于“鞅”的积分是一个特殊的“线性算子”，一种随机积分的构造就是基于线性算子理论。随机分析中研究“半鞅”的积分，Ito公式只是一个“有漂亮结果”的特例。


如果阁下有机会，请你帮我联系作者，把我的问题发送给他，看看作者怎么说，谢谢

xuruilong100 发表于 2013-8-15 17:39
作者在书中一直坚持用“微分”的观点解释随机分析，直观但不严谨，容易误导没学过随机分析的人（特别是 ...

你说得不错

随机微积分确实只定义在积分上，微分是没有意义的。所以至少我学习的时候每个教授都会强调，我们看到的微分形式，包括Ito公式都只是一个简写，他的真正意义是积分。但是世界上的大多数人，包括shreve都使用那种微分的简写形式，因为那样可以保留finance的intuition，而不过多拘泥于数学上的东西

严格意义上说GBM，dS=mu*S*dt+sigma*S*dW 是不能写成 dS/S=mu*dt+sigma*dW, 更不能写成dlogS=mu*dt+sigma*dW, 因为加上积分号，他们就不是一回事。但是很多人，尤其是学finance的人都会这么写。对于新手确实有误导，如果没有人告诉他们事实上应该是什么的话。

所以这个问题只是一个从什么角度来说的问题，shreve的书其实并不严谨，是一本finance的书，不是一本数学书，因此增加了书的可读性。但是确实书中如你所说有些表达确实容易误导。但是我觉得作为一本finance的书，其实很多推导只需要在“符号上成立”，而不需要真正纠结一些数学上的细节。至少大多数的professor，都会用符号推导，从符号上是成立的，但是肯定会告诉你，真正的数学不是这样的，只是这么用符号不会产生问题，finance还是更重要一些。我们可以做的可能只是提醒新手可以这么用，但是真正的数学不是这样的。